Kiến thức số thập phân vô hạn tuần hoàn và hữu hạn tuần hoàn

Số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản có mẫu dương sẽ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu mẫu số chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.

Ví dụ: $\frac{3}{8}=0,375 ; \frac{7}{20}=0,35$

Vì: $8=2^3 ; 20=2^2 .5$ nên $\frac{3}{8}$ và $\frac{7}{20}$ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Một phân số tối giản có mẫu dương sẽ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nếu mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5.

Ví dụ: $\frac{2}{3}=0,(6) ; \frac{5}{12}=0,41(6)$

Vì: $3=3 ; 12=2^2 .3$

Trong cả hai mẫu số đều có ước nguyên tố 3, nên các phân số trên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mọi số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn đều biểu diễn một số hữu tỉ.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn

Với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn:

$0,(\mathrm{a})=\frac{a}{9} ; \quad 0,(\mathrm{ab})=\frac{a b}{99} ; \quad 0,(\mathrm{abc})=\frac{a b c}{999}$

Quy tắc: Từ số là chu kỳ, mẫu số gồm các chữ số 9, với số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kỳ.

Ví dụ 1: Chuyển 0, (6) thành phân số.

$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Ví dụ 2: Chuyển 0, (27) thành phân số.

$0,(27)=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$

Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp

Với số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp, ta thực hiện như sau:

- Tử số: Lấy số gồm cả phần trước chu kỳ và chu kỳ rồi trừ đi số gồm phần trước chu kỳ.

- Mẫu số: Viết số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kỳ, sau đó thêm số chữ số 0 bằng số chữ số ở phần trước chu kỳ.

Ví dụ: Chuyển 0,2 (5) thành phân số.

Số gồm phần trước chu kỳ và chu kỳ là 25, số trước chu kỳ là 2.

Do đó: $0,2(5)=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$

Chú ý: Nếu số thập phân có phần nguyên, con nên đổi phần thập phân thành phân số trước, sau đó cộng với phần nguyên.

Ví dụ: Chuyển 3,1 (6) thành phân số.

Ta có: $0,1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$

Do đó: $3,1(6)=3+\frac{1}{6}=\frac{19}{6}$

Các dạng bài tập số thập phân vô hạn tuần hoàn

Tổng hợp một số dạng bài tập số thập phân vô hạn tuần hoàn thường gặp trong các bài kiểm tra, giúp các em dễ dàng ôn luyện và nắm rõ từng dạng bài.

Nhận biết số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Phương pháp giải: Viết phân số về dạng tối giản, sau đó xét mẫu số:

- Nếu mẫu số chỉ có các thừa số nguyên tố là 2 và 5 thì phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

- Nếu mẫu số có thừa số nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: $\frac{3}{8} ; \frac{7}{20} ; \frac{5}{6}$

Có: $8=2^3 ; 20=2^2 .4 ; 6=2.3$

Vậy: $\frac{3}{8}$ và $\frac{7}{20}$ là số thập phân hữu hạn $\frac{5}{6}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Viết một phân số hoặc tỉ số dưới dạng số thập phân

Phương pháp giải: Viết một phân số dưới dạng số thập phân, con lấy tử số chia cho mẫu số. Nếu phép chia kết thúc thì được số thập phân hữu hạn. Nếu chữ số ở phần thập phân lặp lại thì được số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Vi dụ 1: Viết $\frac{7}{8}$ dưới dạng số thập phân.

$7: 8=0,875$

Ví dụ 2: Viết $\frac{5}{12}$ dưới dạng số thập phân.

$5: 12=0,4166666$

Chữ số 6 lặp lại liên tục nên: 5 : $12=0,41(6)$

Viết số thập phân dưới dạng phân số tối giản

Phương pháp giải: Viết số thập phân thành phân số có mẫu là 10,100,1000,… Sau đó rút gọn phân số. 

Dạng 1: Số thập phân hữu hạn

Ví dụ: Viết 0,75 dưới dạng phân số tối giản.

Có: $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$

Dạng 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: Viết 0,(3) dưới dạng phân số tối giản.

Đặt $\mathrm{x}=0,(3)=0,3333 \ldots$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow 10 \mathrm{x}=3,3333 \ldots \\
& \rightarrow 10 \mathrm{x}-\mathrm{x}=3,3333-0,3333 \\
& \rightarrow 9 \mathrm{x}=3 \\
& \rightarrow \mathrm{x}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

Ví dụ 2: Viết 0,2 (7) dưới dạng phân số tối giản.

