Tính chất các đường đồng quy trong tam giác toán lớp 7

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác 

Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện trong tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Ví dụ: Cho MNP có ba đường trung tuyến MD, NE, PF. Khi đó MD, NE, PF đồng quy tại trọng tâm G và ta có: $\frac{MG}{MD} = \frac{NG}{NE} = \frac{PG}{PF} = \frac{2}{3}$

Chú ý:

- Trong một tam giác vuông thì độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$ độ dài cạnh huyền.

- Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. 

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện, nằm trên tia phân giác của góc tại đỉnh đó. Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Giao của ba đường phân giác của một tam giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó và nó cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ: Cho $△$DEF có ba đường phân giác DI, EJ, FK. Khi đó DI, EJ, FK đồng quy tại điểm O là tâm của đường tròn nội tiếp DEF, điểm O cách đều 3 cạnh DE, DF, EF.

Chú ý: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng được kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện của tam giác đó.

Ba đường cao trong một tam giác luôn đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: Cho $△$MNP có ba đường cao MD, NE, PF . Khi đó MD, NE, PF đồng quy tại trực tâm G.

Chú ý: Trong một tam giác cân đường cao đi qua đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, đường trung trực và đường phân giác của tam giác đó.

Sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác

Đường trung trực của tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đó.

Ba đường trung trực trong một tam giác luôn đồng quy tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho $△$ABC có ba đường trung trực của các cạnh AB, BC, CA. Khi đó ba đường trung trực đồng quy tại điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABC và ta có OA = OB = OC.

Chú ý: Trong một tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến.

Dạng bài tập về các đường đồng quy trong tam giác

Dưới đây là phương pháp giải chi tiết cho 4 dạng bài tập về các đường đồng quy trong tam giác trong nội dung Toán 7 theo định hướng sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Dạng 1: Chứng minh góc, cạnh bằng nhau

Phương pháp giải: Để chứng minh các góc hoặc cạnh bằng nhau trong bài toán về các đường đồng quy, trước hết cần xác định loại đường đồng quy xuất hiện trong hình và sử dụng đúng tính chất của đường đó.

Ví dụ: Cho tam giác MNP cân tại M có NE và PF là hai đường trung tuyến. Chứng minh rằng NE = PF.

Tam giác MNP cân tại M có NE và PF là hai đường trung tuyến suy ra MF = NF = ME = PE = $\frac{MN}{2} = \frac{MP}{2}$.

Xét $\triangle \mathrm{MNE}$ và $\triangle \mathrm{MPF}$ có:
 $\mathrm{MN} = \mathrm{MP}$; $\widehat{M}$ chung; $\mathrm{ME} = \mathrm{MF}$ nên $\triangle \mathrm{MNE} = \triangle \mathrm{MPF}\ (\text{c-g-c})$
$\Rightarrow \mathrm{NE} = \mathrm{PF}$

Dạng 2: Tính cạnh, góc

Phương pháp giải: Với dạng bài tính độ dài hoặc số đo góc, cần khai thác tỉ lệ, quan hệ vuông góc, quan hệ góc và các tính chất của điểm đồng quy.

Ví dụ: Cho P là điểm thuộc tia phân giác $\widehat{u I v}\left(\widehat{u I v}<90^{\circ}\right)$. Khoảng cách từ P tới Iu là 5 cm . Hỏi khoảng cách từ P đến Iv bằng bao nhiêu?

Kẻ PA ⟂ Iu; PB ⟂ Iv (A є Iu; B G Iv)

Khoảng cách từ P tới Iu là 5 cm → PA $=5$ cm

$P$ thuộc tia phân giác $\widehat{uIv}$ (gt) và $PA \perp Iu$; $PB \perp Iv$

$\rightarrow \mathrm{PA} = \mathrm{PB}$

Mà $\mathrm{PA}=5 \mathrm{~cm} \rightarrow \mathrm{~PB}^2=5 \mathrm{~cm}$.

Vậy khoảng cách từ P tới Iv bằng 5 cm.

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Ta dựa vào giả thiết và tính chất các đường đặc biệt trong tam giác:

- Với 3 điểm thẳng hàng, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường thẳng.

- Với 3 đường thẳng đồng quy, xác định giao điểm của hai đường thẳng và chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua điểm đó.

Ví dụ: Cho tam giác MNP, các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại X, Y, Z (X nằm trong góc M, Y nằm trong góc N, Z nằm trong góc P). Chứng minh các đường thẳng MX, NY, PZ đồng quy tại I.

Xét tam giác MNP các đường phân giác ngoài đỉnh N và đỉnh P cắt nhau tại X.

→ MX là đường phân giác trong đỉnh M.

