Toán 10: Các dạng phương trình đường thẳng trọng tâm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ $\vec{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua $\mathrm{M}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{o}} ; \mathrm{y}_{\mathrm{o}} ; \mathrm{z}_{\mathrm{o}}\right)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$
Phương trình tham số $\mathrm{d}(\mathrm{t} \in \mathrm{R})$

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

$z = z_0 + ct$

Phương trình chính tắc của d: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}($ a.b.c $\neq 0)$

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng đi qua $\mathrm{M}_1$ và có một vecto chỉ phương $\vec{u}$. Khi đó vị trí tương đối $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được xác định như sau:

$\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau $\Leftrightarrow \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} \neq 0$

$\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = 0 \\ \overrightarrow{u_1} \neq k \overrightarrow{u_2} \end{cases}$

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u_1} = k \overrightarrow{u_2} \\ M_1 \in \Delta_1, M_1 \notin \Delta_2 \end{cases}$

$\Delta_1 \equiv \Delta_2 \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u_1} = k \overrightarrow{u_2} \\ M_1 \in \Delta_1, M_1 \in \Delta_2 \end{cases}$

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng d đi qua $\mathrm{M}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{o}} ; \mathrm{y}_{\mathrm{o}} ; \mathrm{z}_{\mathrm{o}}\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$ và mặt phẳng (P): $\mathrm{Ax}+\mathrm{By}+\mathrm{Cz}+\mathrm{D}=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{C})$. Khi đó:

$d \text{ cắt } (P) \Leftrightarrow A a + B b + C c \neq 0$

$d \parallel (P) \Leftrightarrow \begin{cases} A a + B b + C c = 0 \\ A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \neq 0 \end{cases}$

$d \subset (P) \Leftrightarrow \begin{cases} A a + B b + C c = 0 \\ A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0 \end{cases}$

$d \perp (P) \Leftrightarrow \vec{u} \parallel \vec{n} \Leftrightarrow [\vec{u}, \vec{n}] = \vec{0}$

Góc giữa 2 đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng $\Delta_1$ có một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(\mathrm{a}_1 ; \mathrm{b}_1 ; \mathrm{c}_1\right)$ khi đó:

$\cos \left(\Delta_1 ; \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u_1} \overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$

Nhận xét:

- $0^\circ \leq (\Delta_1, \Delta_2) \leq 90^\circ$
- $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$ mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{C})$. Khi đó:

$\sin (\widehat{\Delta ;(P)})=|\cos (\vec{n} ; \vec{u})|=\frac{|A a+B b+C c|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M cùng đường thẳng $\Delta$ đi qua N có vectơ $\vec{u}$. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến $\Delta$ xác định bởi công thức:

$\mathrm{d}(\mathrm{M} ; \Delta)=\frac{|[\overrightarrow{N M} ; \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$

Khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau

Cách 1:

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $\mathrm{M}_1$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1} \cdot \Delta_2$ đi qua $\mathrm{M}_2$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$. Khi đó:

$\mathrm{d}\left(\Delta_1 ; \Delta_2\right)=\frac{\left|\left[\vec{u}_1 ; \vec{u}_2\right] \cdot M_1 \vec{M}_2\right|}{\left[\vec{u}_1 ; \vec{u}_2\right]}$

Cách 2:

Gọi AB là đoạn thẳng vuông góc $\Delta_1, \Delta_2$ với $\mathrm{A} \in \Delta_1, \mathrm{~B} \in \Delta_2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_1} = 0 \text{ và } \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0$

$\Rightarrow \mathrm{d}(\Delta_1, \Delta_2) = AB$

→ d(Δ₁, Δ₂) = AB

Tổng hợp các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập phương trình đường thẳng lớp 10 giúp con nhận diện từng dạng, nắm cách giải và chủ động luyện tập.

Viết phương trình đường thẳng bằng vectơ chỉ phương

Bài tập minh họa: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-2}{1}=$ $\frac{y+1}{-2}$. Viết phương trình chính tắc (hoặc phương trình tổng quát) của đường thẳng $\Delta$ biết $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{B}(2 ;-1)$ và vuông góc với đường thẳng d .

Lời giải

Vectơ chi phương của đường thẳng $\mathrm{d}: \vec{u}_d=(1 ;-2)$.

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng d nên $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến. Do đó, $\Delta$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_{\Delta}=\vec{u}_d=(1 ;-2)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{B}(2 ;-1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{\Delta}=(1 ;-2)$ nên có phương trình tổng quát là:

$1(x - 2) - 2(y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y - 4 = 0$

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác

Bài tập minh họa: Cho điểm $\mathrm{M}(0 ; 1 ;-1)$, đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua M, song song với (P) và cắt d.

Lời giải
Gọi giao điểm $\mathrm{N}=\Delta \cap \mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{N}(2+\mathrm{t} ; 1-\mathrm{t} ;-1+2 \mathrm{t})$.
Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{M N}=(\mathrm{t}+2 ;-\mathrm{t} ; 2 \mathrm{t})$.
Vì $\Delta \|(\mathrm{P})$ nên $\overrightarrow{M N} . \vec{u}_p=0 \Leftrightarrow 1(\mathrm{t}+2)+1(-\mathrm{t})+1(2 \mathrm{t})=0 \Leftrightarrow \mathrm{t}=-1$.

$\rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{M N}=(1 ; 1 ;-2) .$

Phương trình chính tắc của $\Delta: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-2}$

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến 2 đường thẳng khác

Bài tập minh họa: Viết phương trình $\Delta$ qua $\mathrm{M}(1 ; 1 ; 1)$, cắt $\mathrm{d}_1:\left\{\begin{array}{c}x=2 \\ y=3+t \\ z=t\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}_2$ :

$\left\{\begin{array}{c}x=t^{\prime} \\y=-1+t^{\prime} \\z=2+t^{\prime}&\end{array}\right.$

Lời giải

Gọi $\mathrm{A}=\Delta \cap \mathrm{d}_1 \Rightarrow \mathrm{~A}(2 ; 3+\mathrm{a} ; \mathrm{a})$

Gọi $\mathrm{B}=\Delta \cap \mathrm{d}_2 \Rightarrow \mathrm{~B}(\mathrm{~b} ;-1+\mathrm{b} ; 2+\mathrm{b})$

Gọi $\mathrm{B}=\Delta \cap \mathrm{d}_2 \Rightarrow \mathrm{~B}(\mathrm{~b} ;-1+\mathrm{b} ; 2+\mathrm{b})$

$\overrightarrow{M A}=(1 ; \mathrm{a}+2 ; \mathrm{a}-1), \overrightarrow{M B}=(\mathrm{b}-1 ; \mathrm{b}-2 ; \mathrm{b}+1)$

M, A, B thẳng hàng $[\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}]=0$

$\Leftrightarrow (3a + 3b; ab - a - 2b; -ab + a - b) = (0; 0; 0)$

Giải hệ phương trình $\Rightarrow \mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=0$.
Khi đó $\overrightarrow{M A}=(1 ; 2 ;-1)$.
Phương trình $\Delta:\left\{\begin{array}{c}x=1+t \\ y=1+2 t \\ z=1-t\end{array}\right.$

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Bài tập minh họa: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\ y=3+2 t\end{array}\right.$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song và cách d một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

Lời giải
Đường thẳng d đi qua A(2; 3), có VTCP $\vec{u}=(4 ; 2) \Rightarrow \operatorname{VTPT} \vec{n}=(1 ;-2)$.
Phương trình tồng quát của $\mathrm{d}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+4=0$.
Vì $\Delta \| \mathrm{d}$ nên phương trình $\Delta$ có dạng: $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{c}=0(\mathrm{c} \neq 4)$.
Khoảng cách từ d đến $\Delta$ chính là khoảng cách từ $\mathrm{A} \in \mathrm{d}$ đến $\Delta$ :

$\mathrm{d}(\mathrm{A}, \Delta) = \frac{|1(2)-2(3)+c|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \sqrt{14}$

$\Leftrightarrow \frac{|c-4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{14}$

$\Leftrightarrow |c-4| = \sqrt{70}$

$\Leftrightarrow c=4 \pm \sqrt{ } 70$ (thỏa mãn)
Có hai đường thẳng thỏa mãn là $\Delta: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+4 \pm \sqrt{ } 70=0$.

Xem thêm:  Tổng hợp phương trình đường tròn chi tiết

Bài tập ôn luyện phương trình đường thẳng trong không gian

Dưới đây là các bài tập ôn luyện phương trình đường thẳng trong không gian từ cơ bản đến nâng cao, để con chủ động luyện tập và củng cố kiến thức. 

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; -1) và vectơ pháp tuyến n = (3; 4). Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua A và nhận n làm vectơ pháp tuyến.

Bài 2: Cho hai điểm M(1; 3) và N(-2; 5). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và N.

Bài 3: Xét vị trí tương đối và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đường thẳng sau: 

d₁ : 2x - y + 3 = 0

d₂ : x + 3y - 5 = 0

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm P(3; -2) đến đường thẳng Δ : 3x - 4y + 5 = 0.

Bài 5: Cho đường thẳng d : 2x - 3y + 1 = 0 và điểm A(1; 2). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ₁ song song với d và đi qua A. Sau đó, viết phương trình đường thẳng Δ₂ vuông góc với d và đi qua A.

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 2), B(-3; 1), C(4; -2).

a) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

b) Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 7: Cho đường thẳng d : x + 2y - 3 = 0 và điểm M(2; 1).

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng d.

Bài 8: Cho hai đường thẳng d₁ : mx + (m - 1)y + 2 = 0 và d₂ : 2x + my - 1 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 45°. 

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 5) và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (khác gốc tọa độ O) sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 10.

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 1) và B(4; -3). Tìm tọa độ điểm K thuộc đường thẳng d : x - 2y - 1 = 0 sao cho biểu thức P = |KA - KB| đạt giá trị lớn nhất.

Hy vọng cách phân chia các dạng phương trình đường thẳng trên sẽ giúp con hệ thống lại kiến thức theo từng nhóm bài cụ thể. Thay vì ghi nhớ rời rạc, con nên kết hợp học công thức với luyện tập để hiểu cách vận dụng trong từng trường hợp. Con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 10 tại Học là Giỏi để tiếp tục ôn luyện và củng cố kiến thức theo chương trình.