Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tổng hợp đầy đủ về công thức lượng giác

schedule.svg

Thứ tư, 29/5/2024 06:34 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Bài viết này của Học là Giỏi sẽ chia sẻ chi tiết các kiến thức về các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao trong toán học. Việc này sẽ giúp bạn dễ dàng tổng hợp, cũng như ghi nhớ tốt hơn các kiến thức đã học trên trường lớp.

Mục lục [Ẩn]

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị.

Công thức hàm số lượng giác cơ bản

$\begin{aligned} & \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \\ & \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ & \sin ^2 x+\cos ^2 x=1 \\ & \tan x \cdot \cot x=1\left(x \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z\right) \\ & 1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}\left(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right) \\ & 1+\cot ^2 x=\frac{1}{\sin ^2 x}(x \neq k \pi, k \in Z)\end{aligned}$

Công thức cộng trong hàm số lượng giác

$\begin{aligned} & \sin (a \pm b)=\sin a \cdot \cos b \pm \cos a \cdot \sin b \\ & \cos (a \pm b)=\cos a \cdot \cos b \mp \sin a \cdot \sin b \\ & \tan (a \pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \cdot \tan b}\end{aligned}$

Mẹo dùng để nhớ nhanh các công thức lượng giác cộng trong hàm số là câu nói “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”

Công thức các cung liên quan trên đường tròn lượng giác

Hai góc đối nhau:

cos (-x) = cos x

sin (-x) = -sin x

tan (-x) = -tan x

cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau:

sin (π - x) = sin x

cos (π - x) = -cos x

tan (π - x) = -tan x

cot (π - x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

sin (π/2 - x) = cos x

cos (π/2 - x) = sin x

tan (π/2 - x) = cot x

cot (π/2 - x) = tan x

Hai góc hơn kém π:

sin (π + x) = -sin x

cos (π + x) = -cos x

tan (π + x) = tan x

cot (π + x) = cot x

Hai góc hơn kém π/2:

sin (π/2 + x) = cos x

cos (π/2 + x) = -sin x

tan (π/2 + x) = -cot x

cot (π/2 + x) = -tan x

Mẹo nhớ nhanh công thức như sau: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π.”

Công thức nhân

Công thức nhân đôi:

- $\sin 2 a=2 \sin a \cdot \cos a$

- $\cos 2 a=\cos ^2 a-\sin ^2 a=2 \cos ^2 a-1=1-2 \sin ^2 a$

- $\tan 2 a=\frac{2 \tan a}{1-\tan ^2 a}$

- $\cot 2 a=\frac{\cot ^2 a-1}{2 \cot a}$

Công thức nhân ba:

- $\sin 3 a=3 \sin a-4 \sin ^3 a$

- $\cos 3 a=4 \cos ^3 a-3 \cos a$

- $\tan 3 a=\frac{3 \tan a-\tan ^3 a}{1-3 \tan ^2 a}$

- $\cot 3 a=\frac{\cot ^3 a-3 \cot a}{3 \cot ^2 a-1}$

Công thức nhân bốn:

- $\sin 4 a=4 \cdot \sin a \cdot \cos ^3 a-4 \cdot \cos a \cdot \sin ^3 a$

- $\cos 4 a=8 \cdot \cos ^4 a-8 \cdot \cos ^2 a+1$

- hoặc $\cos 4 a=8 \cdot \sin ^4 a-8 \cdot \sin ^2 a+1$

Công thức hạ bậc trong hàm số lượng giác

$\begin{aligned} \sin ^2 a & =\frac{1-\cos 2 a}{2} \\ \cos ^2 a & =\frac{1+\cos 2 a}{2} \\ \sin ^3 a & =\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4} \\ \cos ^3 a & =\frac{3 \cos a+\cos 3 a}{4}\end{aligned}$

Công thức biến tổng thành tích

$\begin{aligned} & \cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\ & \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\ & \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\end{aligned}$

Mẹo giúp dễ dàng ghi nhớ công thức hơn: “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”

Công thức biến tích thành tổng

$$\begin{aligned}& \cos a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\& \sin a \cdot \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\& \sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{aligned}$$

