Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận kèm lời giải

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Khi một đại lượng tăng (hoặc giảm) thì đại lượng khác cũng thay đổi theo một tỉ lệ cố định, ta gọi đó là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Chẳng hạn, thời gian làm việc càng nhiều thì số sản phẩm làm ra càng lớn, đó chính là ví dụ điển hình của hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Định nghĩa

Hai đại lượng x và y được gọi là tỉ lệ thuận nếu tồn tại một hằng số k ≠ 0 sao cho:

$y = kx$

Trong đó, k được gọi là hệ số tỉ lệ.
Hệ số tỉ lệ k

Hệ số tỉ lệ được xác định theo công thức:

$k = \frac{y}{x}$

Giá trị k cho biết mức độ thay đổi của y khi x thay đổi.

Nếu k > 0, hai đại lượng tăng hoặc giảm cùng chiều.

Nếu k < 0, hai đại lượng thay đổi ngược chiều.

Ví dụ:
Một ô tô đi được 60 km trong 1 giờ. Khi đó:

$y = 60x$

với x là thời gian (giờ) và y là quãng đường (km).
Ở đây, k = 60, cho thấy mỗi giờ ô tô đi được 60 km, nghĩa là quãng đường và thời gian tỉ lệ thuận với nhau.

Các tính chất quan trọng

Tỉ số các giá trị tương ứng không đổi:

$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = k$

Tỉ lệ giữa các giá trị bất kỳ:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$

Xem thêm: Số vô tỉ là gì? Thuộc làu khái niệm trong 1 phút

Tính chất mở rộng

Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k₁, và đại lượng z tỉ lệ thuận với y theo hệ số k₂, thì z cũng tỉ lệ thuận với x theo hệ số:

$k = k_1 \cdot k_2$

Ngoài ra, nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k, thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số nghịch đảo: $\frac{1}{k}$

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Để vận dụng thành thạo đại số tỉ lệ vào việc giải các bài toán, hãy cùng củng cố kiến thức về đại số tỉ lệ qua các bài tập dưới đây

Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 1: Bảng sau cho biết thời gian làm việc và số sản phẩm của một nhóm công nhân:

Hỏi hai đại lượng này có tỉ lệ thuận không? Nếu có, hãy xác định hệ số tỉ lệ.

Bài 2

Cho hai đại lượng $x$ và $y$ có mối quan hệ:

$y = 4x + 2y$

Hai đại lượng này có tỉ lệ thuận không? Giải thích vì sao.

Bài 3: Một ô tô đi được 60 km trong 1 giờ. Giả sử vận tốc không đổi, quãng đường và thời gian có tỉ lệ thuận với nhau không? Vì sao?

Bài 4: Bảng sau cho biết các giá trị của x và y:

Hai đại lượng này có tỉ lệ thuận không? Nếu có, tìm hệ số tỉ lệ.

Bài 5

Một đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = -2$

Hỏi khi $x$ tăng gấp đôi thì $y$ thay đổi như thế nào?
Khi $x$ giảm đi một nửa thì $y$ biến đổi ra sao?
Giải thích ngắn gọn mối quan hệ giữa hai đại lượng.

Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ

Bài 1

Khi $x = 3$thì $y = 9$
Tính hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ và viết công thức biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng.

Bài 2

Cho hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau.
Khi $x = 8$ thì $y = 20$.
Tính hệ số tỉ lệ $k$, rồi tìm giá trị của $y$ khi $x = 12$

Bài 3

Một sợi dây đồng dài $4 \, \text{m}$ nặng $23 \, \text{g}$
Giả sử khối lượng tỉ lệ thuận với chiều dài, hãy tính hệ số tỉ lệ giữa khối lượng $m$(g) và chiều dài $l$(m) của dây đồng.
Từ đó, viết công thức biểu diễn $m$ theo $l$.

