Tính chất dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 đầy đủ, dễ hiểu

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là gì?

Dãy tỉ số có dạng $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{\varepsilon}{f}$ được gọi là dãy tỉ số bằng nhau.
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa

$$
\begin{aligned}
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}(b \neq \pm \mathrm{d}) \\
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}=\frac{a+c-e}{b+d-f}
\end{aligned}
$$

Mở rộng

\begin{aligned}
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{m a+m c}{m b+m d}=\frac{m a-m c}{m b-m d} . \\
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{m a+m c+m e}{m b+m d+m f}=\frac{m a-m c+m e}{m b-m d+m f}=\frac{m a+m c-m e}{m b+m d-m f} \\
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\mathrm{k} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=k b \\
c=k d
\end{array} \text { với k là số bất kì khác } 0 .\right. \\
& \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{c}{d}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}=\frac{c^n}{d^n} \text { với n là số tự nhiên bất kì. }
\end{aligned}

Chú ý

Khi các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ hay $\mathrm{x}: \mathrm{y}: \mathrm{z}=\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}$.

Ví dụ

Từ tỉ lệ thức $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$, ta có: $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}=\frac{10+5}{14+7}=\frac{15}{21}$.

Các dạng bài tập tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tổng hợp các dạng bài tập tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp, kèm cách nhận biết và hướng giải ngắn gọn 

Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng các số nguyên

Phương pháp giải: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản, sau đó thực hiện phép chia phân số.

Ví dụ: $0{,}4 : \frac{6}{22} = \frac{4}{10} : \frac{3}{11} = \frac{2}{5} \cdot \frac{11}{3} = \frac{22}{15} = 22 : 15$

Dạng 2: Tìm hai số x; y và tỉ số của chúng

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta biến đổi để tìm giá trị hai số x, y.

Bài toán 1: Đề bài cho tổng $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{s}$ và tỉ số $\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ ta có:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{y}=\frac{a}{b} \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b} \\
& \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x+y}{a+b}=\frac{s}{a+b} \\
& \rightarrow \mathrm{x}=\frac{s}{a+b} \cdot \mathrm{a}, \mathrm{y}=\frac{s}{a+b} \cdot \mathrm{~b}
\end{aligned}
$$

Bài toán 2: Đề bài cho hiệu $\mathrm{x}-\mathrm{y}=\mathrm{p}$ và tỉ số $\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ ta có:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{y}=\frac{a}{b} \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b} \\
& \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x-y}{a-b}=\frac{p}{a-b} \\
& \rightarrow \mathrm{x}=\frac{p}{a-b} \cdot \mathrm{a}, \mathrm{y}=\frac{p}{a-b} \cdot \mathrm{~b}
\end{aligned}
$$

Bài toán 3: Đề bài cho tích $\mathrm{x} . \mathrm{y}=\mathrm{P}$ và $\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{a}{b} \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\mathrm{k}$

$\rightarrow \mathrm{x}=\mathrm{k} . \mathrm{a}$ và $\mathrm{y}=\mathrm{k} . \mathrm{b}$

Nên x. y = ka. kb = $k^2 \mathrm{ab}=\mathrm{P} \rightarrow k^2=\frac{P}{a b}$

Từ đó, tìm ra k sau đó tìm được x, y.

Bài toán 4: Đề bài cho tổng $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{P}$ và tỉ số $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ ta có:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{P}{a+b+c} \\
& \rightarrow \mathrm{x}=\frac{P}{a+b+c} . \mathrm{a} \text { và } \mathrm{y}=\frac{P}{a+b+c} . \mathrm{b} \text { và } \mathrm{z}=\frac{P}{a+b+c} . \mathrm{c}
\end{aligned}
$$

Ví dụ: Tìm ba số x, y, z biết rằng chúng lần lượt tỉ lệ với các số 2, 3, 4 và tổng của chúng bằng 45.

Ta có: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{45}{9}=5$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow x=5.2=10 \\
& y=5.3=15 \\
& z=5.4=20 \\
& \rightarrow \frac{10}{2}=\frac{15}{3}=\frac{20}{4}=5
\end{aligned}
$$

Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức

Phương pháp giải: Để chứng minh hai tỉ lê thức bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, ta có ba cách:
- Cách 1: Chứng minh $\mathrm{a} . \mathrm{d}=\mathrm{b} . \mathrm{c}$
- Cách 2: Chứng minh $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\mathrm{k}$
- Cách 2: Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đây là đúng: $\frac{18}{24}=\frac{-27}{-36}$.

