Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó

Cổng parabol trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng $a x^2+b x+c=0$, trong đó $x$ là ẩn; $a, b, c$ là những số cho trước gọi là các hệ số và $a \neq 0$.

Ví dụ: $x^2 +3x=0; x^2-3=0; x^2 -2x+1=0$ là những phương trình bậc hai một ẩn.

Cách giải phương trình

Xét phương trình $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ và biệt thức $\Delta=b^2-4 a c$.

- Nếu $\Delta>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} .$

- Nếu $\Delta=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2 a}$.

$\cdot$ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: $2 x^2-x-3=0$

a) Phương trình có các hệ số $a=2, b=-1, c=-3$,

$\Delta=(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot(-3)=25>0.$

Do $\Delta>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3}{2} ; x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2.2}=-1 \text {. }$

Ngoài ra ta có công thức nghiệm thu gọn cho phương trình bậc hai như sau:

Xét phương trình $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ vối $b=2 b^{\prime}$ và $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c$.

- Nếu $\Delta^{\prime}>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a};\quadx_2=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a} .$

- Nếu $\Delta^{\prime}=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime}}{a}$.

- Nếu $\Delta^{\prime}<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

Nhận xét: Để giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập phương trình bậc hai

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
 

Bước 2. Giải phương trình bậc hai

Bước 3. Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn

- Đưa ra câu trả lời.
 

Ví dụ: Bác Nga gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng. Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Nga tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Tổng số tiền mà bác Nga nhận được sau khi gửi 24 tháng trên là 213635600 đồng. Tìm lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Nga không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Bài giải

Gọi lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là $x \% /$ năm $(x>0)$.

Số tiền bác Nga có được sau khi gửi tiết kiệm 12 tháng đầu tiên là:

$200+200 \cdot \frac{x}{100}=200\left(1+\frac{x}{100}\right) \text { (triệu đồng). }$

Số tiền bác Nga có được sau khi gửi tiết kiệm 24 tháng là:

$\begin{aligned} 200\left(1+\frac{x}{100}\right)+200\left(1+\frac{x}{100}\right) \cdot \frac{x}{100} & =200\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right) \\& =200\left(1+\frac{x}{100}\right)^2 \text { (triệu đồng). }\end{aligned}$

Vì sau 24 tháng gửi tiết kiệm bác Nga có tổng số tiền là 213635600 đồng nên ta có phương trình:

$200\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=213,6356 \text { hay } \frac{1}{50}(100+x)^2=213,6356 \text {; tức là }(100+x)^2=10681,78 \text {. }$

Giải phương trình trên với $x>0$, ta có:

$\begin{aligned} 100+x & =\sqrt{10681,78} \\ 100+x & = 103,35\\x & =3,4 \text { (thoả mãn điều kiện } x>0 \text { ). }\end{aligned}$

Vậy lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là $3,4\%/$năm.

Xem thêm:

Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8

Như vậy, Học là Giỏi đã tổng hợp các kiến thức quan trọng về phương trình bậc hai một ẩn. Học là Giỏi hi vọng rằng, các bạn học sinh sẽ làm tốt dạng toán này. Chúc các bạn học tốt.