Bài 4

Cho biết quãng đường $s$ và thời gian $t$ của một ô tô có mối quan hệ tỉ lệ thuận.
Khi $t = 2 \, \text{giờ}$ thì $s = 90 \, \text{km}$.
Tính hệ số tỉ lệ và viết công thức biểu diễn $s$ theo $t$

Bài 5

Một học sinh vẽ đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa $x$ và $y$
Khi $x = -2$ thì $y = 6$

a) Tính hệ số tỉ lệ $k$.
b) Viết biểu thức $y = kx$.
c) Tính giá trị của $y$ khi $x = -3$ và $x = 0$.

Dạng 3: Áp dụng tính chất tỉ số

Bài 1:
Một cửa hàng bán 4 mét vải với giá 200.000 đồng.
Hỏi 7,5 mét vải cùng loại có giá bao nhiêu?

Bài 2:
Một máy in in được 120 trang trong 4 phút.
Nếu tốc độ in không đổi, hỏi trong 10 phút máy in được bao nhiêu trang?
Sau đó, hãy xác định hệ số tỉ lệ giữa số trang in và thời gian.

Bài 3:
Bảng sau cho biết thời gian và quãng đường đi được của một xe máy:

a) Tính quãng đường xe đi được trong 4 giờ.
b) Hai đại lượng này có tỉ lệ thuận không? Giải thích.

Bài 4:
Một tam giác có các cạnh tỉ lệ với 3 : 4 : 5.
Chu vi của tam giác là 48 cm.
Hãy tính độ dài mỗi cạnh và xác định hệ số tỉ lệ.

Bài 5:
Một nhóm học sinh làm 3 bài tập Toán và ghi được số điểm trung bình tương ứng:

a) Tính tổng điểm khi làm 3 bài.
b) Viết công thức biểu diễn y theo x.
c) Xác định hệ số tỉ lệ giữa y và x.

Dạng 4: Chia tỉ lệ

Bài 1:
Ba lớp 7A, 7B, 7C có số học sinh lần lượt là 28, 32 và 36.
Tổng số cây cần trồng là 48 cây.
Hỏi mỗi lớp phải trồng bao nhiêu cây, biết số cây trồng tỉ lệ với số học sinh.

Bài 2:
Ba học sinh A, B, C được chia thưởng theo tỉ lệ 2 : 3 : 5.
Tổng số điểm thưởng là 40 điểm.
Tính số điểm thưởng mỗi bạn nhận được.

Bài 3:
Một số tiền được chia cho ba người theo tỉ lệ 3 : 4 : 5.
Sau khi chia, người thứ hai nhận được nhiều hơn người thứ nhất 10 triệu đồng.
Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu.

Bài 4:
Ba tổ công nhân cùng làm một công việc và năng suất của họ tỉ lệ với 3 : 5 : 7.
Tổng tiền thưởng của người thứ nhất và người thứ hai là 5,6 triệu đồng.
Hỏi tổng tiền thưởng của cả ba người.

Bài 5:
Ba bạn chia nhau 72 quyển vở theo tỉ lệ 2 : 3 : 4.
Sau khi chia, bạn A tặng lại 4 quyển cho bạn B.
Hỏi khi đó tỉ lệ số vở của ba bạn thay đổi như thế nào?

Dạng 5: Bài toán thực tế

Bài 1:
4 mét dây đồng nặng 23 gam.
Hỏi 8 km dây đồng cùng loại nặng bao nhiêu kilôgam?
(Biết rằng 1 km = 1.000 m)

Bài 2:
Một xưởng cơ khí sản xuất 45 chi tiết trong 3 giờ.
Nếu giữ nguyên năng suất, trong 8 giờ xưởng sản xuất được bao nhiêu chi tiết?

Bài 3:
Để may 24 bộ đồng phục cần 36 mét vải.
Hỏi để may 15 bộ đồng phục cùng loại cần bao nhiêu mét vải?
Nếu chỉ có 20 mét vải, có thể may được bao nhiêu bộ đồng phục?

Bài 4:
Một người đi xe đạp 5 km trong 20 phút.
Nếu đi đều với vận tốc đó, hỏi trong 1 giờ rưỡi người đó đi được bao nhiêu km?
Sau đó, hãy tính vận tốc của người đó theo đơn vị km/h.

Bài 5:
Ba đơn vị vận chuyển cùng chở 685 tấn hàng.
Đơn vị A có 8 xe, mỗi xe chở được 4 tấn.
Đơn vị B có 10 xe, mỗi xe chở được 5 tấn.
Đơn vị C có 10 xe, mỗi xe chở được 4,5 tấn.
Biết rằng mỗi xe đều chạy cùng số chuyến.
Tính khối lượng hàng mà đơn vị B vận chuyển.

Lời giải

Dạng 1: Bài toán nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận 

Bài 1
Ta có:

$\frac{40}{20}=20; \frac{60}{3}=20;\frac{80}{4}=20;\frac{100}{5}=20$

Vì tỉ số giữa số sản phẩm và thời gian luôn không đổi (bằng 20), nên hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
Hệ số tỉ lệ là k=20

Vậy, hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ k=20

Bài 2:

Phương trình y=4x+2 có thêm hằng số +2, không có dạng y=kx

Khi x=0 thì y=20, do đó đồ thị không đi qua gốc tọa độ.

Vậy, hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau.

Bài 3:

Vì vận tốc không đổi nên ta có:

s=vt

Khi vận tốc v=60 km/h thì s=60t
Biểu thức có dạng y=kx với k=60

Vậy, quãng đường và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ s= 60t

Bài 4:

Ta có bảng giá trị:

Tính tỉ số $\frac{y}{x}$ :

$\frac{6}{-2}=-3 ; \frac{3}{-1}=-3 ;\frac{-3}{1}=-3; \frac{-6}{2}=-3$

Tất cả các tỉ số đều bằng nhau và khác 0, nên y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k=-3

Vậy, hai đại lượng x và ytỉ lệ thuận theo hệ số k=-3

Bài 5:
Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k=-2 nên y=-2x

Khi x tăng gấp đôi, y cũng tăng gấp đôi về độ lớn nhưng ngược dấu.

Khi x giảm đi một nửa, y cũng giảm đi một nửa giá trị.

Vậy, hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, nhưng ngược chiều nhau vì k<0

Bài 5:
Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k=-2 nên y=-2x

Khi x tăng gấp đôi, y cũng tăng gấp đôi về độ lớn nhưng ngược dấu.

Khi x giảm đi một nửa, y cũng giảm đi một nửa giá trị.

Vậy, hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, nhưng ngược chiều nhau vì k<0

Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ

Bài 1:

Ta có x=3; y=9 . Hệ số tỉ lệ:

$k = \frac{y}{x}=\frac{9}{3}=3$

Thay vào biểu thức y=kx  được y=3x

Vậy k=3 và y=3x

Bài 2:

Cho x=8; y=20 .Hệ số tỉ lệ:

$k = \frac{y}{x}=\frac{20}{8}=2,5$

Biểu thức liên hệ y=2,5x. 

Với x=12, $y=2,5\times 12=30$

Vậy, với k=2,5 và x=12 thì y=30

Bài 3:

Cho dây đồng dài 4m có khối lượng 23 g. Khối lượng m tỉ lệ thuận với chiều dài l. Hệ số tỉ lệ:

$k = \frac{m}{l}=\frac{23}{4}=5,75$

Biểu thức: m=5,75l

Vậy, hệ số tỉ lệ là k=5.75(g/m) và m=5,75l

Bài 4:

Cho t=2 giờ, s=90km. Với s và t tỉ lệ thuận. Hệ số tỉ lệ (vận tốc) là:

$k = \frac{s}{t}=\frac{90}{2}=45 (km/h)$

Biểu thức: s=45t

Vậy k=45 và s=45t

Bài 5:

