Tính chất ba đường cao của tam giác: Định lý & Bài tập

Định nghĩa đường cao của tam giác

Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có 3 đường cao.

Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Định lý về đường cao trong tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Định lí 2: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lưu ý: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác là bốn điểm trùng nhau.

Giải bài tập tính chất ba đường cao của tam giác

Dưới đây là các dạng bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác thường gặp trong chương trình Toán 7, kèm theo phương pháp giải và ví dụ minh họa chi tiết.

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. Nếu K là giao điểm của hai đường cao kẻ từ Q và R của $\triangle \mathrm{PQR}$ thì $\mathrm{PK} \perp \mathrm{QR}$.

Ví dụ: Cho tam giác PQR nhọn. Kẻ các đường cao QD và RE (với $\mathrm{D} \in \mathrm{PR}, \mathrm{E} \in \mathrm{PQ}$ ). Gọi K là giao điểm của QD và RE . Kéo dài PK cắt QR tại H . Chứng minh rằng $\mathrm{PK} \perp$ QR

Xét $\triangle P Q R$, ta có:

$\mathrm{QD} \perp \mathrm{PR}$ (do QD là đường cao).

$\mathrm{RE} \perp \mathrm{PQ}$ (do RE là đường cao).

Hai đường cao QD và RE cắt nhau tại K (giả thiết).

$\rightarrow \mathrm{K}$ là trực tâm của $\triangle \mathrm{PQR}$.

Áp dụng tính chất trực tâm của tam giác (đường thẳng đi qua đỉnh và trực tâm sẽ vuông góc với cạnh đối diện), ta có $\mathrm{PK} \perp \mathrm{QR}$ tại H.

Dạng 2: Chứng minh đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện

- Sử dụng định lý 1 “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó”  để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.

- Sử dụng định lý 2: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ: Cho tam giác DEF. Kẻ đường cao DH xuống cạnh EF (H $\in \mathrm{EF}$ ). Biết rằng DH đồng thời là đường phân giác của góc $\widehat{E D F}$. Chứng minh rằng $\triangle \mathrm{DEF}$ là tam giác cân.

Xét $\triangle \mathrm{DEF}$, ta có đoạn thẳng DH xuất phát từ đỉnh D với:

DH là đường cao $(\mathrm{DH} \perp \mathrm{EF})$.

DH là đường phân giác của $\widehat{E D F}$ (giả thiết).

→ Do đường cao và đường phân giác xuất phát từ đỉnh D trùng nhau, ta suy ra $\triangle \mathrm{DEF}$ cân tại D.

Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$. Lấy điểm $M$ bất kì trên nửa đường tròn $(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}, \mathrm{B})$. Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Tia BM cắt tia Ax tại I. Kẻ IK ⟂ AB tại K. Gọi E là giao điểm của IK và AM. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, IK và đường thẳng đi qua B, E đồng quy.

Xét $\triangle \mathrm{IAB}$, ta có $\mathrm{IK} \perp \mathrm{AB}$ tại $\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{IK}$ là đường cao xuất phát từ đỉnh I .

Ta có $\widehat{A M B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\rightarrow \mathrm{AM} \perp \mathrm{IB}$.

Do đó, AM là đường cao xuất phát từ đỉnh A của $\triangle \mathrm{IAB}$.

Hai đường cao IK và AM cắt nhau tại E 

→ E là trực tâm của $\triangle \mathrm{IAB}$.

Đường thẳng đi qua đỉnh B và trực tâm E sẽ chứa đường cao thứ ba của $\triangle \mathrm{IAB}$.

Vậy AM, IK và đường thẳng đi qua B, E là ba đường cao của $\triangle \mathrm{IAB}$ nên chúng đồng quy tại E.

Xem thêm: Tính chất các đường đồng quy trong tam giác toán lớp 7

Bài tập tính chất ba đường cao của tam giác có giải

Để các em có thể ôn luyện và củng cố lại những kiến thức lý thuyết đã học, dưới đây là một số bài tập được chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao. Mỗi bài đều đi kèm lời giải chi tiết, giúp các em dễ dàng đối chiếu kết quả, kiểm tra cách làm và hiểu rõ hơn cách giải cho từng dạng bài cụ thể.

Bài 1: Cho $\triangle A B C$ nhọn, hai đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$. Kéo dài $A H$ cắt $B C$ tại F. Chứng minh $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ tại F.

Bài 2: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A. Đường cao BM cắt đường cao CN tại H. Chứng minh $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$.

Bài 3: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$, trực tâm H . Gọi K là điểm đối xứng của A qua O . Chứng minh $\mathrm{BK} \perp \mathrm{AB}$ và $\mathrm{CK} \perp \mathrm{AC}$.

Bài 4: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A , kẻ đường cao AH . Chứng minh AH đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác của $\triangle \mathrm{ABC}$.

Bài 5: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ có hai đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh $\triangle \mathrm{ABC}$ là tam giác cân tại A.

Bài 6: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ đều có ba đường cao $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$. Chứng minh $\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$.
Bài 7: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ có đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến. Chứng minh $\triangle$ ABC cân tại A.

Bài 8: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.

Bài 9: Cho tam giác cân ABC (cân tại A). Kẻ hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh AD, BM, CN đồng quy.

Bài 10: Cho $\triangle A B C$. Kẻ $A D \perp B C$ tại $D$. Trên đoạn $A D$ lấy điểm $H$. Kẻ BH cắt AC tại E sao cho $\mathrm{BE} \perp \mathrm{AC}$. Kéo dài CH cắt AB tại F . Chứng minh $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ đồng quy và $\mathrm{CF} \perp \mathrm{AB}$.

Hướng dẫn giải

Bài 1:

Trong $\triangle A B C$, ta có $B D$ và $C E$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$.

Theo định lý về ba đường cao trong tam giác, H chính là trực tâm của $\triangle \mathrm{ABC}$.

Suy ra đường thẳng đi qua A và H chứa đường cao thứ ba ứng với cạnh BC.

Vậy $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ tại F.

Bài 2:

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$ có hai đường cao BM, CN giao nhau tại H, suy ra H là trực tâm của tam giác.

Theo tính chất trực tâm, đường thẳng AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Do đó, $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$.

Bài 3:

Vì K là điểm đối xứng của A qua tâm O nên AK là đường kính của đường tròn (O).

Xét đường tròn (O), ta có góc $\widehat{A B K}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra $\widehat{A B K}=90^{\circ}$, tức là $\mathrm{BK} \perp \mathrm{AB}$.

Tương tự, $\widehat{A C K}$ cũng là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\mathrm{CK} \perp \mathrm{AC}$.

Bài 4:

Xét hai tam giác vuông $\triangle A B H$ và $\triangle A C H$ có:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (do $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A)

AH là cạnh chung

$\rightarrow \triangle \mathrm{ABH}=\triangle \mathrm{ACH}$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\rightarrow \mathrm{BH}=\mathrm{CH}$ (tức AH là trung tuyến) và $\widehat{B A H}=\widehat{C A H}$ (tức AH là phân giác).

Bài 5:

Xét hai tam giác vuông $\triangle B D C$ và $\triangle C E B$ có:

Cạnh huyền BC chung

$\mathrm{BD}=\mathrm{CE}$ (giả thiết)

$\rightarrow \triangle \mathrm{BDC}=\triangle \mathrm{CEB}$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\widehat{\rightarrow B C D}=\widehat{C B E}$ (hay $\widehat{A C B}=\widehat{A B C}$ ).

Vậy $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A.

Bài 6:

Vì $\triangle \mathrm{ABC}$ đều nên tam giác cũng cân tại cả 3 đỉnh A, B và C.

Áp dụng tính chất của tam giác cân: hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CF}$.

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{CF}$.

Bắc cầu ta suy ra $\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$.

Bài 7:

Xét $\triangle A B H$ và $\triangle A C H$ có:

AH là cạnh chung

$\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^{\circ} \text{ (do } AH \perp BC)$

$BH = CH \text{ (do } AH \text{ là trung tuyến)}$

$\rightarrow \triangle ABH = \triangle ACH \text{ (c.g.c)}$

$\rightarrow AB = AC$

Vậy $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A.

Bài 8:

Trong $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ và $\mathrm{CE} \perp \mathrm{AB}$.

Hai đường thẳng này cắt nhau tại H.

Theo định nghĩa, H là trực tâm của $\triangle \mathrm{ABC}$.

Đường thẳng AM đi qua trực tâm H nên AM chính là đường cao thứ ba.

Do đó, ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua điểm H (tức là đồng quy tại H).

Bài 9:

Trong $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A, đường phân giác AD xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC.

Mặt khác, BM và CN là hai đường cao xuất phát từ B và C .

Theo định lý về tính chất ba đường cao, ba đường cao của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.

Vậy $A D, B M$ và $C N$ đồng quy tại trực tâm $H$.

Bài 10:

Trong $\triangle \mathrm{ABC}$, ta có $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ tại D và $\mathrm{BE} \perp \mathrm{AC}$ tại E .

Đoạn AD và BE cắt nhau tại H, suy ra H là trực tâm của $\triangle A B C$.

Theo định lý tính chất ba đường cao, đường thẳng đi qua đỉnh C và trực tâm H chính là đường cao thứ ba.

Do đó, tia CH kéo dài cắt AB tại F thì $\mathrm{CF} \perp \mathrm{AB}$.

Đồng thời, ba đường thẳng AD, BE và CF (lần lượt là ba đường cao) đồng quy tại trực tâm H.

Hy vọng những nội dung trên đã giúp các con ghi nhớ tính chất ba đường cao của tam giác và tự tin hơn khi giải các bài tập hình học. Để củng cố kiến thức, luyện tập thường xuyên và cải thiện kỹ năng làm bài Toán 7, các con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi với lộ trình học phù hợp và sự hỗ trợ tận tình trong quá trình học tập.