Đặt $\mathrm{x}=0,2(7)=0,2777 \ldots$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow 10 \mathrm{x}=2,7777 \ldots \\
& \rightarrow 100 \mathrm{x}=27,7777 \ldots \\
& \rightarrow 100 \mathrm{x}-10 \mathrm{x}=27,7777-2,7777 \\
& \rightarrow 90 \mathrm{x}=25 \\
& \rightarrow \mathrm{x}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}
\end{aligned}
$$

Thực hiện phép tính

Phương pháp giải: Khi gặp phép tính phức tạp, con nên đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số, sau đó thực hiện phép tính như với phân số.

Ví dụ: $0,(3)+0,25$

Ta có: $0,(3)=\frac{1}{3} ; 0,25=\frac{1}{4}$

$\rightarrow 0,(3)+0,25=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$

Tìm x

Phương pháp giải: Có thể đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số trước, sau đó giải phương trình như bình thường.

Ví dụ: x + 0, (3) = 1

$- \text{Có } 0,(3) = \frac{1}{3}$

$\rightarrow x = 1 - \frac{1}{3}$

$\rightarrow x = \frac{2}{3}$

Ôn luyện số thập phân vô hạn tuần hoàn cơ bản đến nâng cao

Dưới đây là các bài tập số thập phân vô hạn tuần hoàn được sắp xếp theo từng dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em ôn tập lý thuyết và nâng cao kỹ năng giải bài.

Bài 1: Hãy cho biết các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn: $\frac{3}{4} ; \frac{5}{8} ; \frac{7}{12} ; \frac{11}{25}$.

Bài 2: Phân loại các phân số sau đâu là số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn: $\frac{9}{20} ; \frac{13}{15} ; \frac{17}{40} ; \frac{7}{18} ; \frac{21}{50}$.

Bài 3: Hãy xác định phân số nào sau là số thập phân hữu hạn: $\frac{14}{35} ; \frac{21}{45} ; \frac{27}{60} ; \frac{33}{75} ; \frac{42}{70}$.

Bài 4: Cho: $\mathrm{A}=\frac{12}{2^3 \cdot 5^2}, \mathrm{~B}=\frac{15}{2^2 \cdot 3^2}, \mathrm{C}=\frac{21}{2.5 .7}$

Hãy xác định A,B,C viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Bài 5: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: $\frac{3}{5} ; \frac{7}{8} ; \frac{9}{20} ; \frac{11}{25}$.

Bài 6: Viết các tỉ số sau dưới dạng số thập phân: 3:8; 7:12; 5:18; 13:15.

Bài 7: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: $\frac{17}{24} ; \frac{23}{36} ; \frac{31}{45} ; \frac{37}{66}$. Với số thập phân vô hạn tuần hoàn, hãy chỉ rõ chu kì.

Bài 8: Viết các số thập phân hữu hạn sau dưới dạng phân số tối giản: 0,5; 0,25; 0,75; 1,2.

Bài 9: Viết các số sau dưới dạng phân số tối giản: 0,2 (3); 0,1 (6); 0,4 (5); 1,2 (7).

Bài 10: Viết các số sau dưới dạng phân số tối giản: ,1 (36); 0,12 (45); 3,05 (18); 1,204 (27).

Bài 11: Tính: $0,(3)+0,25$.

Bài 12: Tính: $0,(6)-0,25+\frac{1}{3}$.

Bài 13: Tính: $0,(3) \times 0,6+\frac{1}{5}$.

Bài 14: Tính: $\mathrm{A}=0,2(3)+0,1(6)-0,(4)$.

Bài 15: Tính: $\mathrm{B}=\frac{0,(6)+0,25}{0,(3)}$.

Bài 16: Tính giá trị biểu thức: $\mathrm{C}=\frac{0,1(6)+0,2(3)}{0,(3)-0,1(6)}-\frac{0,(6)}{0,2(5)}$.

Bài 17: Tìm x biết $\mathrm{x}+0,(6)=\frac{5}{4}$.

Bài 18: Tìm x biết $\frac{2 x-0,1(6)}{0,(3)}=\frac{5}{2}$.

Hy vọng qua bài viết, học sinh đã hiểu rõ đặc điểm của số thập phân vô hạn tuần hoàn, biết cách nhận dạng và vận dụng vào từng dạng bài cụ thể. Nếu muốn củng cố kiến thức và cải thiện khả năng học Toán, các con có thể tìm hiểu thêm khóa học Toán lớp 7 Học là Giỏi để được học theo lộ trình bài bản và phù hợp với năng lực.