Tổng hợp cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cực kỳ đơn giản

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?

Góc giữa hai mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó tại cùng một điểm, sao cho mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng.

Ký hiệu:
- Góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$ được ký hiệu là $(\widehat{(P),(Q)) \text { hay } \alpha \text {. }}$

- Phạm vi góc: $0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$.

Tính chất của góc giữa 2 mặt phẳng

- Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: $\alpha=0^{\circ}$.

- Hai mặt phẳng vuông góc: $\alpha=90^{\circ}$.

- Hai mặt phẳng cắt nhau: $0^{\circ}<\alpha \leq 90^{\circ}$.

Xem thêm:

Khái niệm và tính chất của phép chiếu song song lớp 11

Chứng minh hai mặt phẳng song song đơn giản dễ hiểu

Các cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Có nhiều cách để xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, tùy vào dữ kiện bài toán. Dưới đây là 2 phương pháp phổ biến, con dễ áp dụng:

Cách 1: Dựng đường thẳng vuông góc

Với phương pháp này các em cần dựng một mặt phẳng phụ $(\mathrm{R})$ vuông góc với giao tuyến c , trong đó $(\mathrm{Q}) \cap(\mathrm{R})=\mathrm{a},(\mathrm{P}) \cap(\mathrm{R})=\mathrm{b}$.

$<br>\rightarrow \widehat{P}=\widehat{Q}=\widehat{(a, b)}<br>$

Cách 2: Xác định giao tulvến giữa hai mặt phẳng

Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ ta cần thực hiện 2 bước như sau:

- Bước 1: Tìm 2 điểm chung $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ của $\alpha$ và $\beta$.

- Bước 2: Ta có đường thẳng AB chính là giao tuyê̂n cần tìm: $\mathrm{AB}=\alpha \cap \beta$.

Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng:

(P): $A_1 \mathrm{x}+B_1 \mathrm{y}+C_1 \mathrm{z}+D_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right)$

(Q): $A_2 \mathrm{x}+B_2 \mathrm{y}+C_2 \mathrm{z}+D_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2=\left(A_2, B_2, C_2\right)$

Công thức cosin góc giữa 2 mặt phẳng: $\cos \alpha=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$

$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \cos \alpha=\frac{\left|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \\
& \rightarrow \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2=A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2 \\
& \rightarrow \vec{n}=\sqrt{A^2+B^2+C^2}
\end{aligned}
$$

Lưu ý:

- $\alpha \in\left[0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ nên $\cos \alpha \geq 0$

- $(\mathrm{P}) / /(\mathrm{Q}) \leftrightarrow \vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ cùng phương $\rightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

- $(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q}) \leftrightarrow \overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2} \rightarrow \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \rightarrow A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0$

Các dạng bài về góc giữa 2 mặt phẳng lớp 11

Dạng toán góc giữa hai mặt phẳng thường được chia thành 5 nhóm bài cơ bản. Khi nắm vững cách xử lý từng dạng, con sẽ tự tin hơn khi đọc đề và có thể suy luận ngay cả với những bài khó.

Dạng 1: Góc giữa 2 mặt phẳng Oxyz

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(P): 2x - y + 2z - 5 = 0

(Q): x + y - 3 = 0

Tính góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải

Mặt phẳng $(\mathrm{P})$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1 ; 2)$

Mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n_2}=(1 ; 1 ; 0)$

$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=2 \cdot 1+(-1) \cdot 1+2 \cdot 0=1$
$\left|\vec{n}_1\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
$\left|\overrightarrow{n_2}\right|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$
$\cos \alpha=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{1}{3 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\rightarrow \alpha \approx 76^{\circ} 22^{\prime}$

→ Góc $\alpha$ giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q}) \approx 76^{\circ} 22^{\prime}$

Dạng 2: Góc giữa mặt phẳng và mặt tọa độ

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ có phương trình: 2 x $-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-5=0$. Tính góc $\varphi$ giữa mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ và mặt phẳng tọa độ $(\mathrm{Oyz})$.

Lời giải

Mặt phẳng (Q): $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-5=0$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_Q=(2 ;-1 ; 2)$

Mặt phẳng tọa độ $(\mathrm{Oyz})$ có phương trình là $\mathrm{x}=0$, tương đương với $1 \mathrm{x}+0 \mathrm{y}+0

\mathrm{z}=0$.
Do đó, vectơ pháp tuyến của $(O y z)$ là: $\vec{n}_{O x y}=(1 ; 0 ; 0)$

Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{n}_{Q^{-}} \cdot \vec{n}_{O x y}=2.1+(-1) .0+2.0=2$

Độ dài của vectơ $\vec{n}_Q=\left|n_Q\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

Độ dài của vectơ $\vec{n}_{O x y}=\left|n_{O x y}\right|=1$

Góc $\varphi$ giữa mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ và mặt phẳng tọa độ $(\mathrm{Oyz})$ :

$$
\begin{aligned}
& \cos \varphi=\frac{\left|n_{Q^{\prime}} n_{O_{x y}}\right|}{\left|n_{Q^{\prime}}\right| \cdot\left|n_{O x y}\right|}=\frac{|2|}{3.1}=\frac{2}{3}\left(0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}\right) \\
& \rightarrow \varphi \approx 48^{\circ} 11^{\prime}
\end{aligned}
$$

Dạng 3: Kiểm tra góc vuông

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha): \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}+3=$ 0 và ( $\beta$ ): $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+1=0$. Chứng minh rằng $(\alpha) \perp(\beta)$.