Cho x=-2, y=6. Hệ số tỉ lệ:

$k = \frac{y}{x}=\frac{6}{-2}=-3$

Do đó y=-3x

Khi x=-3:

$y=-3\times (-3)=9$

Khi x=0:

$y=-3\times 0=0$

Vậy, k=-3,y=-3x; khi x=-3 thì y=9, khi x=0 thì y=0

Dạng 3: Áp dụng tính chất tỉ số

Bài 1: 

Gọi x là giá tiền của 7,5m vải. Vì giá tỉ lệ thuận với chiều dài nên:

$\frac{200 000}{4}=\frac{x}{7,5}$

suy ra:

$x=\frac{200 000\times 7,5}{4}=375 000$

Vậy 7,5m vải có giá 375 000 đồng.

Bài 2:

Gọi  là trang in trong 10 phút. Theo tỉ lệ, ta có:

$\frac{120}{4}=\frac{x}{10}$

Suy ra:

$x=\frac{120}{4}=30 (trang/phút)$

Vậy máy in in được 300 trang trong 10 phút và k=30 trang/phút

Bài 3:

Từ bảng: 1 giờ -> 40 km. Vậy trong 4 giờ quãng đường là

$40\times 4=160 \left(km\right)$

Kiểm tra tỉ số $\frac{s}{t}=\frac{4}{1}=4$ không đổi cho các cặp (nếu xét các cặp đã cho), nên s và t tỉ lệ thuận.

Vậy, quãng đường trong 4 giờ là 160 km; hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Bài 4:

Gọi ba cạnh là 3x,4x,5x. Do chu vi là 48cm, ta có:

2x + 4x + 5x = 48 $\Rightarrow 12x=48\Rightarrow x=4$

Do đó 30 (trang/phút)ba cạnh là:

3x=12cm, 4x=16cm, 5x=20cm

Vậy, độ dài các cạnh lần lượt là 12cm, 16cm và 20 cm ( và hệ số tỉ lệ so với bộ 3:4:5 ;và x=4)

Bài 5:

Từ dữ kiện: khi x=1 thì y=5; khi x=2 thì y=10. Ta có tỉ số:

$\frac{y}{x}=\frac{5}{1}=5$ và $\frac{10}{2}=5$ 

Do đó y tỉ lệ thuận với x và y=5x

Khi x=3 thì $y=5\times 3=15$

Vậy, y=5x và tổng điểm khi làm 3 bài là 15.

Dạng 4: Chia tỉ lệ

Bài 1:

Vì số học sinh được chia theo tỉ lệ 28:32:36, nên tổng tỉ lệ là:

28 + 32 +36 = 96

Mỗi phần tỉ lệ ứng với số cây là $\frac{48}{96}=\frac{1}{2}$ cây cho 1 đơn vị tỉ lệ. Số cây của từng lớp là:

Lớp 7A = $28\times \frac{48}{96}=28\times \frac{1}{2}=14$

Lớp 7B = $32\times \frac{1}{2}=16$

Lớp 7C = $36\times \frac{1}{2}=18$

Vậy số cây các lớp trồng được lần lượt là 14, 16 và 18 cây.

Bài 2:

Ta có tỉ lệ 2:3:5, tổng tỉ lệ = 2 + 3 + 5 = 10, Mỗi đơn vị tỉ lệ tương ứng với:$\frac{40}{10}=4$ điểm

Số điểm của từng bạn:

$A= 2\times 4=8; B=3\times 4=12; C=5\times 4=20$

Vậy, điểm thưởng của A, B, C lần lượt là 8, 12 và 20.

Bài 3:

Gọi số tiền của từng người là 3x,4x và 5x. Ta biết:

4x-3x=x=10 (triệu đồng)

Suy ra x=10. Vậy các phần là:

3x=30, 4x=40, 5x=50 (triệu đồng)

Vậy, ba người nhận lần lượt 30, 40 và 50 triệu đồng.

