Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Định lí và các hệ quả của công thức bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Bất đẳng thức Côsi ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị.

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

$\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \forall a, b \geq 0$

Đẳng thức $\sqrt{a b}=\frac{a+b}{2}$ xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$.

Các hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cosi

Cho $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots x_n}$

Dạng 2: $\quad x_1+x_2+\ldots+x_n \geq n \cdot \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots x_n}$

Dạng 3: $\left(\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\right)^n \geq x_1 \cdot x_2 \ldots x_n$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$

Cho $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} \geq \frac{n^2}{x_1+x_2+\ldots x_n}$

Dạng 2: $\left(x_1+x_2+\ldots x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\right) \geq n^2$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=\ldots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$

Chú ý:

- Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm

- Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích

- Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau

- Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

- Đối với hai số:

$x^2+y^2 \geq 2 x y$.

$x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$x y \leq\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$

- Đối với ba số: $a b c \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}, a b c \leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$

Các bất đẳng thức Cosi đặc biệt

Xem thêm:
Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Minkowski
Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kết luận

Trung tâm gia sư Học là Giỏi mong rằng với việc hệ thống kiến thức trọng tâm ở trên sẽ giúp các em áp dụng để giải được phần bài tập về bất đẳng thức Cosi một cách dễ dàng hơn. Chúc các bạn thành công!