Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Công thức và bài tập mẫu

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn điều kiện trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1 (|q| < 1).

Đây là dãy số mà các số hạng càng về sau càng có giá trị tuyệt đối nhỏ dần và tiến dần về số 0.

Ví dụ: Dãy số: $8,4,2,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots$ có $\mathrm{q}=\frac{1}{2}$. Vi $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là tổng của một dãy số vô hạn $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$ trong đó mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một công bội q cố định, thỏa mãn điều kiện trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn $1(|q|<1)$.

Khi $|\mathrm{q}|<1$, dãy số sẽ hội tụ và tổng S được xác định chính xác bằng công thức:

$\mathrm{S}=\frac{u_1}{1-q}$

Trong đó:
- $u_1$ : Số hạng đầu tiên của dãy.
- q : Công bội của cấp số nhân $(|\mathrm{q}|<1)$.

Đặc điểm:

$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$

- Hội tụ: Nếu $|q|<1$, tổng có giá trị hữu hạn cụ thể.

- Phân kỳ: Nếu $|q| \geq 1$, dãy số sẽ phân kỳ và tổng của nó không xác định được theo công thức trên.

Ví dụ minh hoạ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3}{2^n}$

Lời giải

Số hạng đầu tiên $\left(u_1\right)$ : Thay $\mathrm{n}=1$ vào công thức $u_n$, ta có: $u_1=\frac{3}{2}$

Số hạng đầu tiên $\left(u_2\right)$ : Thay $\mathrm{n}=2$ vào công thức $u_n$, ta có: $u_2=\frac{3}{4}$

→ Công bội $\mathrm{q}=\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}$
$\mathrm{Vi}|\mathrm{q}|=\left|\frac{1}{2}\right|<1$ nên đây là một cấp số nhân lùi vô hạn.

$\mathrm{S}=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$

Vậy tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là $\mathrm{S}=3$.

Bài tập tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Dưới đây là hệ thống bài tập tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn đi từ cơ bản đến nâng cao, kèm hướng dẫn rõ ràng để bạn luyện. 

Dạng bài: Tìm số hạng đầu ( $u_1$ ) và công bội (q)

Hướng làm: Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1 \cdot q^{n-1}(|q|<1)$ để biểu diễn các dữ kiện đề bài cho theo $u_1$ và q .

Ví dụ minh hoạ: Tìm số hạng đầu và công bội của một CSN lùi vô hạn, biết tổng của nó bằng 4 và số hạng thứ hai bằng $\frac{3}{4}$.

Lời giải

$S=\frac{u_1}{1-q}=4 \rightarrow u_1=4(1-q)(1)$

Số hạng thứ hai: $u_2=u_1 \cdot \mathrm{q}=\frac{3}{4}$ (2)

Thay (1) vào (2): $4(1-q) \cdot q=\frac{3}{4} \leftrightarrow 4 q-4 q^2=\frac{3}{4} \leftrightarrow 16 q^2-16 q+3=0$

Giải phương trình bậc hai ta được: $\mathrm{q}=\frac{3}{4}$ hoặc $\mathrm{q}=\frac{1}{4}$ (đều thoả mãn $|\mathrm{q}|<1$ )

Với $\mathrm{q}=\frac{3}{4} \rightarrow u_1=1$

Với $\mathrm{q}=\frac{1}{4} \rightarrow u_1=3$

Luyện tập

Bài 1: Tim số hạng đầu $u_1$ và công bội q của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân này là $S=6$ và số hạng đầu tiên gấp đôi công bội.

Bài 2: Tìm công bội q và số hạng đầu $u_1$ của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$, biết số hạng đầu $u_1=3$ và tổng của các số hạng từ số hạng thứ hai trở đi bằng 1 .

Bài 3: Tìm cấp số nhân lùi vô hạn $(u)$ biết rằng: $\left\{\begin{array}{l}u_1-u_3=\frac{3}{4} \\ S=2\end{array}\right.$

Bài 4: Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$, biết tổng của cấp số nhân là $\mathrm{S}=3$ và tổng các bình phương của các số hạng của nó là $S_2=\frac{9}{2}$.

Bài 5: Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội q của cấp số nhân lùi vô hạn tạo nên số thập phân vô hạn tuần hoàn sau: 0,212121 .... Từ đó hãy viết số này dưới dạng phân số tối giản.

Dạng bài: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Hướng làm:

- Xác định số hạng đầu $u_1$.

- Tính công bội $\mathrm{q}=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ với điều kiện $|\mathrm{q}|<1$

- Công thức tính tổng: $\mathrm{S}=\frac{u_1}{1-q}$

Ví dụ minh hoạ: $\mathrm{S}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\ldots$

Lời giải

Đây là tổng của một CSN lùi vô hạn với:

Số hạng đầu $u_1=1$.

Công bội $\mathrm{q}=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn $|\mathrm{q}|<1$ ).

