Cấp số nhân: Công thức, tính chất và bài tập chi tiết

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó mỗi số hạng bắt đầu từ số hạng thứ hai đều bằng số hạng liền trước nhân với một hằng số q không đổi. 

Hằng số q này được gọi là công bội.

Công thức cấp số nhân

Dãy số $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hồi: $u_n=u_{n-1} \cdot \mathrm{q}$ với n $\in N^*$

Công bội $\mathrm{q}=\frac{u_{n+1}}{u_n}$

Chú ý:
- Khi $\mathrm{q}=0$, cấp số nhân có dạng $u_1 ; 0 ; 0 ; \ldots 0 ; \ldots$
- Khi $\mathrm{q}=1$, cấp số nhân có dạng $u_1 ; u_1 ; \ldots u_1 ; \ldots$
- Khi $q<0$, cấp số nhân là dãy số không giảm, không tăng
- Khi $0<\mathrm{q}<1$, cấp số nhân là dãy số giảm
- Khi $\mathrm{q}<1$, cấp số nhân là dãy số tăng
- Khi $u_1=0$ thì với $\forall \mathrm{q}$, ấp số nhân có dạng $0 ; 0 ; 0 ; \ldots 0 ; \ldots$

Tính chất cấp số nhân

$$
\begin{aligned}
&\text { Ba số hạng } u_{k-1}, u_k, u_{k+1} \text { là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi: }\\
&u_k^2=u_{k-1} \cdot u_{k+1} \text { hay }\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}} \text { với } \mathrm{k} \geq 2
\end{aligned}
$$

Trọn bộ công thức cấp số nhân cần nhớ

Công thức truy hồi: $u_n=u_{n-1} . \mathrm{q}\left(\mathrm{n} \in N^*\right)$

Công thức tổng quát cấp số nhân: $u_n=u_1 \cdot q_{n-1}$

Công thức tính công bội q của cấp số nhân: $\mathrm{q}=\frac{u_{n+1}}{u_n}$
Tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: $S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}(\mathrm{q} \neq 1)$

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}(q \neq 1)$

Các dạng bài tập cấp số nhân thường gặp

Các dạng bài tập cấp số nhân (CSN) thường gặp trong chương trình Toán 11 có thể chia thành các nhóm đề như sau:

Dạng 1: Nhận biết dãy số là cấp số nhân

Các dạng bài tập cấp số nhân thường gặp

Các dạng bài tập cấp số nhân (CSN) thường gặp trong chương trình Toán 11 có thể chia thành các nhóm đề như sau:

Dạng 1: Nhận biết dãy số là cấp số nhân

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính công bội q của cấp số nhân: $\mathrm{q}=\frac{u_{n+1}}{u_n}(\mathrm{n}=1, \mathrm{n}>1)$
- Nếu q thay đổi thì $u_n$ không phải là cấp số nhân
- Nếu q không đổi thì $u_n$ là cấp số nhân

Ví dụ: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi công thức: $u_n=5.2^n$. Dãy số này có phải là một cấp số nhân không? Nếu có, hãy xác định số hạng đầu $u_1$ và công bội q.

Lời giải

Ta có số hạng tổng quát $u_n=5.2^n$

Số hạng kế tiếp là: $u_{n+1}=5.2^{n+1}$

Lập tỉ số: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5.2^{n+1}}{5.2^n}=2$

Vi tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=2$ là một hằng số với $\forall \mathrm{n} \in N^*$, nên dãy số $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân.

Dạng 2: Xác định các yếu tố cơ bản ( $u_1, q$ )

Phương pháp:

- Sử dụng các tính chất, công thức tính cấp số nhân

- Biến đổi tính chất, công thức tính cấp số nhân để xác định các yếu tố cơ bản $\left(u_1, \mathrm{q}\right)$

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng thứ hai $u_2=4$ và số hạng thứ tư $u_4=16$. Hãy tìm công bội q của cấp số nhân này.

Lời giải:
Theo tính chất của cấp số nhân, bình phương của một số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của hai số hạng kề nó:

$u_3^2=u_2 \cdot u_4=64 \rightarrow u_3= \pm 8$

Với $u_3=8 \rightarrow \mathrm{q}=\frac{u_3}{u_2}=2$

Với $u_3=-8 \rightarrow \mathrm{q}=\frac{u_3}{u_2}=-2$

Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ n

Phương pháp: Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: $u_n=u_1 \cdot q_{n-1}$

$\rightarrow u_n=u_m \cdot q^{n-m}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng thứ năm $u_5=48$ và số hạng thứ sáu $u_6=96$. Hãy tìm số hạng thứ mười một ( $u_{11}$ ) của cấp số nhân này.

Lời giải

Có $\mathrm{q}=\frac{u_6}{u_5}=2$
Từ $u_{11}$ và $u_5$ ta có: $u_{11}=u_5 \cdot q^{11-5}=48 \cdot 2^6=3072$

Dạng 4: Tính tổng $\mathbf{n}$ số hạng đầu tiên ( $S_n$ )

Phương pháp: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

$S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}(\mathrm{q} \neq 1)$

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng thứ ba $u_3=12$ và số hạng thứ tư $u_4=24$.

a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left(u_n\right)$.

b) Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left(u_n\right)$.

