Đoạn thẳng là gì? Cách tính độ dài đoạn thẳng

Khái niệm đoạn thẳng trong hình học

Đoạn thẳng thường xuyên xuất hiện trong các bài học và bài tập toán từ tiểu học đến trung học. Để hiểu rõ hơn về tính chất và cách sử dụng, trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu khái niệm cơ bản về đoạn thẳng.

Đoạn thẳng là gì?

Trong chương trình toán học phổ thông, đoạn thẳng được định nghĩa là một phần của đường thẳng, bị giới hạn bởi hai điểm cố định gọi là hai đầu mút. Không giống như đường thẳng kéo dài vô hạn, đoạn thẳng chỉ nằm gọn trong phạm vi được xác định bởi hai đầu mút ấy.

Trên đoạn thẳng, ngoài hai đầu mút còn có vô số điểm khác. Tất cả những điểm này đều thuộc đoạn thẳng vì chúng nằm giữa hai đầu mút. Khi viết đoạn thẳng, người ta thường ký hiệu bằng tên của hai điểm đầu mút. Ví dụ: đoạn thẳng nối điểm A và điểm B sẽ được gọi là đoạn thẳng AB hoặc BA.

Cấu tạo của đoạn thẳng

Một đoạn thẳng luôn có hai thành phần:

Hai đầu mút: Đây là hai điểm giới hạn, xác định đoạn thẳng. Chúng được coi là vị trí bắt đầu và kết thúc của đoạn thẳng.

Các điểm nằm giữa hai đầu mút: Tập hợp tất cả các điểm trên đường nối hai đầu mút đều thuộc đoạn thẳng đó.

Ví dụ, nếu ta có hai điểm A và B, thì đoạn thẳng AB sẽ bao gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm trên đường nối A và B.

Trong thực tế, cấu tạo của đoạn thẳng giúp học sinh làm quen với việc xác định khoảng cách, tính độ dài và áp dụng vào các bài toán hình học. 

Phân loại đoạn thẳng 

đoạn thẳng còn được phân loại dựa trên cách xét các điểm thuộc về nó. Có hai dạng đoạn thẳng thường được nhắc tới là đoạn thẳng đóng và đoạn thẳng mở.

Đoạn thẳng đóng

Đoạn thẳng đóng là đoạn thẳng bao gồm toàn bộ các điểm nằm giữa hai đầu mút và cả chính hai đầu mút đó. Nếu ta chọn hai điểm A và B, đoạn thẳng đóng AB sẽ chứa điểm A, điểm B, cùng tất cả những điểm nằm giữa A và B.

Trong toán học, đoạn thẳng đóng thường được ký hiệu bằng công thức tham số:

$L=\{a+tb\mid t\in [0,1\left]\right\}$

Trong đó:

- a là điểm đầu,

- b là vector chỉ phương,

- t chạy từ 0 đến 1.

Khi t=0, ta thu được điểm đầu A; khi t=1, ta thu được điểm cuối B. Tất cả giá trị của t trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ tạo nên toàn bộ đoạn thẳng AB.

Đoạn thẳng mở

Đoạn thẳng mở chỉ bao gồm các điểm nằm giữa hai đầu mút, loại bỏ chính hai đầu mút. Nếu ta xét đoạn thẳng nối hai điểm A và B, thì đoạn thẳng mở AB sẽ chứa toàn bộ điểm ở giữa nhưng không có điểm A và B.

Trong toán học, đoạn thẳng mở thường được ký hiệu bằng công thức tham số:

$L = \{a + tb \mid t \in (0,1)\}$

Khác với đoạn thẳng đóng, ở đây giá trị t chỉ nằm trong khoảng từ 0 đến 1, không bao gồm hai giá trị 0 và 1. Vì thế, đoạn thẳng mở không có điểm đầu và điểm cuối, mà chỉ gồm các điểm nằm giữa.

Ý nghĩa của việc phân loại

Trong chương trình phổ thông, học sinh hầu như chỉ làm việc với đoạn thẳng đóng vì nó gắn liền với việc tính toán độ dài và giải các bài tập hình học cơ bản. Tuy nhiên, khi học lên các bậc cao hơn, đặc biệt là trong hình học giải tích hoặc giải tích vector, sự phân biệt giữa đoạn thẳng đóng và đoạn thẳng mở trở nên cần thiết. Nó giúp xác định rõ tính chất của đoạn thẳng, chẳng hạn như tập hợp điểm có phải là tập đóng hay tập mở trong không gian vector hay không.

Đặc điểm nổi bật của đoạn thẳng

Tính hữu hạn và độ dài

Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của đoạn thẳng chính là tính hữu hạn. Đoạn thẳng chỉ tồn tại trong phạm vi được xác định bởi hai đầu mút. Nó không kéo dài vô tận mà luôn có điểm bắt đầu và điểm kết thúc rõ ràng. 

Đi kèm với tính hữu hạn, đoạn thẳng luôn có độ dài xác định. Độ dài của đoạn thẳng chính là khoảng cách giữa hai đầu mút. Khoảng cách này có thể được tính toán bằng nhiều công thức khác nhau, tùy thuộc vào hệ tọa độ hay dạng hình học mà ta đang xét. Trong mặt phẳng tọa độ, công thức tính độ dài đoạn thẳng AB nối hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂) là:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Nhờ có độ dài xác định, đoạn thẳng thường được sử dụng để giải các bài toán về đo lường, tính chu vi đa giác hoặc xác định kích thước trong hình học và trong các ứng dụng thực tế.

Tính liên thông và bao lồi

Ngoài tính hữu hạn và độ dài, đoạn thẳng còn mang những tính chất hình học quan trọng khác. Một trong số đó là tính liên thông. Điều này có nghĩa là nếu ta chọn bất kỳ hai điểm thuộc đoạn thẳng, toàn bộ đường nối giữa chúng cũng nằm trong chính đoạn thẳng đó. Nói cách khác, đoạn thẳng không bị đứt đoạn hay rời rạc.

Một tính chất quan trọng nữa của đoạn thẳng là bao lồi của hai điểm phân biệt. Khi ta chọn hai điểm A và B bất kỳ, đoạn thẳng AB chính là tập hợp các điểm tạo nên hình dạng ngắn nhất bao trọn cả A và B. 

Sự khác biệt giữa đoạn thẳng và các đường khác

Trong hình học, việc phân biệt đoạn thẳng với các khái niệm khác như đường thẳng hay tia là rất quan trọng. Mỗi khái niệm đều có những đặc điểm riêng, giúp chúng ta hiểu và vận dụng chính xác trong các bài toán.

1. Đoạn thẳng và đường thẳng

Đường thẳng: Là hình không bị giới hạn về độ dài. Đường thẳng kéo dài mãi về cả hai phía, không có điểm bắt đầu cũng như không có điểm kết thúc. Vì thế, đường thẳng được coi là vô hạn và không thể đo được độ dài.

Đoạn thẳng: Trái ngược với đường thẳng, đoạn thẳng chỉ nằm giữa hai điểm xác định gọi là hai đầu mút. Đoạn thẳng có chiều dài cụ thể, có thể đo được bằng thước hoặc tính toán bằng công thức trong hình học. 

2. Đoạn thẳng và tia

Tia: Được xác định bằng một điểm gốc và kéo dài vô tận về một phía. Tia vừa có đặc điểm giới hạn (ở điểm gốc) vừa có đặc điểm vô hạn (ở phía còn lại).

Đoạn thẳng: Có hai đầu mút cố định, không kéo dài về phía nào cả. Đoạn thẳng là hình giới hạn hoàn toàn.

Cách tính độ dài đoạn thẳng

Độ dài đoạn thẳng là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong hình học. Việc nắm vững cách tính độ dài giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Dưới đây là các phương pháp thường gặp để tính độ dài đoạn thẳng.

1. Tính độ dài đoạn thẳng bằng thước đo

Khi đoạn thẳng được vẽ trực tiếp trên giấy, bạn có thể sử dụng thước kẻ để đo độ dài.

Các bước thực hiện:

- Đặt thước trùng với đoạn thẳng cần đo.

- Đọc số đo trên thước tương ứng với điểm đầu và điểm cuối.

- Lấy hiệu của hai số đo này để có được kết quả độ dài đoạn thẳng.