Chứng minh tương tự ta được NY và PZ lần lượt là đường phân giác trong tại đỉnh N và P của tam giác MNP

→ Ba đường MX, NY, PZ đồng quy tại điểm I.

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Phương pháp giải: Khi đề bài yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức về các cạnh hoặc các đoạn thẳng, ta cần xem các đại lượng đó có thể đưa về ba cạnh của một tam giác hay không. Sau đó, suy ra quan hệ về cạnh, góc, tỉ lệ hoặc độ dài đoạn thẳng để chứng minh.

Ví dụ: Tam giác MNP có ba đường phân giác cắt nhau tại K và $\mathrm{MN}<\mathrm{MP}$. Chứng $\operatorname{minh} \widehat{K P N}<\widehat{K N P}$.

Xét $\triangle \mathrm{MNP}$, ta có $\mathrm{MN}<\mathrm{MP}$ (giả thiết).

$\rightarrow \widehat{M N P}>\widehat{M P N}$ (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn).

Vì K là giao điểm ba đường phân giác của $\triangle \mathrm{MNP}$ nên NK là tia phân giác của $\widehat{M N P}$ và PK là tia phân giác của $\widehat{M P N}$.

$\rightarrow \widehat{K N P}=\frac{1}{2} \widehat{M N P}$ và $\widehat{K P N}=\frac{1}{2} \widehat{M P N}$.

Mà $\widehat{M N P}>\widehat{M P N}$ (chứng minh trên).

$\rightarrow \frac{1}{2} \widehat{M N P}>\frac{1}{2} \widehat{M P N}$.

$\rightarrow \widehat{K N P}>\widehat{K P N}$ hay $\widehat{K P N}<\widehat{K N P}$.

Xem thêm: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên chi tiết

Bài tập ôn luyện các đường đồng quy trong tam giác

Bộ bài tập được biên soạn từ mức độ cơ bản đến nâng cao, bám sát 4 dạng toán về các đường đồng quy trong tam giác, rất phù hợp để các con ôn luyện lại kiến thức tại nhà.

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết $\mathrm{BM}=\mathrm{CN}$.

a) Chứng minh $\triangle \mathrm{GBC}$ là tam giác cân.

b) Chứng minh $\triangle \mathrm{ABC}$ là tam giác cân tại A.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Kẻ $\mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$ tại E . Gọi F là giao điểm của BA và ED.

a) Chứng minh $\mathrm{DA} = \mathrm{DE}$.

b) Chứng minh $\mathrm{DF} = \mathrm{DC}$.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O . Gọi M là trung điểm của BC .

a) Chứng minh $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$.

b) Chứng minh $\mathrm{OM}$ là tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BOC}}$.

Bài 4: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=70^{\circ}$. Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính số đo góc $\widehat{B I C}$.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ và $\mathrm{AC}=8 \mathrm{~cm}$. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G.

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn có $\widehat{A}=65^{\circ}$. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H .

a) Tính số đo góc $\widehat{B H C}$.

b) Kéo dài AH cắt BC tại F . Tính số đo $\widehat{H F A}$.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, I, M thẳng hàng.

Bài 8: Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A, kẻ đường thẳng $d_1$ song song với BC. Qua B, kẻ đường thẳng $d_2$ song song với AC. Qua C, kẻ đường thẳng $d_3$ song song với AB. Gọi giao điểm của $d_1, d_2, d_3$ lần lượt là $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ (tạo thành $\triangle \mathrm{MNP}$ ).

a) Chứng minh đỉnh A là trung điểm của đoạn thẳng NP.

b) Chứng minh rằng các đường cao của $\triangle \mathrm{ABC}$ chính là các đường trung trực của $\triangle \mathrm{MNP}$. Từ đó suy ra ba đường cao của $\triangle \mathrm{ABC}$ đồng quy tại một điểm.

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn hơn $\frac{3}{4}$ chu vi tam giác $\mathrm{ABC}: \mathrm{AM}+\mathrm{BN}+\mathrm{CP}>\frac{3}{4}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA})$

Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh

a $HB + HC < AB + AC$

b) Trên tia đối của tia $MH$, lấy điểm $K$ sao cho $MK = MH$. Chứng minh tam giác $ABK$ là tam giác vuông và tính đoạn $AK$ theo các cạnh của tam giác gốc.

Hy vọng những kiến thức trên đã giúp các em hiểu rõ tính chất của các đường đồng quy trong tam giác và biết cách vận dụng vào từng dạng bài. Để củng cố kiến thức, luyện tập thường xuyên và nâng cao kỹ năng giải toán, các em có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi với lộ trình học phù hợp và sự hỗ trợ tận tình từ gia sư.