Lời giải

a) Áp dưng công thức liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp: $\mathrm{q}=\frac{u_4}{u_3}=\frac{24}{12}=2$

$\rightarrow$ Ta có công thức số hạng tổng quát: $u_3=u_2 \cdot q \rightarrow u_2=6$

Liệt kê 5 số hạng đầu

$$
\begin{aligned}
& u_2=u_1 \cdot q \rightarrow u_1=3 \\
& u_5=u_4 \cdot q=24 \cdot 2=48
\end{aligned}
$$

Vậy 5 số hạng đầu là: $3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48$.

b) Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu: $S_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}$

Với $u_1=3, \mathrm{q}=2, \mathrm{n}=8$

$\rightarrow S_8=\frac{3\left(2^8-1\right)}{2-1}=765$

Dạng 5: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: Xác định thành phần cấp số nhân như công bội q , số hạng trong dãy

Ví dụ: Kiểm tra xem dãy số sau đây có phải là một cấp số nhân hay không? Dãy số: 2; 0,6; 0,18; 0,054; 0,0162...

Lời giải

Ta lập tỉ số giữa số hạng sau và số hạng trước nó:

$$
\begin{aligned}
& \frac{u_2}{u_1}=\frac{0,6}{2}=0,3 \\
& \frac{u_3}{u_2}=\frac{0,18}{0,6}=0,3 \\
& \frac{u_4}{u_3}=\frac{0,054}{0,18}=0,3 \\
& \frac{u_5}{u_4}=\frac{0,0162}{0,054}=0,3
\end{aligned}
$$

Vì tỉ số giữa các số hạng liên tiếp luôn không đổi và bằng 0,3 , nên dãy số đã cho là một cấp số nhân.

Dạng 6: Giải quyết bài toán thực tế về cấp số nhân

Phương pháp: Phân tích đề bài đề xác định đại lượng nào là $u_1$, đại lượng nào là d.Câu hỏi yêu cầu tìm $u_n$ hay $S_n$.

Ví dụ: Một thành phố có dân số hiện tại là 1 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố này không đổi và bằng $2 \%$ mỗi năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì dân số thành phố sẽ vượt quá 1,2 triệu người?

Lời giải

Dân số của thành phố qua từng năm lập thành một cấp số nhân với:

Số hạng đầu $u_1=1.000 .000 \times(1+0,02)$ (dân số sau 1 năm).

Công bội $\mathrm{q}=1+0,02=1,02$.

Công thức tổng quát cho dân số sau n năm là: $u_n=u_0 \cdot q^n=1.000 .000 .(1,02)^2$

Để dân số vượt quá 1,2 triệu người, ta có bất phương trình:

$$
\begin{aligned}
& 1.000 .000 .(1,02)^2>1.200 .000 \\
& \leftrightarrow(1,02)^n>1,2 \\
& n>\log _{1,02}(1,2) \approx 9,21
\end{aligned}
$$

Vì n phải là số nguyên nên sau ít nhất 10 năm thì dân số sẽ vượt quá 1,2 triệu người.

Luyện tập cấp số nhân từ cơ bản đến nâng cao

Dưới đây là hệ thống bài tập cấp số nhân được thiết kế bài bản, đi từ việc củng cố nền tảng đến rèn luyện tư duy phân tích. 

Bài 1: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $\mathrm{q}=-2$.
a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Số 192 là số hạng thứ mấy của dãy?

Bài 2: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn: $u_2=6$ và $u_5=48$.
a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội q .
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.

$\left\{\begin{array}{l}&u_4-u_2=72 \\&u_5-u_3=144&\end{array}\right.$

Bài 3: Tìm $u_1$ và q của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ biết:

Bài 4: Tìm $x$ để ba số hạng $x+1 ; x+4 ; 2 x+10$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Bài 5: Cho ba số có tổng bằng 21 . Nếu ta cộng thêm 2 vào số thứ hai và cộng thêm 10 vào số thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số ban đầu, biết chúng đang lập thành một cấp số cộng.

Bài 6: Tính tổng của dãy số sau: $\mathrm{S}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots .+\frac{1}{3^n}+\ldots$.

Bài 7: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6 \%$ /năm theo hình thức lãi kép (tiền lãi của năm trước được cộng vào vốn để tính lãi cho năm sau).
a) Thiết lập công thức tính số tiền người đó nhận được sau n năm.
b) Sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó có tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) lớn hơn 200 triệu đồng?

Xem thêm: Cấp số cộng: Lý thuyết, công thức và bài tập vận dụng

Hy vọng những nội dung trên giúp bạn nắm vững cấp số nhân một cách nhanh chóng, hiểu đúng bản chất và tự tin xử lý bài tập chính xác hơn. Đừng quên theo dõi Học là Giỏi để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Toán 11 chất lượng, giúp bạn củng cố kiến thức nhé!

Khi chương trình Toán lớp 11 ngày càng nâng cao với nhiều dạng bài cấp số nhân yêu cầu vận dụng cao, học sinh cần một lộ trình học bài bản để thấu hiểu lý thuyết và áp dụng hiệu quả vào bài tập. Khóa học Toán lớp 11 tại hệ thống giáo dục Học là Giỏi chính là lựa chọn hoàn hảo giúp bạn củng cố nền tảng và nâng cao kỹ năng giải toán.