Chứng minh hai mặt phẳng song song đơn giản dễ hiểu

Chứng minh hai mặt phẳng song song qua định nghĩa

Hai mặt phẳng ( $\alpha$ ) và ( $\beta$ ) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có bất kỳ điểm chung nào.

Ký hiệu: $(\alpha) / /(\beta)$.

Nếu hai mặt phẳng có ít nhất một điểm chung, chúng sẽ cắt nhau theo một đường thẳng (gọi là giao tuyến). Do đó, song song là trường hợp đặc biệt khi "giao tuyến ở vô tận".

Chứng minh hai mặt phẳng song song trên điều kiện

Nếu mặt phẳng ( $\alpha$ ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b , mà cả a và b đều song song với mặt phẳng $(\beta)$, thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$.

Ký hiệu:
- $\mathrm{a}, \mathrm{b} \subset(\alpha)$
- $a \cap b$
- $\mathrm{a}, \mathrm{b} / /(\beta)$
$\rightarrow(\alpha) / /(\beta)$

Chứng minh hai mặt phẳng song song theo định lý

Dưới đây là các tính chất của hai mặt phẳng song song trong hình học không gian được tổng hợp và tóm tắt:

- Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( $\alpha$ ) thì qua a chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng ( $\alpha$ ).

- Nếu hai mặt phẳng ( $\alpha$ ) và ( $\beta$ ) song song với nhau thì mọi mặt phẳng ( $\gamma$ ) đã cắt ( $\alpha$ ) thì chắc chắn sẽ cắt (β). Đồng thời, các giao tuyến tạo thành sẽ song song với nhau.

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

- Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Nếu trên hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt lấy các điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ và $\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}$, $\mathrm{C}^{\prime}$ sao cho thỏa mãn tỉ lệ thức:

$\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$

Khi đó, ba đường thẳng $\mathrm{AA}^{\prime}, \mathrm{BB}^{\prime}, \mathrm{CC}^{\prime}$ sẽ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song với nhau.

Xem thêm: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song

Dưới đây là một số bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song từ cơ bản đến nâng cao, kèm đáp án để bạn có thể so sánh: 

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là song song với nhau khi và chỉ khi: 

A. Chúng có vô số điểm chung.

B. Chúng không có điểm chung nào.

C. Chúng cắt nhau theo một đường thẳng.

D. Có một đường thẳng thuộc (P) và song song với (Q).

Câu 2: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng phân biệt song song với nhau là:

A. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng song song với mặt phẳng kia. 

B. Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng kia.

C. Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau và cả hai cùng song song với mặt phẳng kia.

D. Hai mặt phẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

Câu 3: Qua một điểm M nằm ngoài mặt phẳng (P) cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và song song với (P)?

A. Không có.

B. Có duy nhất một.

C. Có hai.

D. Có vô số.

Câu 4: Cho ba mặt phẳng phân biệt $(\mathrm{P}),(\mathrm{Q}),(\mathrm{R})$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nểu $(\mathrm{P}) / /(\mathrm{Q})$ và $(\mathrm{Q}) / /(\mathrm{R})$ thì $(\mathrm{P}) / /(\mathrm{R})$.

B. Nếu (P) cắt (Q) và (Q) cắt (R) thì (P) cắt (R).

C. Nếu $(\mathrm{P}) / /(\mathrm{Q})$ thì mọi đường thẳng trong $(\mathrm{P})$ đều song song với mọi đường thẳng trong $(\mathrm{Q})$.

D. Nếu $(P) / /(Q)$ và $a \subset(P), b \subset(Q)$ thì $a / / b$.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng nào? 

A. (SAB)

B. (SBC)

C. (SCD)

D. (ABCD)

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\mathrm{SAB}, \mathrm{SBC}, \mathrm{SCA}$. Mặt phẳng $\left(G_1 G_2 G_3\right)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (SAB)
B. (SBC)
C. ( ABC )
D. Không song song với mặt phẳng nào.

Câu 7: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình thang $(\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AD}=2 \mathrm{BC})$. Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho $\mathrm{SM}=\frac{1}{3} \mathrm{SA}$. Một mặt phẳng ( $\alpha$ ) đi qua M và song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ cắt $\mathrm{SB}, \mathrm{SC}, \mathrm{SD}$ lần lượt tại $\mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$. Tỉ số diện tích của đa giác MNPQ và đa giác ABCD là:
A. $1 / 3$
B. $1 / 9$
C. $1 / 4$
D. $1 / 8$

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Mặt phẳng () chứa MN và song song với mặt phẳng (SBC). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng () là hình gì? 

