Hai mặt phẳng song song lớp 11: Lý thuyết chi tiết dễ hiểu

Hai mặt phẳng song song khi nào?

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau khi giữa chúng không có điểm chung.

Nhận xét: Khi hai mặt phẳng song song với nhau, bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này cũng đều song song với mặt phẳng kia.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Nếu mặt phẳng ( $\alpha$ ) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng ( $\beta$ ) thì ( $\alpha$ ) song song với ( $\beta$ ).

Ký hiệu:
- $\mathrm{a}, \mathrm{b} \subset(\alpha)$
- $\mathrm{a} \cap \mathrm{b}=\{\mathrm{M}\}$
- $\mathrm{a} / /(\beta), \mathrm{b} / /(\beta)$
$\rightarrow(\alpha) / /(\beta)$

Hệ quả: Nếu hai đường thẳng cắt nhau $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ lần lượt song song với hai đường thẳng $\mathrm{a}^{\prime}, \mathrm{b}^{\prime}$ nằm trong mặt phẳng $(\beta)$ thì mặt phẳng $(\alpha) / /(\beta)$.

Tính chất giao tuyến: Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia, và hai giao tuyến thu được sẽ song song với nhau.

Định lý Thales trong không gian: Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tính chất hai mặt phẳng song song

Tính chất 1

Cho trước mặt phẳng $(\beta)$ và điểm $\mathrm{A} \notin(\beta)$, có duy nhất một mặt phẳng ( $\alpha$ ) đi qua A sao cho $(\alpha) / /(\beta)$.

Hệ quả: Nếu điểm A nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$, thì tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với ( $\alpha$ ) đều cùng nằm trên một mặt phẳng ( $\beta$ ) đi qua A và song song với ( $\alpha$ )

Tính chất 2

Nếu hai mặt phẳng ( $\alpha$ ) và ( $\beta$ ) song song với nhau, một mặt phẳng ( $\gamma$ ) bất kỳ cắt ( $\alpha$ ) và (β) lần lượt theo hai giao tuyến a và b , thì a song song với b.

Ký hiệu:
- $(\alpha) / /(\beta)$
- $(\gamma) \cap(\alpha)=$ a
- $(\gamma) \cap(\beta)=\mathrm{b}$
$\rightarrow \mathrm{a} / / \mathrm{b}$

Hai mặt phẳng song song trong không gian

Hai mặt phẳng song song trong hình học không gian và những tính chất quan trọng liên quan:

Hình lăng trụ

Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

- Các mặt bên: Là các mặt khác với hai mặt đáy.

- Cạnh bên: Là cạnh chung của hai mặt bên liên tiếp.

- Phân loại: Tùy theo đa giác đáy, ta có các tên gọi tương ứng như hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác...

Các tính chất của hình lăng trụ:

- Các cạnh bên luôn song song và bằng nhau.

- Các mặt bên và các mặt chéo đều là những hình bình hành.

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau (hai đa giác bằng nhau).

Hình hộp

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật.

Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông.

Chú ý: Trong một hình hộp, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điểm này còn được gọi là tâm đối xứng của hình hộp.

Hình nón cụt

Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy của hình chóp đó. 

Trong đó:

- Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

- Các mặt còn lại gọi là mặt bên của hình chóp cụt.

- Tuỳ theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,...

Các tính chất của hình chóp cụt:

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song với nhau và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau (hai đa giác đồng dạng).

- Tất cả các mặt bên đều là hình thang.

- Các đường thẳng chứa các cạnh bên luôn đồng quy tại một điểm (điểm này chính là đỉnh của hình chóp ban đầu).

Xem thêm:

Giải bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chinh phục đường thẳng và mặt phẳng song song trong 5 phút

Bài tập hai mặt phẳng song song điển hình

Dưới đây là các bài tập hai mặt phẳng song song từ cơ bản → nâng cao, bám sát chương trình Toán 11 và dạng thường gặp trong kiểm tra:

Bài 1: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của SA và SD.
a) Chứng minh mặt phẳng ( OMN ) song song với mặt phẳng ( SBC ).
b) Gọi $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh $(\mathrm{MNP}) / /(\mathrm{SBC})$.

Bài 2: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SA sao cho $\mathrm{SM}=$ 2 MA . Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( $\alpha$ ) đi qua M và song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và đáy.

Bài 3: Cho hình hộp $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$.
a) Chứng minh mặt phẳng ( $\mathrm{BDA}^{\prime}$ ) song song với mặt phẳng ( $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{C}$ ).
b) Gọi I là giao điểm của $\mathrm{AC}^{\prime}$ và mặt phẳng ( $\mathrm{BDA}^{\prime}$ ). Chứng minh I là trọng tâm tam giác $\mathrm{BDA}^{\prime}$.

Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh ( ADF ) // (BCE).
b) Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trọng tâm các tam giác ABD và ABE . Chứng minh $\mathrm{MN} / /(\mathrm{CEF})$.

Bài 5: Cho hai mặt phẳng $(\alpha) / /(\beta)$. Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt ( $\alpha$ ) tại $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ và cắt ( $\beta)$ tại $\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}$.
a) Chứng minh rằng nếu $d_1 / / d_2$ thì $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime}$.
b) Nếu $d_1$ và $d_2$ chéo nhau, gọi I là trung điểm của $\mathrm{AB}^{\prime}$. Chứng minh I nằm trên một mặt phẳng cố định song song với ( $\alpha$ ) khi $d_1, d_2$ thay đổi nhưng luôn cắt hai mặt phẳng đã cho.

Bài 6: Cho hình chóp cụt tam giác $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng $(\mathrm{MNP})$.
b) Chứng minh thiết diện đó song song với hai mặt đáy.

Bài 7: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang $(A B / / C D, A B>C D)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên cạnh BC . Mặt phẳng ( $\alpha$ ) qua M và song song với mặt phẳng $(\mathrm{SAB})$.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( $\alpha$ ). Thiết diện là hình gì?
b) Tìm vị trí của M trên BC để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.

Bài 8: Cho hình hộp $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là trung điểm của AB , $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}, \mathrm{DD}^{\prime}$.
a) Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) cắt các mặt của hình hộp theo một thiết diện là lục giác có các cặp cạnh đối diện song song.
b) Chứng minh trọng tâm của hình hộp nằm trên mặt phẳng ( MNP ).

Bài 9: Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng ( $\alpha$ ) thay đổi luôn song song với AB và CD . $(\alpha)$ cắt $\mathrm{AC}, \mathrm{AD}, \mathrm{BD}, \mathrm{BC}$ lần lượt tại $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của ( $\alpha$ ) để chu vi hình bình hành MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất/lớn nhất.

Bài 10: Cho hai mặt phẳng $(\alpha) / /(\beta)$ cách nhau một khoảng h. Đoạn thẳng AB có độ dài 1 cho trước $(1>h)$ có hai đầu mút $A, B$ lần lượt nằm trên $(\alpha)$ và $(\beta)$.
a) Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh khi $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ di động, I luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.
b) Tìm quỹ tích của điểm I sao cho đoạn thẳng AB luôn vuông góc với một đường thẳng d cho trước nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$.

Với cách trình bày bám sát kiến thức sách Kết nối tri thức và cuộc sống, Gia sư Học là Giỏi mong rằng bạn không chỉ nắm chắc lý thuyết mà còn biết cách nhận diện và vận dụng linh hoạt vào các dạng bài.

Củng cố lại kiến thức hai mặt phẳng song song đang bị hổng, học đến đâu chắc đến đó. Tham gia ngay khoá học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi, với lộ trình bài bản, rõ ràng, bám sát chương trình, được hướng dẫn chi tiết từ lý thuyết đến bài tập.