Cấp số cộng: Lý thuyết, công thức và bài tập vận dụng

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn các số hạng thoả mãn điều kiện: kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước cộng với 1 số không đổi. Số hạng cộng không đổi đó gọi là công sai kí hiệu là d.

Dãy số $u_n$ là một cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+\mathrm{d}, \forall \mathrm{n} \in N^*$ (d là hằng số)

$\mathrm{d}=u_{n+1}-u_n$ được gọi là công sai

Chú ý:
- $\mathrm{d}=0$ thì cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là một dãy số không đổi
- d $>0$ thì cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là một dãy số tăng
- d $<0$ thì cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là một dãy số giảm

Công thức tính tổng cấp số cộng quan trọng

Một số công thức quan trọng của cấp số cộng thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra trên lớp, bài thi học kỳ và cả các kỳ thi đánh giá năng lực.

Công thức cấp số cộng cơ bản

$u_n=u_{n-1}+\mathrm{d}$

Trong đó:
- $u_n$ : cấp số cộng
- d: công sai
- $\mathrm{n} \geq 2, \mathrm{n} \in N^*$

Ví dụ: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $\mathrm{d}=4$. Hãy viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: $u_n=u_{n-1}+\mathrm{d}$, ta tính lần lượt từng số hạng:

Số hạng thứ 1: $u_1=3$

Số hạng thứ 2: $u_2=u_1+\mathrm{d}=3+4=7$

Số hạng thứ 3: $u_3=u_2+\mathrm{d}=7+4=7$

Số hạng thứ 4: $u_4=u_3+\mathrm{d}=11+4=15$

Bốn số hạng đầu tiên của dãy số là: $3,7,11,15$

Công thức số hạng tổng quát

$u_n=u_1+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}$

Trong đó:
- $u_n$ : cấp số cộng
- $u_1$ : số hạng đầu tiên của cấp số cộng
- d: công sai

Ví dụ: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu tiên $u_1=-5$ và công sai $\mathrm{d}=3$. Hãy tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Theo công thức số hạng tổng quát, ta có: $u_n=u_1+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}$

Để tìm số hạng thứ 15 , ta thay $\mathrm{n}=15, u_1=-5$ và $\mathrm{d}=3$ vào công thức:

$u_{15}=-5+(15-1) 3=37$

Công thức cấp số cộng hai số liền kề

$u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$

Trong đó:
- $u_n$ : cấp số cộng
- $u_{n-1}$ : số hạng liền trước
- $u_{n+1}$ : số hạng liền sau

Ví dụ: Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng thứ hai $u_2=17$ và số hạng thứ tư $u_4=$
31. Hãy tìm số hạng thứ ba $u_3$.

Hướng dẫn giải

Vì $u_2, u_3, u_4$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, ta áp dụng tính chất:

$u_3=\frac{u_2+u_4}{2}=24$

Công thức cấp số cộng liên hệ giữa hai số bất kì

$u_n=u_m+(\mathrm{n}-\mathrm{m}) \mathrm{d}$

Trong đó:
- $u_n$ : cấp số cộng
- $u_m$ : số hạng bất kỳ thứ m trong cấp số cộng
- d: công sai

Ví dụ: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết số hạng thứ năm $u_5=15$ và số hạng thứ mười hai $u_{12}=43$. Hãy tính công sai d của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải

Áp dụng trực tiếp công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ: $u_n=u_m+(n-m) \mathrm{d}$

Có $\mathrm{n}=12$ và $\mathrm{m}=5$, ta có: $u_{12}=u_5+(12-5) \mathrm{d}$

Có $u_5=15$ và $u_{12}=43 \rightarrow 43=15+7 \mathrm{~d} \rightarrow \mathrm{~d}=4$

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức 1: $S_n=u_1+u_2+\ldots .+u_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$

Trong đó:
- $S_n$ : tổng của cấp số cộng
- $u_n$ : cấp số cộng
- $n \geq 1$

Công thức 2: $S_n=\frac{n\left[2 u_1+(n-1) d\right]}{2}=\mathrm{n} u_1+\frac{n(n-1)}{2} \mathrm{~d}$

Trong đó:
- $S_n$ : tổng của cấp số cộng
- $u_n$ : cấp số cộng
- d: công sai
- $n \geq 2$

Ví dụ: Cần tính tổng của 30 số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng. Biết số hạng đầu $u_1=12$ và số hạng thứ 30 là $u_{30}=99$. Hãy tính tổng $S_{30}$.