- Phương pháp này thường áp dụng trong hình học cơ bản ở tiểu học và trung học cơ sở.

2. Công thức tính độ dài đoạn thẳng trên trục số

Nếu đoạn thẳng nằm trên trục số (trục hoành hoặc trục tung), ta có thể dùng công thức:

$AB = |x_A - x_B|$

Trong đó:

$x_A$​ là tọa độ điểm A.

$x_B$​ là tọa độ điểm B.

Giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả luôn là số dương.

Ví dụ: Trên trục số, điểm A có tọa độ 2, điểm B có tọa độ 7. Độ dài đoạn thẳng AB là:

AB=∣2−7∣=5

3. Công thức tính độ dài đoạn thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy

Khi điểm A và B được xác định bằng tọa độ $(x_A, y_A)$ và $(x_B, y_B)$, ta dùng công thức:

$AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$

Trong đó:

$(x_A, y_A)$ là tọa độ điểm A.

$(x_B, y_B)$ là tọa độ điểm B.

Ví dụ: Điểm A(1,2), điểm B(4,6). Khi đó:

$AB = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

4. Công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian

Nếu đoạn thẳng nằm trong không gian ba chiều, ta áp dụng công thức:

$AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2}$

Trong đó:

$(x_A, y_A, z_A)$ là tọa độ điểm A.

$(x_B, y_B, z_B)$ là tọa độ điểm B.

Ví dụ: Điểm A(1,2,3), điểm B(4,6,7). Khi đó:

$AB = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 6)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$

Bài tập về đoạn thẳng

Phần dưới đây tổng hợp các bài tập về đoạn thẳng được sắp xếp theo mức độ từ cơ bản đến nâng cao giúp bạn luyện tập và củng cố kiến thức một cách chắc chắn.

Bài tập về đoạn thẳng cơ bản

Bài 1: Trên đoạn thẳng AB có độ dài 8 cm. Lấy điểm C nằm giữa A và B sao cho AC=3 cm. Tính độ dài CB.

Đáp án:
CB=AB−AC=8−3=5 cm.

Bài 2: Cho đoạn thẳng MN=12 cm. Lấy điểm P sao cho MP=7 cm. Tính PN.

Đáp án:
PN=MN−MP=12−7=5 cm.

Bài 3: Cho đoạn thẳng XY=10 cm. Gọi Z là trung điểm của XY. Tính độ dài XZ và ZY.

Đáp án:
Trung điểm chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau:
$XZ = ZY = \dfrac{XY}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\,cm$

Bài 4: Trên đoạn thẳng AB=15 cm. Lấy điểm C sao cho CB=9 cm. Tính AC.

Đáp án:
AC=AB−CB=15−9=6 cm.

Bài tập về đoạn thẳng nâng cao

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB=20 cm. Lấy điểm C nằm giữa A và B sao cho AC=8 cm. Tìm độ dài CB.

Đáp án:
CB=AB−AC=20−8=12 cm

Bài 6: Trên đoạn thẳng MN=24cm. Lấy điểm P sao cho $MP = \dfrac{1}{3} MN$. Tính MP và PN.

Đáp án:

$MP = \dfrac{1}{3} \times 24 = 8\,cm$

PN=MN−MP=24−8=16cm.

Bài 7: Cho đoạn thẳng XY=18cm. Lấy điểm Z sao cho $XZ = \dfrac{2}{5} XY$. Tính XZ và ZY.

Đáp án:

$XZ = \dfrac{2}{5} \times 18 = 7,2\,cm$.

ZY=XY−XZ=18−7,2=10,8cm.

Bài 8:
Trên đoạn thẳng AB=30 cm. Lấy hai điểm C,D sao cho AC=10 cm, DB=12 cm. Tính độ dài CD.

Đáp án:

CB=AB−AC=30−10=20 cm.

CD=CB−DB=20−12=8 cm

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức cơ bản về hai đường thẳng song song

Cách nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong hình học lớp 11  

Kết luận

Việc nắm rõ đoạn thẳng là gì sẽ giúp học sinh học tốt các kiến thức hình học sau này. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng qua bài viết, bạn đã có cái nhìn rõ ràng và tự tin hơn khi gặp các dạng toán liên quan đến đoạn thẳng nhé.