Tổng hợp đầy đủ về công thức lượng giác

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Công thức hàm số lượng giác cơ bản

$\begin{aligned} & \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \\ & \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ & \sin ^2 x+\cos ^2 x=1 \\ & \tan x \cdot \cot x=1\left(x \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z\right) \\ & 1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}\left(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right) \\ & 1+\cot ^2 x=\frac{1}{\sin ^2 x}(x \neq k \pi, k \in Z)\end{aligned}$

Công thức cộng trong hàm số lượng giác

$\begin{aligned} & \sin (a \pm b)=\sin a \cdot \cos b \pm \cos a \cdot \sin b \\ & \cos (a \pm b)=\cos a \cdot \cos b \mp \sin a \cdot \sin b \\ & \tan (a \pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \cdot \tan b}\end{aligned}$

Mẹo dùng để nhớ nhanh các công thức lượng giác cộng trong hàm số là câu nói “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”

Công thức các cung liên quan trên đường tròn lượng giác

Hai góc đối nhau:

cos (-x) = cos x

sin (-x) = -sin x

tan (-x) = -tan x

cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau:

sin (π - x) = sin x

cos (π - x) = -cos x

tan (π - x) = -tan x

cot (π - x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

sin (π/2 - x) = cos x

cos (π/2 - x) = sin x

tan (π/2 - x) = cot x

cot (π/2 - x) = tan x

Hai góc hơn kém π:

sin (π + x) = -sin x

cos (π + x) = -cos x

tan (π + x) = tan x

cot (π + x) = cot x

Hai góc hơn kém π/2:

sin (π/2 + x) = cos x

cos (π/2 + x) = -sin x

tan (π/2 + x) = -cot x

cot (π/2 + x) = -tan x

Mẹo nhớ nhanh công thức như sau: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π.”

Công thức nhân

Công thức nhân đôi:

- $\sin 2 a=2 \sin a \cdot \cos a$

- $\cos 2 a=\cos ^2 a-\sin ^2 a=2 \cos ^2 a-1=1-2 \sin ^2 a$

- $\tan 2 a=\frac{2 \tan a}{1-\tan ^2 a}$

- $\cot 2 a=\frac{\cot ^2 a-1}{2 \cot a}$

Công thức nhân ba:

- $\sin 3 a=3 \sin a-4 \sin ^3 a$

- $\cos 3 a=4 \cos ^3 a-3 \cos a$

- $\tan 3 a=\frac{3 \tan a-\tan ^3 a}{1-3 \tan ^2 a}$

- $\cot 3 a=\frac{\cot ^3 a-3 \cot a}{3 \cot ^2 a-1}$

Công thức nhân bốn:

- $\sin 4 a=4 \cdot \sin a \cdot \cos ^3 a-4 \cdot \cos a \cdot \sin ^3 a$

- $\cos 4 a=8 \cdot \cos ^4 a-8 \cdot \cos ^2 a+1$

- hoặc $\cos 4 a=8 \cdot \sin ^4 a-8 \cdot \sin ^2 a+1$

Công thức hạ bậc trong hàm số lượng giác

$\begin{aligned} \sin ^2 a & =\frac{1-\cos 2 a}{2} \\ \cos ^2 a & =\frac{1+\cos 2 a}{2} \\ \sin ^3 a & =\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4} \\ \cos ^3 a & =\frac{3 \cos a+\cos 3 a}{4}\end{aligned}$

Công thức biến tổng thành tích

$\begin{aligned} & \cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\ & \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\end{aligned}$

Mẹo giúp dễ dàng ghi nhớ công thức hơn: “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”

Công thức biến tích thành tổng

$$\begin{aligned}& \cos a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\& \sin a \cdot \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\& \sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{aligned}$$

Kiến thức cơ bản

$\begin{aligned} & \sin u = \sin v \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + k 2\pi \\ u = \pi - v + k 2\pi \end{cases}, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \cos u = \cos v \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + k 2\pi \\ u = -v + k 2\pi \end{cases}, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k \pi, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k \pi, \; k \in \mathbb{Z} \end{aligned}$

Trên đây là tất cả các thông tin về công thức lượng giác mà bạn cần ghi nhớ. Hy vọng, với những chia sẻ thực tế trên đây của Học là Giỏi , sẽ giúp bạn dễ dàng chinh phục các đề thi sắp tới. 

Xem thêm:

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán lớp 8

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó