Tổng hợp kiến thức cơ bản về hai đường thẳng song song

Khái niệm cơ bản về hai đường thẳng song song

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng được gọi là hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung nào với nhau, tức là không bao giờ cắt nhau dù có kéo dài vô hạn về hai phía. Hai đường thẳng song song là chúng luôn cách đều nhau tại mọi điểm trong mặt phẳng.

Ký hiệu của 2 đường thẳng song song là a // b, trong đó a và b là tên của hai đường thẳng. Cách đọc là: “đường thẳng a song song với đường thẳng b”.

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt chỉ có hai khả năng xảy ra: cắt nhau tại một điểm hoặc song song với nhau. Đây là hai trường hợp cơ bản để phân loại mối quan hệ giữa hai đường thẳng trong hình học phẳng.

Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Tiên đề song song trong hình học Euclid (hay còn được gọi là Ơ-clít) là một trong năm tiên đề cơ bản để xây dựng toàn bộ hệ thống hình học phẳng. Nguyên lý này được phát biểu như sau:

“Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một và chỉ một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho.”

Tiên đề này có vai trò rất quan trọng trong hình học. Nhờ đó chúng ta có thể chứng minh nhiều định lý khác liên quan đến song song, góc, tam giác, tứ giác, hình thang, hình bình hành và các hình học phẳng khác. 

Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song

Thông thường đối với các cách chứng minh 2 đường thẳng song song, chúng ta sẽ căn cứ vào các dấu hiệu nhận biết sau:

Các cặp góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng

Để nhận biết hai đường thẳng có song song với nhau hay không, người ta thường sử dụng một đường thẳng thứ ba cắt qua hai đường thẳng. Dưới đây là các dấu hiệu quan trọng:

Góc so le trong bằng nhau

Khi hai đường thẳng bị một đường thẳng khác cắt qua và tạo thành một cặp góc so le trong có số đo bằng nhau, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng đó song song với nhau.

Ví dụ: Nếu $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ và hai góc này ở vị trí so le trong, ta kết luận a//b.

Góc đồng vị bằng nhau

Hai góc đồng vị là những góc nằm cùng phía của đường cắt và có vị trí tương ứng trên hai đường thẳng. Nếu hai góc đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng là song song.

Ví dụ: Nếu $\widehat{A_3} = \widehat{B_1}$ và hai góc này ở vị trí đồng vị, thì a//b.

Góc trong cùng phía bù nhau

Hai góc trong cùng phía là những góc nằm cùng một bên của đường cắt và ở phía trong giữa hai đường thẳng. Nếu tổng số đo của hai góc này bằng 180 độ, thì hai đường thẳng là song song.

Ví dụ: Nếu $\widehat{A_2} + \widehat{B_1} = 180^\circ$, ta có thể kết luận a//b.

Các dấu hiệu khác

Bên cạnh việc sử dụng các cặp góc để nhận biết 2 đường thẳng song song, còn có một số dấu hiệu khác ít phổ biến hơn nhưng cũng quan trọng và thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh:

Góc so le ngoài bằng nhau

Hai góc so le ngoài nằm ở hai phía của đường cắt nhưng ở phía ngoài hai đường thẳng. Nếu hai góc so le ngoài bằng nhau, thì hai đường thẳng là song song. 

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba

Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác, thì chúng là 2 đường thẳng song song. Dấu hiệu này thường được sử dụng khi bài toán liên quan đến góc vuông, đường trung bình hoặc các hình đặc biệt như hình chữ nhật, hình bình hành.

Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba

Nếu hai đường thẳng đều song song với một đường thẳng khác, thì chúng cũng song song với nhau. Dấu hiệu này thường được áp dụng khi chứng minh mối quan hệ giữa các cặp cạnh trong tứ giác, hoặc trong các bài toán có tính chất đối xứng.

Tính chất hai đường thẳng song song

Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, các cặp góc được tạo ra sẽ có những mối quan hệ đặc biệt. Những mối quan hệ này chính là tính chất đặc trưng của hai đường thẳng song song và thường được sử dụng để giải bài toán hình học. Dưới đây là những tính chất quan trọng của 2 đường thẳng song song:

Các cặp góc so le trong bằng nhau

Nếu 2 đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba, thì hai góc nằm ở vị trí so le trong có số đo bằng nhau. 

Các cặp góc đồng vị bằng nhau

Khi 2 đường thẳng song song bị một đường thẳng thứ ba cắt qua, các cặp góc ở vị trí đồng vị sẽ có số đo bằng nhau. 

Các cặp góc trong cùng phía bù nhau

Một tính chất khác cần ghi nhớ là: nếu 2 đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng, thì hai góc trong cùng phía của đường cắt có tổng số đo bằng 180 độ. 

Nếu a // b thì :

- Góc A1 = góc B1

- Góc A3 = góc B1

- Góc A2 + góc B1 = 180 °

Bài tập hai đường thẳng song song

Dưới đây là các dạng bài tập về hai đường thẳng song song nhằm giúp bạn luyện tập hiệu quả và củng cố kiến thức vững chắc hơn:

Dạng cơ bản

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b song song, bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba. Góc tạo bởi đường cắt với đường thẳng a là $65^\circ$, nằm ở vị trí so le trong với một góc trên đường thẳng b.
Hỏi: Số đo của góc so le trong tương ứng trên đường thẳng b là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:
Vì hai góc so le trong và a//b, nên hai góc bằng nhau.
Đáp án: $65^\circ$

Bài 2: Cho hình vẽ gồm hai đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng thứ ba. Hình có hai góc bằng nhau: $\widehat{x} = \widehat{y} = 120^\circ$. Góc x nằm phía trên đường thẳng thứ nhất, bên trái đường cắt. Góc y nằm phía dưới đường thẳng thứ hai, bên phải đường cắt.
Hỏi: Hai góc x và y thuộc vị trí nào?

Hướng dẫn giải:
Hai góc nằm ở hai bên của đường cắt, giữa hai đường thẳng => so le trong.
Đáp án: Góc so le trong.

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song bị một đường thẳng thứ ba cắt qua. Một góc trong cùng phía có số đo là $110^\circ$.
Hỏi: Tính số đo của góc trong cùng phía còn lại.

Hướng dẫn giải:
Hai góc trong cùng phía có tổng bằng $180^\circ$.
Suy ra góc còn lại = $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$
Đáp án: $70^\circ$

Bài 4: Hai đường thẳng a và b song song bị một đường thẳng c cắt qua. Biết rằng góc tạo bởi c và a là $70^\circ$, nằm ở vị trí đồng vị với một góc trên đường thẳng b.
Hỏi: Số đo góc đồng vị tương ứng trên đường thẳng b là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:
Góc đồng vị bằng nhau nếu hai đường thẳng song song.
Đáp án: $70^\circ$

Bài 5: Cho hai đường thẳng song song a//b bị đường thẳng c cắt qua. Một góc trong cùng phía có số đo là $85^\circ$.
Hỏi: Tính số đo của góc còn lại nằm trong cùng phía.

Hướng dẫn giải:
Tổng hai góc trong cùng phía bằng $180^\circ$.
Góc còn lại = $180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$
Đáp án: $95^\circ$

Dạng nâng cao

Bài 6: Cho góc $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$, biết rằng hai góc này nằm ở vị trí so le trong khi hai đường thẳng a và b bị cắt bởi đường thẳng c.
Hỏi: Chứng minh rằng hai đường thẳng a và b là song song.

Gợi ý:
Áp dụng dấu hiệu nhận biết: hai góc so le trong bằng nhau ⇒ hai đường thẳng song song.

Đáp án: Vì $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$​​ và hai góc ở vị trí so le trong, nên a//b.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ 1 đường thẳng cắt trung điểm của AB và AC lần lượt tại D và E.
Hỏi:
a) Chứng minh DE//BC.
b) So sánh góc $\widehat{ADE}$ và góc $\widehat{ABC}$.

Xem thêm:

Hai góc đối đỉnh là gì? Cách nhận biết và tính chất cơ bản

Phân biệt góc kề nhau, góc bù nhau và góc kề bù toán lớp 7  

Kết luận

Thông qua việc tìm hiểu kỹ về hai đường thẳng song song, người học sẽ dễ dàng nhận biết, vận dụng và giải quyết các bài toán liên quan đến góc, tam giác hay tứ giác trong hình học phẳng. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ và nắm chắc kiến thức về hai đường thẳng song song nhé.