Khái niệm và tính chất của phép chiếu song song lớp 11

Phép chiếu song song là gì?

Cho mặt phẳng ( $\alpha$ ) và đường thẳng $\Delta$ cắt ( $\alpha$ ). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm $\mathrm{M}^{\prime}$ như sau:

- Nếu M thuộc $\Delta$ thì $\mathrm{M}^{\prime}$ là giao điểm của ( $\alpha$ ) và $\Delta$.

- Nếu M không thuộc $\Delta$ thì $\mathrm{M}^{\prime}$ là giao điểm của ( $\alpha$ ) và đường thẳng qua M song song với $\Delta$.

→ Điểm $\mathrm{M}^{\prime}$ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.

→ Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu $\mathrm{M}^{\prime}$ của nó được gọi là phép chiếu song song lên ( $\alpha$ ) theo phương $\Delta$.

→ Mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là mặt phẳng chiếu, phương $\Delta$ gọi là phương chiếu.

→ Cho hình $H$, tập hợp các hình chiếu $H^{\prime}$ của các điểm M thuộc $H$ qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của $H$ qua phép chiếu song song đó.

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng song song với phương chiếu, hình chiếu nhận được là một điểm duy nhất. Ngoại trừ các trường hợp đặc biệt được nêu rõ, chúng ta sẽ mặc định xét các phép chiếu có phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Xác định hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng ( $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ ) theo phương $\mathrm{AA}^{\prime}$.

Lời giải

Vì $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ là hình lăng trụ nên các cạnh bên song song với nhau: $\mathrm{AA}^{\prime}$ // $\mathrm{BB}^{\prime}$ // $C C^{\prime}$.

Đường thẳng đi qua B và có phương $\mathrm{AA}^{\prime}$ chính là đường thẳng $\mathrm{BB}^{\prime}$.

Vì điểm $\mathrm{B}^{\prime}$ nằm trên đường thẳng $\mathrm{BB}^{\prime}$ và $\mathrm{B}^{\prime}$ thuộc mặt phẳng đáy ( $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ ), nên $\mathrm{B}^{\prime}$ là hình chiếu của B trên mặt phẳng $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}\right)$ theo phương $\mathrm{AA}^{\prime}$.

Tính chất của phép chiếu song song

- Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm đó.

- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy xác định hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng đáy (A'B'C'D') theo phương chiếu AA' và chứng minh rằng hình chiếu đó (gọi là M') là trung điểm của B'C'.

Lời giải

Vì phương chiếu là $\mathrm{AA}^{\prime}$ và $\mathrm{AA}^{\prime} / / \mathrm{BB}^{\prime}$, nên phép chiếu điểm M xuống mặt phẳng $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}\right)$ sẽ đi qua đường thẳng song song với $\mathrm{BB}^{\prime}$.

Trong mặt phẳng $\left(\mathrm{BCC}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$, kẻ đường thẳng qua M song song với $\mathrm{BB}^{\prime}$. Đường thẳng này cắt $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ tại $\mathrm{M}^{\prime}$.

Vậy $\mathrm{M}^{\prime}$ chính là hình chiếu của M trên ( $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ ).

Xét hình thang $\mathrm{BCC}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ (vì $\mathrm{BB}^{\prime} / / \mathrm{CC}^{\prime}$ ).

Ta có M là trung điểm của BC (giả thiết).

Đường thẳng $\mathrm{MM}^{\prime}$ song song với hai đáy $\mathrm{BB}^{\prime}$ và $\mathrm{CC}^{\prime}$.
Theo định lý Thales trong hình thang:

$\frac{B M}{B C}=\frac{B^{\prime} M^{\prime}}{B^{\prime} C^{\prime}}$

Vì M là trung điểm BC nên $\frac{B M}{B C}=\frac{1}{2}$
$\rightarrow \frac{B^{\prime} M^{\prime}}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} \rightarrow \mathrm{M}^{\prime}$ là trung điểm của $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$.

Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau:

- Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác.

- Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

- Hình biểu diễn của hình thang $A B C D$ với $A B / / C D$ là một hình thang $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ với $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} / / \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ thoả mãn: $\frac{A B}{C D}=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{C^{\prime} D^{\prime}}$

Ứng dụng phép chiếu song song

Dưới đây là các ứng dụng của phép chiếu song song áp dụng ở ngay ngoài cuộc sống thực tế:

- Bản vẽ kỹ thuật: Là cơ sở để lập các hình chiếu vuông góc (chiếu đứng, chiếu bằng, chiếu cạnh) giúp biểu diễn chính xác hình dạng và kích thước chi tiết máy.

- Thiết kế kiến trúc và nội thất: Sử dụng hình chiếu để vẽ các vật thể 3D (như bàn ghế, nhà cửa) trên mặt phẳng 2D mà vẫn giữ được tỉ lệ kích thước để thi công.

- Hội họa: Dùng để phác thảo nhanh các khối hình học, đồ vật mà không cần tính toán điểm tụ phức tạp.

- Địa lý và Bản đồ: Hỗ trợ việc chuyển đổi tọa độ từ mặt cầu Trái Đất lên bản đồ phẳng, giúp duy trì hướng và khoảng cách trong một phạm vi nhất định.

- Đời sống: Giải thích hiện tượng bóng của đồ vật dưới ánh sáng mặt trời và ứng dụng trong các thiết kế biển quảng cáo, chữ nổi.

- Toán học hình học: Công cụ để biểu diễn các hình khối không gian như hình lăng trụ, hình hộp.

Bài tập phép chiếu song song trên mặt phẳng

Dưới đây là một số bài tập tự luận về phép chiếu song song trên mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp để bạn luyện tập ngay tại nhà: 

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C') theo phương chiếu AA'. Nhận xét về tính chất của hình phẳng thu được so với hình gốc.

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa chúng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng bất kỳ.

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BD'.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu SA.

b) Xác định hình chiếu của đoạn thẳng SB lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu SC.

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Xác định hình chiếu của G lên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD.

b) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD để hình chiếu của G trùng với trọng tâm tam giác BCD.

Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Dựng hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (A'B'C') theo phương chiếu CB'.

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D'.

a) Chứng minh rằng hình chiếu của MN trên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu AA' là một đoạn thẳng song song và bằng MN' (với N' là hình chiếu của N).

b) Tính tỉ số độ dài giữa MN và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AD.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC. Gọi A', B' lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a) Tìm hình chiếu của tam giác A'B'C (với C thuộc đáy) lên mặt phẳng (ABC) theo phương chiếu SA.

b) Chứng minh rằng nếu phương chiếu song song với một cạnh của tam giác thì hình chiếu của tam giác đó có thể là một đoạn thẳng.

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là tâm của hình bình hành ABB'A'.

a) Dựng hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AC'.

b) Chứng minh rằng hình chiếu của đường thẳng BD' theo phương AA' lên mặt phẳng (A'B'C'D') là đường thẳng B'D'.

Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác $\mathrm{ABC}^{\prime} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$. Một mặt phẳng $(\mathrm{P})$ cắt các cạnh $\mathrm{AA}^{\prime}$, $\mathrm{BB}^{\prime}, \mathrm{CC}^{\prime}$ lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$.

a) Chứng minh rằng hình chiếu của tam giác $A_1 B_1 C_1$ lên mặt phẳng $(\mathrm{ABC})$ theo phương chiếu $\mathrm{AA}^{\prime}$ chính là tam giác ABC .

b) Gọi $G, G_1$ lần lượt là trọng tâm tam giác $A B C$ và $A_1 B_1 C_1$. Chứng minh $G G_1$ // $\mathrm{AA}^{\prime}$.

Hy vọng bài viết trên giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm và các tính chất của phép chiếu song song. Đây không chỉ là nền tảng quan trọng giúp bạn xử lý các bài toán phức tạp trở nên đơn giản hơn, mà còn là kiến thức có tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực thực tế.

Nếu bạn muốn học thêm cách vận dụng phép chiếu song song để giải nhanh các bài toán hình khó, ăn trọn điểm bài nâng cao trong các kỳ thi, hãy tham gia khóa học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi. Tại đây, các gia sư hướng dẫn chi tiết từng dạng bài và đồng hành cùng bạn để học chắc - hiểu sâu - làm bài hiệu quả nhất.