A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Ngũ giác. 

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC', A'B'C'. Mặt phẳng (IJK) song song với mặt phẳng nào dưới đây? 

A. (BCC'B')

B. (ABB'A')

C. (A'BC)

D. (AB'C')

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA', BB', CC', DD' lần lượt tại M, N, P, Q sao cho tứ giác MNPQ là một hình bình hành. Khẳng định nào sau đây về mặt phẳng (P) là chính xác nhất? 

A. (P) luôn song song với mặt phẳng (ABCD).

B. (P) cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn thẳng bằng nhau.

C. AM + CP = BN + DQ.

D. (P) song song với mặt phẳng (A'B'C'D').

Đáp án

Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $\mathrm{SA}, \mathrm{SB}, \mathrm{SC}$.
a) Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) song song với mặt phẳng ( ABCD ).
b) Gọi Q là trung điểm của SD . Chứng minh bốn điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ đồng phẳng.

Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và $\mathrm{O}^{\prime}$ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF .
a) Chứng minh mặt phẳng (ADF) song song với mặt phẳng (BCE).
b) Chứng minh $\mathrm{OO}^{\prime} / /(\mathrm{ADF})$ và $\mathrm{OO}^{\prime} / /(\mathrm{BCE})$.

Bài 3: Cho hình hộp $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$. Chứng minh rằng mặt phẳng ( $\mathrm{BDA}^{\prime}$ ) song song với mặt phẳng $\left(\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{C}\right)$.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\mathrm{SAB}, \mathrm{SBC}, \mathrm{SCA}$. Chứng minh mặt phẳng $\left(G_1 G_2 G_3\right)$ song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$.

Bài 5: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn $\mathrm{AD}(\mathrm{AD}=$ 2 BC ). Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi P là trung điểm của SA . Chứng minh rằng mặt phẳng $(\mathrm{PMN})$ song song với mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$.

Bài 6: Cho hình lăng trụ $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ và $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Lấy điểm $\mathrm{P} \in \mathrm{AA}^{\prime}$ sao cho $\mathrm{AP}=2 \mathrm{PA}^{\prime}$. Lấy điểm $\mathrm{Q} \in \mathrm{BB}^{\prime}$ sao cho $\mathrm{BQ}=2 \mathrm{QB}^{\prime}$. Chứng minh rằng mặt phẳng ( MNP ) song song với mặt phẳng ( $\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ ).

Bài 7: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là một điểm di động trên đoạn SA (không trùng với S và A ). Dựng mặt phẳng ( $\alpha$ ) đi qua M và song song với mặt phẳng ( SBD ).
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( $\alpha$ ).
b) Xác định vị trí của M trên SA để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 8: Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm M thuộc đoạn AB và điểm N thuộc đoạn CD . Gọi ( $\alpha$ ) là mặt phẳng đi qua MN và song song với hai đường thẳng AD và BC .
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng ( $\alpha$ ).
b) Chứng minh thiết diện thu được luôn là một hình bình hành.

Bài 9: Cho hai tia Ax , By chéo nhau. Lấy các điểm M trên Ax và N trên By sao cho $\mathrm{AM}=\mathrm{BN}(\mathrm{M}, \mathrm{N}$ thay đổi). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Bài 10: Cho hình lập phương $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ cạnh a. Một mặt phẳng $(\mathrm{P})$ thay đổi nhưng luôn song song với mặt phẳng ( $\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ ). Cắt hình lập phương bằng mặt phẳng $(\mathrm{P})$, ta thu được một thiết diện đa giác. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi và diện tích đa giác thiết diện đó.

Gia sư Học là Giỏi mong rằng những kiến thức đã chia sẻ sẽ giúp bạn củng cố nền tảng, hệ thống hơn về cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian. 

Nếu bạn vẫn còn cảm thấy chưa tự tin khi gặp các dạng bài chứng minh hai mặt phẳng song song, thì việc tham gia khóa học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi là lựa chọn cần thiết. Chương trình với lộ trình rõ ràng, gia sư giảng dạy dễ hiểu, tập trung đúng trọng tâm bài thi giúp bạn hiểu sâu - nhớ lâu - làm chắc trong từng dạng bài.