Chuyên đề khảo sát sự biến thiên của hàm số ôn thi ĐH

Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc 3

Cho hàm số bậc $3: \mathrm{y}=\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}(\mathrm{a} \neq 0)$

Bước 1:

- Tìm tập xác định có $\mathrm{D}=\mathrm{R}$.

- Tính $\mathrm{y}^{\prime}$ cho $\mathrm{y}^{\prime}=0$ và suy ra các nghiệm nếu có.

- Tính giới hạn $\lim _{x \rightarrow x+} f(x), \lim _{x \rightarrow x-} f(x)$.

Bước 2:

- TH1: Nếu $\mathrm{y}^{\prime}=0$ có hai nghiệm thì $\mathrm{y}^{\prime}$ sẽ có dấu là trong trái ngoài cùng.

- TH2: Nếu $\mathrm{y}^{\prime}=0$ có nghiệm kép thì $\mathrm{y}^{\prime}$ sẽ có dấu là luôn cùng dấu với a trừ giá trị tại nghiệm kép.

- TH3: Nếu $\mathrm{y}^{\prime}=0$ vô nghiệm thì y' sẽ có dấu là luôn cùng dấu với a.

Bước 3: Kết luận

Đồ thị hàm số bậc 3 có 6 dạng đồ thị như sau:

Ví dụ: Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+2$, xét tính biến thiên của hàm số.

Lời giải

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{R}, \mathrm{y}^{\prime}=3 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}$

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=0 \text { hoặc } x=2$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$

Ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số sẽ đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$ và $(2,+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0,2)$. 

Hàm số đạt cực đại tại $\mathrm{x}=0 ; y_{C Đ}=2$, hàm số đạt cực tiểu tại $\mathrm{x}=2 ; y_{C T}=-2$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc 4

Cho đồ thị hàm số bậc 4: $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^4+\mathrm{bx}^2+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0)$

Bước 1

- Tìm tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{R}$

- Tính $\mathrm{y}^{\prime \prime}$, sau đó giải phương trình $\mathrm{y}^{\prime}=0$. Phương trình có thể có 3 nghiệm, hoặc 1 nghiệm khác 0 và nghiệm $\mathrm{x}=0$.

- Tính giới hạn: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$

Bước 2: Lập bảng biến thiên có: Ở bên phải bảng biến thiên, dấu của $\mathrm{y}^{\prime}$ cùng dấu với a.

Bước 3: Kết luận

- Tính chất đơn điệu.

- Cực trị hàm số.

- Giới hạn của hàm số.

- Vẽ đồ thị bằng cách tìm thêm một số điểm đặc biệt.

Đồ thị hàm số bậc 4 có 4 dạng đồ thị như sau:

Ví dụ: Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2-3$, xét tính biến thiên của hàm số.

Lời giải

Tập xác định: $\mathrm{D}=\mathbb{R}$

Đạo hàm: $\mathrm{y}^{\prime}=4 \mathrm{x}^3-4 \mathrm{x}$
$\mathrm{y}^{\prime}=0 \Leftrightarrow 4 \mathrm{x}\left(\mathrm{x}^2-1\right)=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}=0$ hoặc $\mathrm{x}=-1$ hoặc $\mathrm{x}=1$

Giới hạn: $\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \lim _{x \rightarrow-\infty} y=+\infty$

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1 ; 0)$ và $(1 ;+\infty)$, nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0 ; 1)$.

Hàm số đạt cực đại tại $\mathrm{x}=0$ và $y_{C Đ}=-3$, đạt cực tiểu tại $\mathrm{x}= \pm 1$ và $y_{C T}=-4$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $(-1,-4),(0,-3),(1,-4),(2,5),(-2,5)$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số phân thức hữu tỉ

Cho hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $\mathrm{y}=\frac{a x+b}{c x+d}(\mathrm{c} \neq 0, \mathrm{ad}-\mathrm{bc} \neq 0)$.

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathrm{R} \backslash\left\{\frac{-d}{c}\right\}$

Tính $\mathrm{y}^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2} \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}$

Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

- Tiệm cận đứng: $\mathrm{x}=\frac{-d}{c}$ vì $\lim _{x \rightarrow \frac{d+}{c}} \mathrm{y}=\ldots$ và $\lim _{x \rightarrow \frac{d-}{c}} \mathrm{y}=\ldots$

- Tiệm cận ngang: $\mathrm{y}=\frac{a}{c}$ vì $\lim _{x \rightarrow x+} y=\frac{a}{c}$

Lập bảng biến thiên: Khi $\mathrm{x} \rightarrow+\infty$ thì $\mathrm{y}=\frac{a}{c}$

Lưu ý:

- Hàm số luôn luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định hoặc đồng biến trên từng khoảng xác định.

- Đồ thị luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng và sẽ có 2 dạng.

Đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ có 2 dạng đồ thị như sau:

Ví dụ: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+2}{x-1}$, khảo sát sự biến thiên.

Lời giải

Tập xác định $\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\{1\}$

$$\mathrm{y}^{\prime}=\frac{-3}{(x-1)^2}<0, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}$$

$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=-\infty \Rightarrow \mathrm{x}=1 \text { là TCĐ }$

$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} y=1 \Rightarrow \mathrm{y}=1 \text { là TCN }$

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞) và không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; -2), (-2; 0) và nhận I(1; 1) làm tâm đối xứng.

Bài tập khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 12

Dưới đây là 20 bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lớp 12, được thiết kế bám sát chương trình học giúp con hệ thống lại kiến thức về sự đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận và đồ thị hàm số.

Câu 1: Hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+2$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(0; 2)$

B. $(-\infty; 0)$

C. $(2; +\infty)$

D. $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$

Câu 2: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Câu 3: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-\mathrm{x}^3+3 \mathrm{x}+1$ là:

A. $(1; 3)$

B. $(-1; -1)$

C. $(1; 0)$

D. $(0; 1)$

Câu 4: Hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2+3$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}$ trên đoạn [0; 2] là:

A. $0$

B. $-2$

C. $2$

D. $3$

Câu 6: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-3}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. $x = 1$ và $y = 2$

B. $x = 2$ và $y = 1$

C. $x = -1$ và $y = 2$

D. $x = 1$ và $y = -3$

Câu 7: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+1}{\left(x^2-1\right)}$ là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Câu 8: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận gốc tọa độ $\mathrm{O}(0 ; 0)$ làm tâm đối xứng?

A. $y = x^3 - 3x$

B. $y = x^4 - 2x^2$

C. $y = \dfrac{x+1}{x-1}$

D. $y = x^3 - 3x^2$

Câu 9: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$ ?

A. $y = \frac{x+1}{x-2}$

B. $y = \frac{x-3}{x-2}$

C. $y = \frac{2x-1}{x-2}$

D. $y = \frac{-x}{x-2}$

Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}+1$ và trục hoành là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 11: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3-\mathrm{mx}^2+\left(\mathrm{m}^2-\right.$ $\mathrm{m}+1) \mathrm{x}+1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty)$.

A. $m \leq 1$

B. $m < 1$

C. $m \geq 1$

D. $m = 1$

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10 ; 10]$ để hàm số $y$ $=\frac{m x-4}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ ?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Câu 13: Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-2 m x^2+2 m+m^4$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = 3$

C. $m = \sqrt{3}$

D. $m = 1$

Câu 14: Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có đạo hàm $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)^2$ với mọi $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$. Hàm số $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1 ; 2)$

B. $(0 ; 1)$

C. $(2 ; 3)$

D. $(-\infty ; 0)$

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{mx}^2+3\left(\mathrm{~m}^2-\right.$ 1) $\mathrm{x}+\mathrm{m}$ đạt cực đại tại $\mathrm{x}=1$.

A. $m = 2$

B. $m = 0$

C. $m = 0$ hoặc $m = 2$

D. Không tồn tại $m$

Câu 16: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\left|\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}+\mathrm{m}\right|$ trên đoạn [0;2] bằng 3. Tổng các phần tử của S bằng:

A. 0

B. 2

C. -2

D. 6

Câu 17: Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x-1}{x^2-2 m x+m}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng là:

A. $(-\infty ; 0) \cup (1 ; +\infty)$

B. $(0 ; 1)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

D. $(-\infty ; 0] \cup (1 ; +\infty)$

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\left|\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+\mathrm{m}\right|$ có đúng 5 điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

Câu 19: Biết đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{y}=\mathrm{x}-1$ cắt đồ thị (C): $\mathrm{y}=\frac{2 x+1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. $2\sqrt{6}$

B. $\sqrt{6}$

C. $2\sqrt{3}$

D. $4\sqrt{2}$

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số y $=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3-(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}^2+\left(\mathrm{m}^2-3 \mathrm{~m}+2\right) \mathrm{x}+5$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$ ?

A. 13

B. 12

C. 14

D. 10

Bảng đáp án

1. A | 2. B | 3. A | 4. D | 5. C | 6. A | 7. B | 8. A | 9. B | 10. D

11. A | 12. B | 13. A | 14. A | 15. A | 16. A | 17. A | 18. A | 19. A | 20. A

Hy vọng những kiến thức và dạng bài trên đã giúp con hình dung rõ hơn cách khảo sát sự biến thiên của hàm số và biết cách vận dụng vào từng bài toán cụ thể. Nếu con muốn củng cố thêm kiến thức, luyện tập nhiều dạng bài và chuẩn bị nền tảng vững vàng cho kỳ thi Đại học, con có thể tham khảo khóa học Toán của Học là Giỏi để học và ôn luyện theo lộ trình phù hợp.