Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức cổ điển được ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Hãy cùng Học là Giỏi tổng hợp lại lí thuyết nhé.
Mục lục [Ẩn]
Định lí và các hệ quả của công thức bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Bất đẳng thức Côsi ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị.
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
$\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \forall a, b \geq 0$
Đẳng thức $\sqrt{a b}=\frac{a+b}{2}$ xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.
Các hệ quả của bất đẳng thức Cosi
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cosi
Cho $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ là các số thực không âm ta có:
Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots x_n}$
Dạng 2: $\quad x_1+x_2+\ldots+x_n \geq n \cdot \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots x_n}$
Dạng 3: $\left(\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\right)^n \geq x_1 \cdot x_2 \ldots x_n$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$
Cho $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ là các số thực dương ta có:
Dạng 1: $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} \geq \frac{n^2}{x_1+x_2+\ldots x_n}$
Dạng 2: $\left(x_1+x_2+\ldots x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\right) \geq n^2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$
Chú ý:
- Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm
- Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
- Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
- Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng
- Đối với hai số:
$x^2+y^2 \geq 2 x y$.
$x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}$
$x y \leq\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$
- Đối với ba số: $a b c \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}, a b c \leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$
Các bất đẳng thức Cosi đặc biệt
n | n = 2 | n = 3 |
Điều kiện | $x, y \geq 0$ | $x, y, z \geq 0$ |
Dạng 1 | $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x y}$ | $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{x y z}$ |
Dạng 2 | $\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \geq x y$ | $\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3 \geq x y z$ |
Dạng 3 | $\begin{gathered}\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \\ (x, y>0)\end{gathered}$ | $\begin{gathered}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z} \\ (x, y, z>0)\end{gathered}$ |
Dạng 4 | $\begin{gathered}(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \geq 4 \\ (x, y>0)\end{gathered}$ | $\begin{gathered}(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \geq 9 \\ (x, y, z>0)\end{gathered}$ |
Đẳng thức xảy ra | $x=y$ | $x=y=z$ |
Xem thêm:
Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Minkowski
Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki
Kết luận
Trung tâm gia sư Học là Giỏi mong rằng với việc hệ thống kiến thức trọng tâm ở trên sẽ giúp các em áp dụng để giải được phần bài tập về bất đẳng thức Cosi một cách dễ dàng hơn. Chúc các bạn thành công!
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết xem nhiều
Đánh giá về trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội 2025
Thứ tư, 5/11/2025
Các trường chuyên ở Hà Nội và những thông tin cần biết
Thứ ba, 4/11/2025
20+ trường THPT ở Hà Nội có chất lượng đào tạo tốt nhất 2025
Thứ năm, 30/10/2025
STEM là gì? Lợi ích và ứng dụng trong giáo dục hiện đại
Thứ ba, 12/8/2025
Khám phá các cách tính cạnh huyền tam giác vuông
Thứ ba, 24/9/2024Khóa học liên quan
Khóa Luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ năm, 23/10/2025 09:44 AM
Đáp án, đề thi giữa kì 1 toán 9 Kết nối tri thức 2025-2026
Trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi, việc tham khảo Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức là vô cùng cần thiết giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài. Bộ đề thi được Học là Giỏi tổng hợp và biên soạn bám sát chương trình mới, giúp các em làm quen với cấu trúc đề, dạng câu hỏi thường gặp và cách phân bổ thời gian hợp lý trong phòng thi.
Thứ ba, 21/10/2025 08:25 AM
Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận kèm lời giải
Trong chương trình Toán 7, đại lượng tỉ lệ thuận là một nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa hai yếu tố thay đổi cùng chiều. Học sinh cần nắm được một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận để giải được đa dạng các dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi, đề kiểm tra. Hãy cùng Học là Giỏi tìm hiểu một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận qua bài viết dưới đây!
Thứ ba, 14/10/2025 07:19 AM
Tổng hợp kiến thức Toán lớp 5 đầy đủ nhất
Chương trình Toán lớp 5 là bước chuyển quan trọng tạo nền tảng cho môn Toán ở bậc THCS. Trong chương trình Toán 5, học sinh được làm quen với nhiều dạng kiến thức mới như phân số, số thập phân, tỉ số, tỉ lệ, các bài toán thực tế và hình khối. Học là Giỏi đã tổng hợp các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 5 dưới dạng trực quan, giúp học sinh dễ theo dõi và ôn tập. Hãy cùng ôn tập về phần kiến thức này qua bài tổng hợp kiến thức Toán lớp 5 dưới đây.
Thứ ba, 14/10/2025 03:10 AM
Tổng hợp kiến thức Toán 3 quan trọng
Toán lớp 3 là môn học cung cấp nền tảng từ những kiến thức cơ bản nhất, giúp học sinh rèn luyện tư duy và khả năng tính toán. Để học tốt, các con cần ghi nhớ và hiểu rõ những công thức từ bảng nhân chia, quy tắc tính toán, lý thuyết cơ bản về hình học và giải được các bài toán có lời văn. Bộ tổng hợp kiến thức Toán 3 quan trọng dưới đây có tổng hợp đầy đủ các công thức và nội dung cần nhớ với các quy tắc và ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp học sinh dễ dàng hệ thống kiến thức và nắm được các nội dung cốt lõi.
Thứ hai, 13/10/2025 10:28 AM
Tổng hợp kiến thức Toán lớp 4 dễ hiểu nhất
Toán lớp 4 là cơ sở kiến thức quan trọng giúp học sinh củng cố nền tảng tư duy và các kỹ năng tính toán, bổ trợ cho việc học các kiến thức Toán học phức tạp hơn. Tuy nhiên, với nhiều kiến thức và dạng bài khác nhau, các em có thể gặp khó khăn trong việc ghi nhớ các công thức. Hiểu được điều đó, Học là Giỏi đã tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm Toán lớp 4 qua những bảng tóm tắt ngắn gọn, giúp học sinh có thể học nhanh, nhớ lâu và áp dụng hiệu quả các công thức Toán 4 vào giải bài tập. Hãy cùng tìm hiểu tất cả kiến thức Toán 4 qua bài viết dưới đây!
Thứ năm, 28/8/2025 04:23 AM
Tia là gì? Khái niệm cơ bản và tính chất trong hình học
Trong hình học, một trong những khái niệm mà học sinh cần nắm vững chính là tia. Nhiều bạn thường đặt câu hỏi: tia là gì và cách phân biệt nó với đoạn thẳng hay đường thẳng như thế nào? Học là Giỏi sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về tia là gì, các tính chất quan trọng và những bài tập minh họa dễ hiểu qua bài viết dưới đây nhé.