Kiến thức cơ bản

  sinu=sinv{u=v+k2πu=πv+k2π,  kZ  cosu=cosv{u=v+k2πu=v+k2π,  kZ  tanu=tanvu=v+kπ,  kZ  cotu=cotvu=v+kπ,  kZ\begin{aligned} & \sin u = \sin v \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + k 2\pi \\ u = \pi - v + k 2\pi \end{cases}, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \cos u = \cos v \Leftrightarrow \begin{cases} u = v + k 2\pi \\ u = -v + k 2\pi \end{cases}, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k \pi, \; k \in \mathbb{Z} \\ & \cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k \pi, \; k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Trên đây là tất cả các thông tin về công thức lượng giác mà bạn cần ghi nhớ. Hy vọng, với những chia sẻ thực tế trên đây của Học là Giỏi , sẽ giúp bạn dễ dàng chinh phục các đề thi sắp tới. 

Xem thêm:

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán lớp 8

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó

Chủ đề:
Bài viết xem nhiều

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Đáp án và đề thi môn toán vào 10 tỉnh Bạc Liêu 2025
schedule

Thứ tư, 21/5/2025 08:39 AM

Đáp án và đề thi môn toán vào 10 tỉnh Bạc Liêu 2025

Bạn đang tìm đáp án và đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Bạc Liêu năm 2025-2026 để tham khảo và đối chiếu? Học là Giỏi sẽ cung cấp đầy đủ thông tin chi tiết giúp bạn nắm bắt cấu trúc đề và đáp án nhanh, chính xác nhất nhé.

Tổng hợp đề ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán có chọn lọc
schedule

Thứ sáu, 16/5/2025 09:20 AM

Tổng hợp đề ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán có chọn lọc

Đối với các bạn học sinh chuẩn bị lên lớp 6, việc ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán giúp nhớ lại chương trình học cũ, tự tin bước vào cấp học quan trọng tiếp theo. Hôm nay gia sư online Học là Giỏi cung cấp kho đề ôn luyện đa dạng để hỗ trợ các em củng cố kiến thức vững chắc trong quá trình học tập nhé.

Kinh nghiệm chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội phù hợp nhất
schedule

Thứ tư, 7/5/2025 08:59 AM

Kinh nghiệm chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội phù hợp nhất

Nhiều học sinh luôn gặp khó khăn với chương trình toán nâng cao và thiếu các phương pháp học hiệu quả khi vào lớp 11. Vì vậy, việc tìm gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội trở thành giải pháp tối ưu giúp học sinh nắm chắc kiến thức và cải thiện thành tích học tập. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu cách lựa chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội sao cho phù hợp nhất.

Tại sao cần tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội?
schedule

Thứ tư, 7/5/2025 07:52 AM

Tại sao cần tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội?

Lựa chọn gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội giúp con kịp thời tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học, đồng thời tạo tiền đề vững chắc để con tự tin trước những thử thách học tập. Trong bài viết dưới đây, Gia sư online Học là Giỏi sẽ chỉ cho các bậc phụ huynh cách tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội sao cho phù hợp nhất nhé.

Làm thế nào để chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội?
schedule

Thứ hai, 5/5/2025 10:27 AM

Làm thế nào để chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội?

Với học sinh lớp 7, toán học là nền tảng của các môn học liên quan đến tính toán và cũng là bước đệm cho những kỳ thi quan trọng sau này. Gia sư online Học là Giỏi sẽ chia sẻ cách chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội trong bài viết dưới đây nhé.

Bí quyết cách học giỏi toán mọi học sinh cần biết
schedule

Thứ hai, 28/4/2025 06:51 AM

Bí quyết cách học giỏi toán mọi học sinh cần biết

Toán học luôn là một môn học quan trọng trong chương trình giáo dục và cả trong cuộc sống hàng ngày. Tuy nhiên, không phải ai cũng dễ dàng nắm vững được các kiến thức và kỹ năng cần thiết để học giỏi môn toán. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi cung cấp những cách học giỏi toán đơn giản, giúp bạn tự tin và thành công trong việc học tập.

message.svg zalo.png