Lời giải

Mặt phẳng ( $\alpha$ ) có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 2 ;-1)$

Mặt phẳng ( $\beta$ ) có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_2}=(2 ;-1 ; 0)$

Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2=1 \cdot 2+2 \cdot(-1)+(-1) \cdot 0=2-2+0=0$

$\rightarrow \overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$

Vậy $(\alpha) \perp(\beta)$

Dạng 4: Hình học không gian

Đề bài: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{AD}=a \sqrt{3}$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $\mathrm{SA}=a \sqrt{3}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{SCD})$ và $(\mathrm{ABCD})$.

Lời giải

Giao tuyến của mặt phẳng $(\mathrm{SCD})$ và mặt phẳng đáy $(\mathrm{ABCD})$ là đường thẳng CD .
$(\mathrm{SCD}) \cap(\mathrm{ABCD})=\mathrm{CD}$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}$ tại D .

Ta có $S A \perp(A B C D)$ nên $S A \perp C D$.

Mà $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}$ (do ABCD là hình chữ nhật).
$\rightarrow \mathrm{CD} \perp(\mathrm{SAD}) \rightarrow \mathrm{CD} \perp \mathrm{SD}$ tại D .

→ Góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{SCD})$ và $(\mathrm{ABCD})$ là $\widehat{S D A}$

Xét tam giác SAD vuông tại $\mathrm{A}($ do $\mathrm{SA} \perp(\mathrm{ABCD}))$ :

$\tan \mathrm{SAD}=\frac{S A}{A D}=\frac{a \sqrt{3}}{a \sqrt{3}}=1$

$\rightarrow \widehat{S D A}=45^{\circ}$

Dạng 5: Tìm điều kiện thỏa mãn góc

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}+1=$ 0 và (Q): $2 x+y+m z-3=0$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$ bằng $60^{\circ}$.

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 2 ;-1)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\mathrm{Q})$ là: $\vec{n}_2=(2 ; 1 ; \mathrm{m})$

$$\rightarrow \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2=1.2+2.1+(-1) \mathrm{m}=4-\mathrm{m}<$$

Độ dài $\vec{n}_1:\left|n_1\right|=\sqrt{6}$

Độ dài $\vec{n}_2:\left|n_2\right|=\sqrt{5+m^2}$

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Cos} 60^{\circ}=\frac{1}{2} \rightarrow \frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{1}{2} \\
& \rightarrow \frac{|4-m|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5+m^2}}=\frac{1}{2} \\
& \rightarrow \sqrt{6 \cdot\left(5+m^2\right)}=2|4-m| \\
& \rightarrow 6\left(5+m^2\right)=2(4-m)^2 \\
& \rightarrow m^2+16 \mathrm{~m}-17=0 \\
& \rightarrow \mathrm{~m}=1 \text { hoặc } \mathrm{m}=-17
\end{aligned}
$$

Luyện tập tính góc giữa 2 mặt phẳng

Để vận dụng linh hoạt từ định nghĩa, tính chất đến các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, con có thể luyện tập thêm qua những bài tập sau:

Bài 1: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABC}$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại $\mathrm{B}, \mathrm{SA} \perp(\mathrm{ABC})$ và $\mathrm{SA}=\mathrm{AB}=\mathrm{a}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{SBC})$ và $(\mathrm{ABC})$.

Bài 2: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a. Biết $\mathrm{SO} \perp (\mathrm{ABCD})$ và $\mathrm{SO}=\frac{a \sqrt{6}}{6}$. Tính số đo góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD).

Bài 3: Cho lăng trụ đứng $\mathrm{ABC} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $\mathrm{A}, \mathrm{AB}=\mathrm{a}$, $\mathrm{AC}=\mathrm{a} \sqrt{3}$. Mặt phẳng $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}\right)$ tạo với đáy $(\mathrm{ABC})$ một góc $60^{\circ}$. Tính diện tích tam giác $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}$.

Bài 4: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B . A B= \mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AD}=2 \mathrm{a}$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(\mathrm{SCD})$ và $(\mathrm{SBC})$. Biết $\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}$, hãy tính độ dài cạnh bên SA.

Bài 5: Cho hình lập phương $\mathrm{ABCD} \cdot \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ cạnh a. Gọi M là trung điểm $\mathrm{BB}^{\prime}, \mathrm{N}$ là điểm trên đoạn $\mathrm{DD}^{\prime}$ sao cho $\mathrm{DN}=2 \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{N}$. Tính tan của góc giữa mặt phẳng ( AMN ) và mặt phẳng ( $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ ).

Bài 6: Cho hình chóp $\mathrm{S} . \mathrm{ABCD}$ có đáy là hình vuông cạnh $\mathrm{a}, \mathrm{SA} \perp(\mathrm{ABCD})$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh $\mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ sao cho $\mathrm{CM}+\mathrm{CN}=\mathrm{a}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN).

Bài 7: Trong không gian, cho hai nửa mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$ vuông góc với nhau theo giao tuyến $\Delta$. Trên $\Delta$ lấy đoạn $\mathrm{AB}=\mathrm{a}$. Trên hai tia $\mathrm{Ax}, \mathrm{By}$ lần lượt vuông góc với $\Delta$ và nằm trong $(\mathrm{P}),(\mathrm{Q})$ lấy hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ sao cho $\mathrm{AM}=\mathrm{x}, \mathrm{BN}=\mathrm{y}$. Xác định mối liên hệ giữa $\mathrm{x}, \mathrm{y}$, a để góc giữa hai mặt phẳng ( ABN ) và (MBN) bằng $45^{\circ}$.

Hy vọng qua bài viết trên, con đã nắm được những phương pháp để xử lý dạng toán tính góc giữa 2 mặt phẳng một cách hiệu quả nhất. Nếu con vẫn còn cảm thấy chưa tự tin do hổng kiến thức hình học không gian, hãy tham gia ngay khóa học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi, các gia sư sẽ giúp con học chắc - hiểu sâu và tiến bộ từng ngày.