Chinh phục đường thẳng và mặt phẳng song song trong 5 phút

Đường thẳng và mặt phẳng song song khi nào?

Đường thẳng d và mặt phẳng (P) song song với nhau khi và chỉ khi d và (P) không có điểm chung với nhau.

Điều kiện và tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song

Dưới đây là phần tổng hợp điều kiện và tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song, trình bày ngắn gọn - dễ học - dễ áp dụng:

Điều kiện

Để đường thẳng d song song với mặt phẳng $(\mathrm{P})$ khi và chỉ khi đường thẳng d song song với đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}$ thuộc mặt phẳng P .

Tóm tắt:
- $\mathrm{d} \not \subset(\mathrm{P})$
- $\mathrm{d}^{\prime} \subset(\mathrm{P})$
- $\mathrm{d} / / \mathrm{d}^{\prime}$
$\rightarrow \mathrm{d} / /(\mathrm{P})$

Tính chất

Nếu có đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) bất kì chứa đường thẳng d mà cắt với mặt phẳng (P) với giao tuyến d’ thì đường thẳng d’ luôn song song với d.

Tóm tắt: 

- $\mathrm{d} / /(\mathrm{P})$
- $(\mathrm{Q}) \cap(\mathrm{P})=\mathrm{d}^{\prime}$

$\rightarrow \mathrm{d} / / \mathrm{d}^{\prime}$

Hệ quả 1: Nếu một mặt phẳng song song với một đường thẳng thì luôn tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng song song với đường thẳng đó.

Tóm tắt:

- $\mathrm{d} / /(\mathrm{P})$
- $\exists \mathrm{d}^{\prime} \subset(\mathrm{P})$

$\rightarrow \mathrm{d}^{\prime} / / \mathrm{d}$

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó song song với đường thẳng đó.

Tóm tắt:

- $\mathrm{d} / /(\mathrm{P})$
- $\mathrm{d} / /(\mathrm{Q})$
- $(P) \cap(Q)=d^{\prime}$
$\rightarrow \mathrm{d} / / \mathrm{d}^{\prime}$

Hệ quả 3: Nếu hai đường thẳng chéo nhau thì chỉ có một và chỉ một phẳng đi qua một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại.

Tóm tắt:

- d, d' chéo nhau
- $\mathrm{d} \subset(\mathrm{P})$
- (P) $/ / \mathrm{d}^{\prime}$
$\rightarrow(\mathrm{P})$ là duy nhất

Phương pháp chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng trong hình học không gian, bạn có thể áp dụng một số phương pháp dưới đây:

- Để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta áp dụng điều kiện, tính chất để chứng minh.

- Để tìm đường thẳng phụ d’, ta sử dụng tính chất đường trung bình, định lý Ta-lét hoặc tính chất hình bình hành.

- Sử dụng hệ quả về giao tuyến: nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

Xem thêm: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài tập về đường thẳng và mặt phẳng song song

Dưới đây là bộ bài tập về đường thẳng và mặt phẳng song song được chia từ trắc nghiệm đến tự luận, có kèm đáp án để bạn luyện ngay tại nhà. 

Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d và mặt phẳng $(\mathrm{P})$. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và song song với một đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}$ nằm trong $(\mathrm{Q})$ thì:
A. d cắt (P)
B. $\mathrm{d} / /(\mathrm{P})$
C. $\mathrm{d} \perp(\mathrm{P})$
D. $\mathrm{d} \subset(\mathrm{P})$

Câu 2: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng $(\mathrm{P})$. Nếu mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ chứa d và cắt mặt phẳng $(\mathrm{P})$ theo giao tuyến $\mathrm{d}^{\prime}$ thì:
A. $\mathrm{d} / / \mathrm{d}^{\prime}$
B. d cắt $\mathrm{d}^{\prime}$
C. d và $\mathrm{d}^{\prime}$ chéo nhau
D. $\mathrm{d} \perp \mathrm{d}^{\prime}$

Câu 3: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN cắt (ABCD)
B. $\mathrm{MN} / /$ (SBC)
C. $\mathrm{MN} / /(\mathrm{ABCD})$
D. $\mathrm{MN} / /$ (SAD)

Câu 4: Trong không gian, cho hai đường thẳng song song a và b . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ ?
A. 1
B. Vô số
C. 2
D. 0

Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với $b$ ?
A. Duy nhất 1
B. Vô số
C. 2
D. 0

Câu 6: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình thang $(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \mathrm{AB}>\mathrm{CD})$. Gọi M là trung điểm của BC . Mặt phẳng ( $\alpha$ ) qua M và song song với CD và SA . Thiết diện của ( $\alpha$ ) với hình chóp là hình gi?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Tam giác
D. Hình thang

Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác $\mathrm{ABD}, \mathrm{M}$ là một điểm trên cạnh BC sao cho $\mathrm{MB}=2 \mathrm{MC}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MG cắt (ACD)
B. $\mathrm{MG} / /(\mathrm{ACD})$
C. $\mathrm{MG} / /(\mathrm{ABC})$
D. $\mathrm{MG} \subset(\mathrm{ACD})$

Câu 8: Nếu đường thẳng $\mathrm{d} / /(\alpha)$ và $\mathrm{d} / /(\beta)$, đồng thời $(\alpha) \cap(\beta)=\mathrm{a}$ thì:
A. $\mathrm{a} \perp \mathrm{d}$
B. a chéo d
C. $\mathrm{a} / / \mathrm{d}$
D. $\mathrm{a} \equiv \mathrm{d}$

Câu 9: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình bình hành. Gọi ( $\alpha$ ) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SC và song song với $\mathrm{AB}, \mathrm{SA}$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Giao tuyê̂n của ( $\alpha$ ) với ( ABCD ) song song với AB .
B. Giao tuyến của ( $\alpha$ ) với ( SBC ) là đường trung bình của $\triangle \mathrm{SBC}$.
C. ( $\alpha$ )// (SAB)
D. Thiết diện của hình chóp cắt bởi ( $\alpha$ ) là hình ngũ giác.

Câu 10: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng $(\mathrm{P})$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Trong $(\mathrm{P})$ luôn tồn tại vô số đường thẳng song song với d.
B. Nếu đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}$ nằm trong $(\mathrm{P})$ thì $\mathrm{d}^{\prime}$ chéo d .
C. d song song với mọi đường thằng nằm trong $(\mathrm{P})$.
D. Nếu mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ chứa d thì $(\mathrm{Q}) / /(\mathrm{P})$.

Đáp án 

Câu hỏi tự luận

Câu 1: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD .
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$.
b) Chứng minh rằng ON song song với mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$.

Câu 2: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình thang ( $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \mathrm{AB}>\mathrm{CD}$ ). Gọi M là một điểm trên cạnh BC . Mặt phẳng ( $\alpha$ ) qua M và song song với CD và SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( $\alpha$ ). Thiết diện đó là hình gì?

Câu 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác $\mathrm{ABD}, \mathrm{Q}$ là một điểm trên cạnh AC sao cho $\mathrm{AQ}=2 \mathrm{QC}$. Chứng minh rằng đường thẳng GQ song song với mặt phẳng $(\mathrm{BCD})$.

Câu 4: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC .
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng ( SBD ).
b) Chứng minh rằng $\mathrm{IA}=2 \mathrm{IM}$.

Câu 5: Cho tứ diện ABCD . Gọi $\mathrm{I}, \mathrm{J}$ lần lượt là trung điểm của BC và BD . ( $\alpha$ ) là mặt phẳng qua IJ và song song với AD . Xác định và tính diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi ( $\alpha$ ) theo các cạnh của tứ diện (giả sử tứ diện đều cạnh a).

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{M}^{\prime}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$.
a) Chứng minh rằng $\mathrm{AM} / / \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{M}^{\prime}$.
b) Chứng minh $\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{B} / /\left(\mathrm{ANC}^{\prime}\right)$ với N là trung điểm AB .

Câu 7: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB . Điểm N nằm trên cạnh SC sao cho $\mathrm{SN}=2 \mathrm{NC}$. Mặt phẳng ( $\alpha$ ) chứa MN và song song với AB .
a) ( $\alpha$ ) cắt $S D, S A$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Nêu cách xác định $P, Q$.
b) Tính tỉ số $\frac{S Q}{S A}$

Câu 8: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình thang $(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD})$. Một mặt phẳng ( $\alpha$ ) di động quay quanh đường thẳng AB và cắt các cạnh $\mathrm{SC}, \mathrm{SD}$ lần lượt tại $\mathrm{M}, \mathrm{N}$. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một đường thẳng cố định.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{a}$. Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh $B C$. Mặt phẳng ( $\alpha$ ) qua M và song song với AB và CD . Xác định vị trí của M để thiết diện của tứ diện cắt bởi (lalpha) có diện tích lớn nhất.

Câu 10: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình bình hành. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $S A B$ và $S B C$.
a) Chứng minh $\mathrm{MN} / /(\mathrm{ABCD})$.
b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ và song song với SB . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P).

Hy vọng nội dung trên sẽ giúp bạn học nhanh hơn, nhớ lâu hơn và chinh phục dạng toán đường thẳng và mặt phẳng song song một cách dễ dàng hơn.  

Khi bạn chỉ học thuộc lòng công thức thì rất nhanh quên và khó áp dụng. Thay vì loay hoay với những 'mẹo' chứng minh đường thẳng và mặt phẳng song song nhất thời, hãy tham khảo Khoá học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi. Tại đây, các gia sư sẽ giúp bạn thay đổi tư duy: học để hiểu bản chất, nắm chắc nền tảng và tự tin giải quyết mọi dạng bài tập mà không cần học vẹt.