Hướng dẫn giải

Tổng 30 số hạng đầu tiên, do đó $\mathrm{n}=30$

$S_{30}=\frac{n\left(u_1+u_{30}\right)}{2}=\frac{30(12+99)}{2}=1665$

Các dạng toán cấp số cộng thường gặp

Dưới đây là các dạng toán cấp số cộng (CSC) thường gặp trong chương trình Toán 11, được phân loại rõ ràng để bạn dễ ôn tập và áp dụng: 

Dạng 1: Chứng minh dãy số là 1 cấp số cộng 

Mẹo: Dãy số $u_n$ là một cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+\mathrm{d}, \forall \mathrm{n} \in N^*$ (d là hằng số)

Ví dụ: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=7-3$ n. Chứng minh dãy số là một cấp số cộng.

Lời giải

$$
\begin{aligned}
& u_{n+1}=7-3(\mathrm{n}+1)=7-3 \mathrm{n}-3=4-3 \mathrm{n} . \\
& u_{n+1}-u_n=(4-3 \mathrm{n})-(7-3 \mathrm{n})=4-3 \mathrm{n}-7+3 \mathrm{n}=-3
\end{aligned}
$$

Vì -3 là hằng số không phụ thuộc vào n , nên $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với công sai $\mathrm{d}= -3$.

Dạng 2: Xác định các yếu tố của cấp số cộng

Mẹo: Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}$ để thiết lập hệ phương trình theo $u_1$ và d .

Ví dụ: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}u_1+u_3=10 \\ u_4-u_2=4\end{array}\right.$. Tìm $u_1$ và d

Lời giải

Ta có:

$u_2=u_1+d$

$u_3=u_1+2 \mathrm{~d}$

$u_4=u_1+3 \mathrm{~d}$

Thay vào hệ phương trình:

$\left\{\begin{array} { c }&{ u _ { 1 } + ( u _ { 1 } + 2 d ) = 1 0 } \\&{ ( u _ { 1 } + 3 d ) - ( u _ { 1 } + d ) = 4 }&\end{array} \leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}&2 u_1+2 d=10 \\&2 d=4&\end{array}\right.\right.$

Giải có $\mathrm{d}=2$ và $u_1=3$

Dạng 3: Tìm công thức số hạng tổng quát và số hạng thứ n

Mẹo: Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}$. Để tìm $u_n$ ta cần có $u_1$ và d. Nếu đề chưa cho, hãy dùng Dạng 1 để tìm chúng trước.

Ví dụ: Cho cấp số cộng $u_1=-5$ và $\mathrm{d}=3$. Tìm số hạng thứ 20 và số hạng tổng quát

Lời giải

Số hạng tổng quát: $u_n=-5+(n-1) 3=3 n-8$

Số hạng thứ $20 \rightarrow \mathrm{n}=20$

$\rightarrow u_{20}=3.20-8=52$

Dạng 4: Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Mẹo: Sử dụng một trong hai công thức:

1. $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$ (Dùng công thức khi đề bài cho số hạng đầu và số hạng cuối)

2. $S_n=\frac{n\left[2 u_1+(n-1) d\right]}{2}$ (Dùng công thức khi đề bài cho $u_1$ và d)

Ví dụ: Tính tổng 50 số lẻ dương đầu tiên.