Bài 4:

Gọi tiền thưởng của các tổ là 3x,5x và 7x. Ta có:

3x+5x=5,6 (triệu) $\Rightarrow 8x=5,6\Rightarrow x=0,7 \left(triệu\right)$

Tổng tiền thưởng của cả ba tổ là:

$15x=15\times 0,7=10,5 \left(triệu\right)$

Vậy, tổng tiền thưởng của cả ba tổ là 10,5 triệu đồng.

Bài 5:

Gọi số vở từng bạn theo tỉ lệ 2:3:4; tổng tỉ lệ = 9. Từ tổng 72 quyển, ta có:

$x=\frac{72}{9}=8$

Ban đầu: A=2x=16, B=3x=24,C=4x=32. 

Sau khi A tặng B 4 quyển: A=16-4=12, B=24+4=28, C=32.

Tỉ lệ  mới là: 12:28:32

Rút gọn: 3:7:8

Vậy, tỉ lệ số vở của A, B, C sau khi chuyển là 3:7:8

Dạng 5: Bài toán thực tế

Bài 1:

4 m dây nặng 23 g ⇒ 1m dây nặng $\frac{23}{4}=5,75 \left(g\right)$

8km= 8 000m ⇒ khối lượng: $5,75 \times 8 000 g=46 000= 46 \left(kg\right)$

Vậy 8km dây nặng 46kg.

Bài 2:

45 chi tiết trong 3 giờ ⇒ năng suất mỗi giờ là:

$\frac{45}{3}=15 (chi tiết/giờ)$ 

Trong 8 giờ sản xuất được:

$15\times 8=120 (chi tiết)$

Vậy xưởng sản xuất được 120 chi tiết trong 8 giờ.

Bài 3:

24 bộ cần 36 m ⇒ 1 bộ cần: $\frac{36}{24}=1,5 \left(m\right)$

15 bộ cần: $15\times 1,5=22,5 \left(m\right)$.

Nếu chỉ có 20m thì số bộ may được là:

$\frac{20}{1,5}=\frac{200}{15}\approx 13,33 =13 bộ \left(nguyên\right)$

Vậy cần 22,5m cho 15 bộ. Với 20m chỉ may được 13 bộ hoàn chỉnh.

Bài 4:

5 km trong 20 phút ⇒ 1 phút đi được: $\frac{5}{20}=0,25 \left(km\right)$

1,5 giờ = 90 phút ⇒ quãng đường đi được: $90\times 0,25=22,5 \left(km\right)$

Với vận tốc theo km/h thì trong 60 phút đi được: $60\times 0,25= 15 (km/h)$

Vậy trong 1,5 giờ đi được 22,5km với vận tốc là 15km/h.

Bài 5:

Tính khả năng chuyên chở tương ứng (tỉ lệ):

Đơn vị A: 8 xe x 4 tấn = 32 (đơn vị)

Đơn vị B: 10 xe x 5 tấn = 50 (đơn vị)

Đơn vị C: 10 xe x 4,5 tấn = 45 (đơn vị) 

Tổng tỉ lệ: 32 + 50 +45 = 127

Khối lượng đơn vị B vận chuyển là:

$\frac{50}{127}\times 685\approx 269,76 \left(tấn\right)= 270 \left(tấn\right)$ (làm tròn).

Vậy đơn vị B vận chuyển khoảng 270 tấn hàng.

Xem thêm: Số thực là gì? Những kiến thức cần biết về tập số thực (ℝ)

Kết luận

Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa hai yếu tố biến thiên cùng chiều và biết cách vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế. Qua việc rèn luyện một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, các em sẽ nắm chắc và sử dụng thành thạo lý thuyết này. Đừng quên ghé Học là Giỏi để tìm hiểu thêm những kiến thức Toán học bổ ích mỗi ngày!