Áp dụng công thức tính tổng: $\mathrm{S}=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{3}$

Luyện tập

Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( $u_n$ ) sau: $\mathrm{S}=12+4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$

Bài 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ sau:

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\ldots+\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\ldots$

Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số tối giản: $\mathrm{x}=0,323232 \ldots$

Bài 4: Tìm số thực x thỏa mãn phương trình: $1+\mathrm{x}+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=5$ với điều kiện $|\mathrm{x}|<1$.

Bài 5: Cho một tam giác đều $A_1 B_1 C_1$ có cạnh bằng a. Người ta dựng tam giác đều $A_2 B_2 C_2$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh tam giác $A_1 B_1 C_1$. Tiếp tục quá trình này để dựng các tam giác $A_3 B_3 C_3, A_4 B_4 C_4$,.... Tính tổng chu vì của tất cả các tam giác được tạo thành (bao gồm cả tam giác đầu tiên).

Dạng bài: Chứng minh tính hội tụ

Hướng làm: Để chứng minh một dãy số (hoặc tổng) hội tụ về một giá trị, ta cần chứng minh đó là một CSN có công bội thỏa mãn |q| < 1. 

Ví dụ minh họa: Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta nối các trung điểm của các cạnh hình vuông $C_1$ để được hình vuông $C_2$, rồi lại nối các trung điểm của cạnh $C_2$ để được $C_3 \ldots$. Cứ tiếp tục như vậy. Chứng minh rằng tổng diện tích của các hình vuông $C_1, C_2, \ldots, C_n$ hội tụ và tính tổng đó.

Lời giải:

Gọi $a_n$ là cạnh của hình vuông $C_n$. Ta có $a_1=4$.

- Theo tính chất đường trung bình và Pitago, cạnh hình vuông tiếp theo là $a_{n+1}= \frac{a_n}{\sqrt{2}}$

- Diện tích hình vuông $C_n$ là $S_n=a_n^2$.

- Diện tích hình vuông tiếp theo $S_{n+1}=a_n^2+1=\left(\frac{a_n}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a_n^2}{2}=\frac{1}{2} S_n$

- Vi $q=\frac{1}{2}$ và $|q|<1$, nên dãy diện tích là một CSN lùi vô hạn, do đó tổng diện tích hội tụ.

- Tồng diện tích: $\mathrm{S}=\frac{S_1}{1-q}=\frac{4^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{16}{\frac{1}{2}}=32$

Luyện tập

Bài 1: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với số hạng tổng quát $u_n=\frac{3 \cdot 2^n}{5^{n+1}}$. Chứng minh dãy số này hội tụ và tính tổng của nó.

Bài 2: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có các số hạng đều dương và thỏa mãn: $u_1+u_2=15$ và $u_3+u_4=\frac{15}{4}$. Chứng minh rằng chuỗi số $u_1+u_2+u_3+\ldots .+u_n+\ldots$ là một chuỗi hội tụ.

Bài 3: Cho hình tròn $\left(C_1\right)$ có bán kính $\mathrm{R}=1$. Người ta dựng hình tròn $\left(C_1\right)$ có diện tích bằng $1 / 4$ diện tích hình tròn $\left(C_1\right)$, hình tròn $\left(C_3\right)$ có diện tích bằng $1 / 4$ diện tích hình tròn $\left(C_2\right)$, và cứ tiếp tục như thế. Chứng minh rằng tổng diện tích của tất cả các hình tròn $\left(C_n\right)$ là một đại lượng hữu hạn (hội tụ) và tính giá trị đó.

Bài 4: Cho cấp số nhân vô hạn $\left(u_n\right)$ có công bội q . Biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên là $S_n$ và lim ${ }_{n \rightarrow \infty} S_n=\mathrm{L}$ (với L là một số thực hữu hạn).

Bài 5: Một con rùa cách đích 100 m . Giờ thứ nhất nó đi được $1 / 2$ quãng đường $(50 \mathrm{~m})$. Giờ thứ hai nó đi được $1 / 2$ quãng đường còn lại $(25 \mathrm{~m})$. Giờ thứ n nó đi được $1 / 2$ quãng đường còn lại của giờ thứ n-1.

a) Thiết lập dãy số $d_n$ là quãng đường con rùa đi được trong giờ thứ n.

b) Chứng minh rằng dù thời gian có tiến đến vô hạn, tổng quãng đường con rùa đi được không bao giờ vượt quá 100 m (tổng hội tụ).

Hy vọng qua phần công thức và các bài tập vận dụng, bạn đã nắm được cách nhận dạng và giải dạng toán tổng cấp số nhân lùi vô hạn hiệu quả hơn. Nếu bạn vẫn còn gặp khó khăn, Gia sư Học là Giỏi sẽ luôn đồng hành cùng bạn để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. 

Tham gia ngay Khóa học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi để có thể luyện tập với nhiều bài tập tổng cấp số nhân lùi vô hạn được chọn lọc sát đề kiểm tra thực tế.