Bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8

Trước hết chúng ta sẽ nhắc lại các kiến thức cần nhớ của 7 hằng đẳng thức lớp 8 nhé!

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần quan trọng. Nó được ứng dụng rất nhiều để giải các bài toán trong số học. Bảy hằng đẳng thức này bao gồm: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương. 

7 hằng đẳng thức lớp 8

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ quan trọng giúp bạn tính nhanh, phân tích đa thức và giải toán hiệu quả. Học kỹ và áp dụng đúng sẽ giúp bạn tự tin hơn với môn toán. Hãy cùng khám phá từng công thức và ví dụ cụ thể nhé!

Bình phương của một tổng: 

$\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}$

Phát biểu bằng lời: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ nhất, số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ: Nếu bạn cần tính $(x + 4)^2$, hãy sử dụng công thức trên. Thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $4$:
$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Bình phương của một hiệu

 $\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}$

Phát biểu bằng lời: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ nhất, số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ: Để tính $(x - 3)^2$, thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $3$:
$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Hiu hai bình phương

${\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{)}$

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai bình phương bằng hiệu của số thứ nhất với số thứ hai, nhân với tổng của số thứ nhất với số thứ hai.

Ví dụ: Để giải $5^2 - 3^2$, áp dụng công thức:
$5^2 - 3^2 = (5 - 3)(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16$

Lập phương của một tổng

$\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{a}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{3}}$

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, cộng ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương của số thứ hai, cộng lập phương của số thứ hai.

Ví dụ: Nếu bạn cần tính $(x + 2)^3$, thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $2$:
$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Lập phương của một hiệu

$\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathit{b}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{a}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathit{b}}^{\mathbf{3}}$

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương của số thứ hai, trừ lập phương của số thứ hai.

Ví dụ: Để tính $(x - 1)^3$, thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $1$:
$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Tổng của hai lập phương

${\mathit{a}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{(}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

Phát biểu bằng lời: Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và số thứ hai nhân với bình phương thiếu của hiệu.

Ví dụ: Để phân tích $x^3 + 27$, thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $3$:
$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

Hiệu của hai lập phương

${\mathit{a}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathit{b}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{(}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{a}\mathit{b}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai lập phương bằng hiệu của số thứ nhất và số thứ hai nhân với bình phương thiếu của tổng.

Ví dụ: Để phân tích $x^3 - 8$, thay $a$ bằng $x$ và $b$ bằng $2$:
$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8

Có mục tiêu rõ ràng

Các em cần xác định rõ kiến thức cần phải học: 7 hằng đẳng thức lớp 8. Nếu không thuộc chúng thì sẽ rất khó để làm các bài tập liên quan như khai triển hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức… Do đó, chúng mình thấy việc học thuộc được 7 hằng đẳng thức lớp 8 là hết sức quan trọng và cần thiết.

Tâm thế chủ động

Hãy chủ động học thuộc mà không phải bị bắt ép. Học với tâm thế thoải mái, chủ động, tích cực khi đó não bộ sẽ hoạt động ghi nhớ tốt hơn.

Luyện tập thường xuyên

Học phải đi đôi với hành. Học lí thuyết xong, chúng mình áp dụng nó vào làm bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, luyện tập thường xuyên sẽ giúp mình nhớ lâu hơn, hình thành phản xạ mỗi khi gặp dạng toán đó.

Ghi nhớ qua bài hát hoặc bài thơ

Hiện có một số phiên bản về 7 hằng đẳng thức lớp 8 như bài “Sau tất cả (Hằng đẳng thức Version) của Nhật Anh Trắng,... hoặc có thể tự sáng tác theo cách của mình nhé.

Bài tập 7 hằng đẳng thức

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn luyện tập áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết.

Bài 1: Tính giá trị biểu thức $(x + 3)^2$
Áp dụng công thức: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Hướng dẫn giải:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.$

Bài 2: Tính giá trị biểu thức $(x - 5)^2$
Áp dụng công thức: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Hướng dẫn giải:

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25.$

Bài 3: Phân tích đa thức $x^2 - 49$
Áp dụng công thức: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Hướng dẫn giải:

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7).$

Bài 4: Tính giá trị biểu thức $(x + 2)^3$
Áp dụng công thức: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Hướng dẫn giải:

$(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

Bài 5: Tính giá trị biểu thức $(x - 4)^3$
Áp dụng công thức: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Hướng dẫn giải:

$(x - 4)^3 = x^3 - 3x^2 \cdot 4 + 3x \cdot 4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64.$

Bài 6: Phân tích đa thức $x^3 + 27$
Áp dụng công thức: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Hướng dẫn giải:

$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9).$

Bài 7: Phân tích đa thức $x^3 - 8$
Áp dụng công thức: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Hướng dẫn giải:

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).$

Bài tập nâng cao và hướng dẫn giải

Bài 1:
Tính giá trị biểu thức $(x + 2)^2 - (x - 3)^2$
Áp dụng công thức: Hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức hiệu hai bình phương, ta có:

$(x + 2)^2 - (x - 3)^2 = \left[ (x + 2) - (x - 3) \right] \left[ (x + 2) + (x - 3) \right].$

Tính các biểu thức trong ngoặc:

$= (x + 2 - x + 3)(x + 2 + x - 3) = (5)(2x - 1).$

Vậy,

$(x + 2)^2 - (x - 3)^2 = 5(2x - 1).$

Bài 2:
Giải phương trình $(x + 4)^2 - (x - 2)^2 = 24$
Áp dụng công thức: Hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức hiệu hai bình phương:

$(x + 4)^2 - (x - 2)^2 = \left[ (x + 4) - (x - 2) \right] \left[ (x + 4) + (x - 2) \right]$

$= (x + 4 - x + 2)(x + 4 + x - 2) = (6)(2x + 2).$

Vậy phương trình trở thành:

$6(2x + 2) = 24.$

Chia cả hai vế cho 6:

$2x + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$

Bài 3:
Phân tích đa thức $x^2 - 10x + 25$thành nhân tử.
Áp dụng công thức: Bình phương của một hiệu $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Hướng dẫn giải:
Quan sát thấy $x^2 - 10x + 25$có thể viết dưới dạng $(x - 5)^2$

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.$

Học là Giỏi mong rằng với các bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8, các em sẽ dễ dàng học thuộc được 7 hằng đẳng thức đó và áp dụng vào làm bài tập liên quan một cách tốt nhất.