Giải bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P):

- Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90°.

- Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d' của nó trên mặt phẳng (P).

Ký hiệu

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(\mathrm{P})$ thường được ký hị̣̂u là: $\widehat{d,(P)}=\alpha$

Góc $\alpha$ giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nằm trong khoảng: $0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$

Các trường hợp đặc biệt

Cách xác định đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Theo kiến thức trong sách Kết nối tri thức và cuộc sống, để xác định đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có thể thực hiện bằng hai phương pháp: sử dụng vectơ và tiếp cận hình học. Vậy cụ thể từng phương pháp được triển khai như thế nào? 

Xác định bằng vectơ

- Đường thẳng d : Có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$.

- Mặt phẳng (P): Có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{D})$.

$\sin \alpha=\frac{|u, n|}{|u| \cdot|n|}=\frac{|a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{A^2+B^2+c^2}}$

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{BD}$ bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong.

Lời giải

Tại đỉnh B , ta có đôi một vuông góc với nhau $\mathrm{BA} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BA} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{BD}$.

$\rightarrow \mathrm{BA} \perp$ mặt phẳng $(\mathrm{BCD})$

→ Hình chiếu của A lên $(\mathrm{BCD})$ là B

Vậy hình chiếu của AC là BC .

→ Góc giữa AC và $(\mathrm{BCD})$ là $\widehat{A C B}$

Xác định bằng hình học

Tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(\mathrm{P})$, dựa trên các mối quan hệ:

- Tìm "Đỉnh": Xác định giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng $(\mathrm{P})$.

- Tìm "Chân": Trên đường thẳng d , chọn một điểm A khác I. $\mathrm{Ke} \mathrm{AH} \perp(\mathrm{P})$ tại H . (Điểm H chính là chân đường vuông góc).

→ Góc cần tìm là góc $\alpha=\widehat{A I H}$ (Góc tạo bởi Đỉnh - Điểm trên cao - Chân).
Ví dụ: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$ có đáy ABC đều cạnh a. H là trung điểm $\mathrm{BC}, \mathrm{SH} \perp (\mathrm{ABC})$. Tam giác SBC đều. Tính góc giữa SA và ( ABC ).

Lời giải

$\mathrm{SA} \cap(\mathrm{ABC})=\mathrm{A}$.

$\mathrm{SH} \perp(\mathrm{ABC})$ nên hình chiếu của S lên đáy là H .

Vậy hình chiếu của đường thẳng SA lên mặt đáy là đường thẳng AH .

→ Góc giữa SA và $(\mathrm{ABC})$ là góc $\widehat{S A H}$.

AH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh $\mathrm{a} \rightarrow \mathrm{AH}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác SBC là tam giác đều cạnh a (vì cạnh $\mathrm{BC}=\mathrm{a}$ ). SH là đường cao của tam giác đều $\mathrm{SBC} \rightarrow \mathrm{SH}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$
$\tan (\widehat{S A H})=\frac{S H}{A H}=1 \rightarrow \widehat{S A H}=45^{\circ}$

Bài tập đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Dưới đây là bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian dành cho học sinh lớp 11, được thiết kế theo lộ trình từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp cho bạn luyện tập thêm tại nhà.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng ( $\alpha$ ) tại điểm O và d không vuông góc với ( $\alpha$ ). Gọi $\mathrm{d}^{\prime}$ là hình chiếu vuông góc của d lên ( $\alpha$ ). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc giữa hai đường thẳng nào?
A. d và đường thẳng bất kỳ nằm trong ( $\alpha$ )
B. $\mathrm{d}^{\prime}$ và đường thẳng bất kỳ nằm trong ( $\alpha$ )
C. d và $\mathrm{d}^{\prime}$
D. d và đường thẳng đi qua O vuông góc với ( $\alpha$ )

Câu 2: Cho hình lập phương $\mathrm{ABCD}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$. Góc giữa đường thẳng $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ và mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu?
A. $45^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Câu 3: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $\mathrm{SA}=\mathrm{a} \sqrt{3}$. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
A. $60^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có tất cả các cạnh đều bằng a . Cosin của góc giữa cạnh bên SD và mặt phẳng đáy $(\mathrm{ABCD})$ là:
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 5: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a, S A \perp(A B C D)$ và $S A=a$. Tính số đo góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$.
A. $45^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Câu 6: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại $\mathrm{B}, \mathrm{AB}=\mathrm{a}$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $\mathrm{SA}=\mathrm{a}$. Gọi M là trung điểm của BC . Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng AM và mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng $\mathrm{ABC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $\mathrm{B}, \mathrm{AB} =\mathrm{BC}=\mathrm{a}$. Biết cạnh bên $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{a} \sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}$ và mặt phẳng ( $\mathrm{ABB}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$ ).
A. $45^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD . Gọi $\alpha$ là góc giữa cạnh AB và mặt phẳng $(\mathrm{BCD})$. Tính $\cos \alpha$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 9: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{B A D}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ là trọng tâm G của tam giác ABC . Biết $\mathrm{SG}=\frac{a}{2}$. Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng ( ABCD ).
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 10: Cho hình lập phương $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD}$ ).
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Hãy xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng $\alpha$. Tính tang của góc tạo bởi đường chéo A'C và mặt phẳng đáy (ABCD).

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính số đo góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABCD).   

Bài 4: Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh a, $S A \perp(A B C)$ và $S A =\mathrm{a} \sqrt{3}$. Tính sin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$.

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A, A B= \mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{a} \sqrt{3}$. Biết góc giữa đường thẳng $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ và mặt phẳng ( $\mathrm{ACC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$ ) bằng $30^{\circ}$. Tính chiều cao $\mathrm{AA}^{\prime}$ của lăng trụ.

Bài 6: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{AD}=\mathrm{a} \sqrt{2}$ Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng $45^{\circ}$. Hãy tính sin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng ( SAC ).

Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$. Gọi $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là góc tạo bởi đường chéo không gian $\mathrm{AC}^{\prime}$ với ba mặt phẳng cùng đi qua đỉnh $\mathrm{A}:(\mathrm{ABCD})$, $\left(\mathrm{ADD}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}\right),\left(\mathrm{ABB}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}\right)$. Chứng minh hệ thức: $\sin ^2 \alpha+\sin ^2 \beta+\sin ^2 \gamma=1$

Thực tế, dạng toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian không quá “đáng sợ” như nhiều bạn nghĩ. Chỉ cần đi từng bước chắc chắn, kết hợp giữa tư duy hình học và công thức hợp lý, bạn hoàn toàn có thể giải quyết gọn gàng và chính xác. 

Nếu bạn còn gặp khó khăn trong việc giải các dạng bài góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì khóa học Toán lớp 11 tại Học là Giỏi là lựa chọn hoàn hảo cho bạn. Ở đây, bạn sẽ có lộ trình học rõ ràng, phù hợp với từng trình độ học sinh. Gia sư theo sát, hướng dẫn cách tránh những lỗi sai thường gặp khi làm bài, giúp bạn cải thiện điểm số và tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng.