Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó

schedule.svg

Thứ sáu, 10/5/2024 10:18 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Phương trình bậc hai là nội dung kiến thức sẽ học từ lớp 9. Đây là kiến thức không thể nào thiếu trong các bài kiểm tra, nó là kiến thức quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Hãy cùng theo chân Học là Giỏi ôn lại khái niệm, cách giải và ứng dụng của phương trình bậc nhất hai ẩn nhé!

Mục lục [Ẩn]

 

Cổng parabol trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng $a x^2+b x+c=0$, trong đó $x$ là ẩn; $a, b, c$ là những số cho trước gọi là các hệ số và $a \neq 0$.

Ví dụ: $x^2 +3x=0; x^2-3=0; x^2 -2x+1=0$ là những phương trình bậc hai một ẩn.

Cách giải phương trình

Xét phương trình $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ và biệt thức $\Delta=b^2-4 a c$.

- Nếu $\Delta>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} .$

- Nếu $\Delta=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2 a}$.

$\cdot$ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: $2 x^2-x-3=0$

a) Phương trình có các hệ số $a=2, b=-1, c=-3$,

$\Delta=(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot(-3)=25>0.$

Do $\Delta>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3}{2} ; x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2.2}=-1 \text {. }$

Ngoài ra ta có công thức nghiệm thu gọn cho phương trình bậc hai như sau:

Xét phương trình $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ vối $b=2 b^{\prime}$ và $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c$.

- Nếu $\Delta^{\prime}>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a};\quadx_2=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a} .$

- Nếu $\Delta^{\prime}=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime}}{a}$.

- Nếu $\Delta^{\prime}<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

Nhận xét: Để giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập phương trình bậc hai

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
 

Bước 2. Giải phương trình bậc hai

Bước 3. Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn

- Đưa ra câu trả lời.
 

Ví dụ: Bác Nga gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng. Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Nga tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Tổng số tiền mà bác Nga nhận được sau khi gửi 24 tháng trên là 213635600 đồng. Tìm lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Nga không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Bài giải

Gọi lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là $x \% /$ năm $(x>0)$.

Số tiền bác Nga có được sau khi gửi tiết kiệm 12 tháng đầu tiên là:

$200+200 \cdot \frac{x}{100}=200\left(1+\frac{x}{100}\right) \text { (triệu đồng). }$

Số tiền bác Nga có được sau khi gửi tiết kiệm 24 tháng là:

$\begin{aligned} 200\left(1+\frac{x}{100}\right)+200\left(1+\frac{x}{100}\right) \cdot \frac{x}{100} & =200\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right) \\& =200\left(1+\frac{x}{100}\right)^2 \text { (triệu đồng). }\end{aligned}$

Vì sau 24 tháng gửi tiết kiệm bác Nga có tổng số tiền là 213635600 đồng nên ta có phương trình:

$200\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=213,6356 \text { hay } \frac{1}{50}(100+x)^2=213,6356 \text {; tức là }(100+x)^2=10681,78 \text {. }$

Giải phương trình trên với $x>0$, ta có:

$\begin{aligned} 100+x & =\sqrt{10681,78} \\ 100+x & = 103,35\\x & =3,4 \text { (thoả mãn điều kiện } x>0 \text { ). }\end{aligned}$

Vậy lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là $3,4\%/$năm.

Xem thêm:

Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8

Như vậy, Học là Giỏi đã tổng hợp các kiến thức quan trọng về phương trình bậc hai một ẩn. Học là Giỏi hi vọng rằng, các bạn học sinh sẽ làm tốt dạng toán này. Chúc các bạn học tốt.


 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Tổng hợp đề ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán có chọn lọc
schedule

Thứ sáu, 16/5/2025 09:20 AM

Tổng hợp đề ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán có chọn lọc

Đối với các bạn học sinh chuẩn bị lên lớp 6, việc ôn tập hè lớp 5 lên 6 môn toán giúp nhớ lại chương trình học cũ, tự tin bước vào cấp học quan trọng tiếp theo. Hôm nay gia sư online Học là Giỏi cung cấp kho đề ôn luyện đa dạng để hỗ trợ các em củng cố kiến thức vững chắc trong quá trình học tập nhé.

Kinh nghiệm chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội phù hợp nhất
schedule

Thứ tư, 7/5/2025 08:59 AM

Kinh nghiệm chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội phù hợp nhất

Nhiều học sinh luôn gặp khó khăn với chương trình toán nâng cao và thiếu các phương pháp học hiệu quả khi vào lớp 11. Vì vậy, việc tìm gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội trở thành giải pháp tối ưu giúp học sinh nắm chắc kiến thức và cải thiện thành tích học tập. Gia sư online Học là Giỏi sẽ giúp bạn hiểu cách lựa chọn gia sư toán lớp 11 tại Hà Nội sao cho phù hợp nhất.

Tại sao cần tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội?
schedule

Thứ tư, 7/5/2025 07:52 AM

Tại sao cần tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội?

Lựa chọn gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội giúp con kịp thời tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học, đồng thời tạo tiền đề vững chắc để con tự tin trước những thử thách học tập. Trong bài viết dưới đây, Gia sư online Học là Giỏi sẽ chỉ cho các bậc phụ huynh cách tìm gia sư toán lớp 10 tại Hà Nội sao cho phù hợp nhất nhé.

Làm thế nào để chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội?
schedule

Thứ hai, 5/5/2025 10:27 AM

Làm thế nào để chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội?

Với học sinh lớp 7, toán học là nền tảng của các môn học liên quan đến tính toán và cũng là bước đệm cho những kỳ thi quan trọng sau này. Gia sư online Học là Giỏi sẽ chia sẻ cách chọn gia sư toán lớp 7 tại Hà Nội trong bài viết dưới đây nhé.

Bí quyết cách học giỏi toán mọi học sinh cần biết
schedule

Thứ hai, 28/4/2025 06:51 AM

Bí quyết cách học giỏi toán mọi học sinh cần biết

Toán học luôn là một môn học quan trọng trong chương trình giáo dục và cả trong cuộc sống hàng ngày. Tuy nhiên, không phải ai cũng dễ dàng nắm vững được các kiến thức và kỹ năng cần thiết để học giỏi môn toán. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi cung cấp những cách học giỏi toán đơn giản, giúp bạn tự tin và thành công trong việc học tập.

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học
schedule

Thứ sáu, 25/4/2025 07:16 AM

Mẹo học bảng nhân 5 cực dễ hiểu cho học sinh tiểu học

Bảng nhân 5 là một phần không thể thiếu trong hệ thống bảng cửu chương hỗ trợ học sinh ghi nhớ và vận dụng phép nhân với số 5 một cách nhanh chóng. Hôm nay gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng bạn khám phá chi tiết bảng nhân 5 nhé.

message.svg zalo.png