Hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng hay một hiệu

Hiệu hai bình phương là gì?

Với hai số a, b bất kì, ta có phép tính:

(a + b). (a - b) = a. a - a. b + b. a - b. b = a² - b²

→ A² - B² = (A - B). (A + B)

Ví dụ: 55² - 45² = (55 - 45). (55 + 45) = 10. 100 = 1000

Bình phương của một tổng

Với hai số a, b bất kì, ta có phép tính:

(a + b). (a + b) = (a + b)² = a. a + a. b + b. a + b. b = a² + 2ab + b²

→ (A + B)² = A² + 2AB + B²

Ví dụ: 52² = (50 + 2)² = 50² + 2. 50. 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

Bình phương của một hiệu

Với hai số a, b bất kì, ta có phép tính:

(a - b). (a - b) = (a - b)² = [a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b²

→ (A - B)² = A² - 2AB + B²

Ví dụ: 48² = (50 - 2)² = 50² - 2. 50. 2 + 2² = 2500 - 200 + 4 = 2304

Các dạng toán thường gặp về hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương là một hằng đẳng thức đáng nhớ, được sử dụng thường xuyên trong các bài toán Toán 8, đặc biệt khi khai triển và phân tích biểu thức. Dưới đây là những dạng bài thường gặp mà các con cần nắm vững.

Dạng 1: Khai triển biểu thức

Phương pháp giải: Nhận biết tích có dạng (a + b). (a - b), sau đó áp dụng:

(a + b). (a - b) = a² - b²

Ví dụ: Khai triển: (2x - 3). (2x + 3)

(2x - 3). (2x + 3) = (2x)²- 3² = 4x² - 9

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp giải: Viết đa thức về dạng a² - b², rồi áp dụng:

a² - b² = (a - b). (a + b)

Ví dụ: Phân tích đa thức: x² - 25

x² - 25 = x² - 5² = (x - 5)(x + 5)

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải: Nhận dạng hiệu hai bình phương để chuyển phép trừ hai bình phương thành tích, từ đó tính nhanh giá trị biểu thức.

Ví dụ: Tính: A = 102² - 98²

A = (102 - 98)(102 + 98) = 4 . 200 = 800

Dạng 4: Tìm x

Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng hiệu hai bình phương, phân tích thành tích rồi sử dụng tính chất: A . B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0

Ví dụ: Tìm x: x² - 16 = 0

x² - 16 = x² - 4² = (x - 4)(x + 4)

→ (x - 4)(x + 4) = 0

→ x = 4 hoặc x = -4

Dạng 5: Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Nhận dạng và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, sau đó rút gọn hoặc biến đổi một vế về đúng dạng của vế còn lại.

Ví dụ: Rút gọn: A = $\frac{(x^2 - 9)}{(x + 3)}$ với x ≠ -3.

Lời giải:

A = $\frac{(x^2 - 9)}{(x + 3)}$ = $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)}$ = x - 3

Vậy: A = x - 3 với x ≠ -3.

Xem thêm: Bí kíp chinh phục các hằng đẳng thức mở rộng

Bài tập tự luyện hiệu hai bình phương (Kèm đáp án)

Dưới đây là tổng hợp bài tập hiệu hai bình phương từ cơ bản đến nâng cao, kèm đáp án để các con củng cố kiến thức và luyện tập tại nhà.

Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x - 3)(x + 3)

b) (y - 5)(y + 5)

c) (2x - 1)(2x + 1)

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (3x - 2y)(3x + 2y)

b) (4a - 5b)(4a + 5b)

c) (5x - 3y)(5x + 3y)

Bài 3: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x² - 4)(x² + 4)

b) (x³ - 2)(x³ + 2)

c) (x² - y²)(x² + y²)

Bài 4: Khai triển các biểu thức sau bằng cách nhóm hạng tử:

a) (x - y + 1)(x - y - 1)

b) (x + y - 3)(x + y + 3)

c) (2x - y + 2)(2x - y - 2)

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² - 25

b) y² - 81

c) 4x² - 9

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 16x² - 25y²

b) 49a² - 64b²

c) 100x² - 9y²

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x - 2)² - 9

b) (2x + 1)² - 16

c) 25 - (x - 3)²

Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (3x - 1)² - (x + 2)²

b) (2x + 5)² - (x - 4)²

c) (x² - 3)² - 16

Bài 9: Tính nhanh giá trị các phép tính sau:

a) 45² - 35²

b) 73² - 27²

c) 105² - 5²

Bài 10: Vận dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm:

a) 52 × 48

b) 103 × 97

c) 205 × 195

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức tại các giá trị cho trước:

a) A = x² - y² tại x = 86, y = 14

b) B = 4x² - 9y² tại x = 5, y = 3

c) C = 16x² - 25y² tại x = 2, y = 1

Bài 12: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) M = (2x + 1)² - (2x - 1)² tại x = 10

b) N = (3x - 2y)² - (3x + 2y)² tại x = 4, y = 5

c) P = (x + y)² - (x - y)² tại x = 12, y = 2

Bài 13: Tìm x, biết:

a) x² - 36 = 0

b) x² - 64 = 0

c) 4x² - 25 = 0

Bài 14: Tìm x, biết:

a) (x - 5)² - x² = 0

b) (2x + 3)² - 4x² = 21

c) x² - (x - 4)² = 16

Bài 15: Tìm x, biết:

a) 9x² - (3x - 1)² = 8

b) (4x - 3)² - 16x² = 15

c) 25x² - (5x + 2)² = -12

Bài 16: Tìm x, biết:

a) (2x + 1)² - (2x - 3)² = 16

b) (3x - 2)² - (3x + 1)² = -15

c) (x + 4)² - (x - 2)² = 24

Bài 17: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (x - 3)(x + 3) - x²

b) B = (2x - 5)(2x + 5) - 4x² + 10

c) C = (3x - 1)(3x + 1) - (3x - 2)²

Bài 18: Rút gọn các biểu thức sau:

a) M = (x - y)(x + y) + (y - z)(y + z) + (z - x)(z + x)

b) N = 2(x - 2)(x + 2) - (2x - 1)²

c) P = (4x + 3y)(4x - 3y) - (3x - 4y)²

Bài 19: Chứng minh các đẳng thức sau luôn đúng:

a) (a - b)(a + b) + b² = a²

b) (x + y)² - (x - y)² = 4xy

c) (a + b + c)(a + b - c) = (a + b)² - c²

Bài 20: Chứng minh giá trị của các biểu thức: 

a) A = (x - 2)(x + 2) - x² + 5 

b) B = (2x - 3)(2x + 3) - 4(x - 1)(x + 1) 

c) C = (x - 5)(x + 5) - (x - 3)(x + 3) + 16

Đáp án

Bài 1:

a) x² - 9

b) y² - 25

c) 4x² - 1

Bài 2:

a) 9x² - 4y²

b) 16a² - 25b²

c) 25x² - 9y²

Bài 3:

a) x⁴ - 16

b) x⁶ - 4

c) x⁴ - y⁴

Bài 4:

a) x² - 2xy + y² - 1

b) x² + 2xy + y² - 9

c) 4x² - 4xy + y² - 4

Bài 5:

a) (x - 5)(x + 5)

b) (y - 9)(y + 9)

c) (2x - 3)(2x + 3)

Bài 6:

a) (4x - 5y)(4x + 5y)

b) (7a - 8b)(7a + 8b)

c) (10x - 3y)(10x + 3y)

Bài 7:

a) (x - 5)(x + 1)

b) (2x - 3)(2x + 5)

c) (8 - x)(x + 2)

Bài 8:

a) (2x - 3)(4x + 1)

b) (x + 9)(3x + 1)

c) (x² - 7)(x² + 1)

Bài 9:

a) 800

b) 4600

c) 11000

Bài 10:

a) 2496

b) 9991

c) 39975

Bài 11:

a) 7200

b) 19

c) 39

Bài 12:

a) 80

b) -480

c) 96

Bài 13:

a) x = 6 hoặc x = -6

b) x = 8 hoặc x = -8

c) x = 5/2 hoặc x = -5/2

Bài 14:

a) x = 5/2

b) x = 1

c) x = 4

Bài 15:

a) x = 3/2

b) x = -¼

c) x = 2/5

Bài 16:

a) x = 3/2

b) x = 1

c) x = 1

Bài 17:

a) -9

b) -15

c) 12x - 5

Bài 18:

a) 0

b) -2x² + 4x - 9

c) 7x² + 24xy - 25y²

Bài 19:

a) VT = a² = VP (Đpcm)

b) VT = 4xy = VP (Đpcm)

c) VT = (a + b)² - c² = VP (Đpcm)

Bài 20:

a) 1

b) -5

c) 0

Hy vọng những kiến thức và ví dụ trên đã giúp các con hiểu rõ hơn về hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu, từ đó biết cách nhận dạng và áp dụng đúng công thức khi làm bài. Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải Toán 8, các con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 8 tại Học là Giỏi với lộ trình học tập phù hợp và nội dung bám sát chương trình.