Xét vế trái: $\frac{18}{24}=\frac{18: 6}{24: 6}=\frac{3}{4}$

Xét vế phải: $\frac{-27}{-36}=\frac{-27:(-9)}{-36:(-9)}=\frac{3}{4}$

$\rightarrow \frac{18}{24}=\frac{-27}{-36}=\frac{3}{4}$

Vậy đẳng thức $\frac{18}{24}=\frac{-27}{-36}$ là đúng.

Dạng 4: Bài toán thực tế về tỉ lệ thức

Phương pháp giải: Tuỳ theo đề bài, ta gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z sau đó đưa về dãy tỉ số bằng nhau và tìm thành phần chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ: Hai bạn Hùng và Dũng đi trồng cây. Số cây hai bạn trồng được lần lượt tỉ lệ với 3 và 5. Biết rằng Hùng trồng ít hơn Dũng 10 cây. Tính số cây mỗi bạn đã trồng.

Gọi số cây Hùng và Dũng trồng được lần lượt là x và y (cây) với x, y  N*; x < y.

Theo đề bài, ta có: $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$ và y - $\mathrm{x}=10$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{y-x}{5-3}=\frac{10}{2}=5 \\
& \rightarrow x=5.3=15 \text { và } y=5.5=25 .
\end{aligned}
$$

Vậy Hùng trồng được 15 cây, Dũng trồng được 25 cây.

Ôn luyện về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cùng Học là Giỏi củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng qua các dạng bài thường gặp trong kiểm tra, thi cử.

Bài 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên

a) $\frac{-2}{3} : \frac{15}{6}$

b) $1{,}2 : 3{,}36$

c) $\frac{5}{8} : 0{,}75$

d) $3\frac{1}{7} : 2\frac{5}{14}$

e) $-\frac{2}{3} : \frac{5}{9} : -\frac{7}{12} : \frac{11}{18}$

Bài 2: Cho $\mathrm{a}=\frac{4}{3}, \mathrm{~b}=-\frac{6}{5}, \mathrm{c}=\frac{9}{7}$. Hãy viết các tỉ số $\mathrm{a}: \mathrm{b}, \mathrm{b}: \mathrm{c}, \mathrm{a}: \mathrm{c}$ dưới dạng tỉ số giữa hai số nguyên tối giản.

Bài 3: Tìm x, y biết:

a) $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}, x+y=58$.

b) $\frac{x}{y}=\frac{7}{4}, x-y=18$.

c) $\frac{x}{4}=\frac{y}{7}, 2x+y=78$.

d) $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{x+y}{10}$ và $x+y=50$.

e) $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$ và $x+y+z=120$.

Bài 4: Một đội công nhân gồm ba nhóm A, B, C được giao hoàn thành một công việc. Số sản phẩm ba nhóm làm được tỉ lệ với 3:4:5. Biết nhóm C làm nhiều hơn nhóm A 48 sản phẩm.

a) Tính số sản phẩm mỗi nhóm.

b) Nếu mỗi sản phẩm nhóm A mất 6 phút, nhóm B mất 5 phút và nhóm C mất 4 phút để hoàn thành, tính tổng thời gian lao động của ba nhóm.

để hoàn thành, tính tổng thời gian lao động của ba nhóm.

Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 5:3. Biết chu vi mảnh đất là 128 m.

a) Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất.

b) Tính diện tích mảnh đất.

c) Nếu người ta dành $\frac{3}{8}$ diện tích để trồng rau, tính diện tích phần đất còn lại.

Bài 6: Tìm $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, biết: $\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{9}$ và $x^2+y^2+z^2=238$.

Bài 7: Tìm $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, biết: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$ và $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=70$. Tính $\frac{x^2+y^2+z^2}{x y+y z+z x}$.

Bài 8: Biết $\frac{18}{27}=\frac{24}{36}$. Chứng minh: $\frac{18+24}{27+36}=\frac{24-18}{36-27}$.

Bài 9: Biết $\frac{14}{20}=\frac{21}{30}=\frac{28}{40}$. Chứng minh $\frac{14+21-28}{20+30-40}=\frac{7}{10}$.

Bài 10: Chứng minh:

a) $\frac{16+24-8}{20+30-10}=\frac{12+18-6}{15+22{,}5-7{,}5}$

b) $\frac{12+18-6}{20+30-10}=\frac{15+25-5}{25+41\frac{2}{3}-8\frac{1}{3}}$

Hy vọng những kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau Học là Giỏi ở trên sẽ giúp học sinh hiểu bài nhanh và ghi nhớ lâu hơn. Các con hãy luyện tập thường xuyên để vận dụng thành thạo vào các bài toán, bài kiểm tra.

Nếu các con muốn củng cố kiến thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách có hệ thống, học sinh có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi. Khóa học giúp các con nắm chắc lý thuyết, luyện tập đa dạng dạng bài và từng bước nâng cao kỹ năng giải Toán.