Lời giải

Dãy số lẻ: $1,3,5, \ldots$ là một cấp số cộng với $u_1=1$ và $\mathrm{d}=2$

Áp dụng công thức 2: $S_{50}=\frac{50[2.1+(50-1) 2]}{2}=2500$

Vậy tổng 50 số lẻ dương đầu tiên là 2500

Dạng 5: Vận dụng cấp số cộng vào giải quyết bài toán thực tiễn

Mẹo: Phân tích đề bài để xác định đại lượng nào là $u_1$, đại lượng nào là d . Câu hỏi yêu cầu tìm $u_n$ hay $S_n$.

Ví dụ: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Hỏi rạp hát có tổng cộng bao nhiêu ghế?

Lời giải

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với $u_1=15$ và $\mathrm{d}=2$

Rạp có 20 hàng ghế nên $n=20$. Yêu cầu tìm tổng số ghế tức là tính $S_{20}$

Vì có $u_1$ và d, ta áp dụng công thức 2: $S_2 0=\frac{20[2 \cdot 15+(20-1) 2]}{2}=680$

Vậy rạp hát có tổng 680 ghế

Dạng 6: Sử dụng tính chất của cấp số cộng

Mẹo: Ba số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: $\mathrm{a}+\mathrm{c}=2 \mathrm{~b}$

Ví dụ: Tìm x để ba số $\mathrm{x}+1,3 \mathrm{x}-2, x^2-1$ lập thành một cấp số cộng

Lời giải

Để 3 số lập thành một cấp số cộng, ta có phương trình:

$$
\begin{aligned}
& (\mathrm{x}+1)+\left(x^2-1\right)=2(3 \mathrm{x}-2) \\
& \leftrightarrow x^2-5 \mathrm{x}+4=0 \\
& \rightarrow \mathrm{x}=1 \text { hoặc } \mathrm{x}=4
\end{aligned}
$$

Bài tập cấp số cộng từ cơ bản đến nâng cao

Bài 1: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết: $\left\{\begin{array}{c}u_7-u_3=8 \\ u_2 u_7=75\end{array}\right.$. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d

Bài 2: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=-3$ và $\mathrm{d}=\frac{1}{2}$
a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$
b) Số $\frac{21}{2}$ là số hạng thứ mấy của dãy số trên?

Bài 3: Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng các số đó đều chia hết cho 7.

Bài 4: Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: $x^3-3 x^2-9 \mathrm{x}+\mathrm{m}=0$

Bài 5: Anh Nam muốn mua một chiếc laptop giá 25 triệu đồng. Anh bắt đầu tiết kiệm bằng cách: tháng đầu tiên bỏ ống heo 500.000 đồng, các tháng tiếp theo mỗi tháng bỏ nhiều hơn tháng trước 100.000 đồng.
a) Sau 1 năm (12 tháng), anh Nam có đủ tiền mua laptop không?
b) Đến tháng thứ bao nhiêu thì anh Nam có đủ ít nhất 25 triệu đồng?

Bài 6: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thoả mãn: $\left\{\begin{array}{c}u_1+u_2+u_3=27 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2=275\end{array}\right.$
Tim $u_1$, d và tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Bài 7: Một quả bóng rơi từ độ cao 100 m . Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên độ cao bằng một khoảng nhất định nhưng trong bài toán này, giả sử người ta thiết kế một mô hình bậc thang mà độ cao mỗi bậc giảm dần theo cấp số cộng. Bậc thứ nhất cao 200 cm , bậc thứ mười cao 155 cm .
a) Tìm độ cao của bậc thứ 20 .
b) Nếu tổng độ cao của các bậc thang là 21 mét ( 2100 cm ), thì cầu thang đó có bao nhiêu bậc?

Hy vọng với phần tổng hợp về lý thuyết, công thức và bài tập vận dụng trong chủ đề cấp số cộng, bạn đã có cái nhìn rõ ràng hơn và biết cách áp dụng vào từng dạng bài cụ thể.

Nhiều học sinh gặp khó khăn với cấp số cộng không phải vì lý thuyết quá khó, mà do chưa hiểu bản chất và cách áp dụng vào từng dạng bài. Khi làm bài tập, các em dễ nhầm công thức, không nhận diện được quy luật nên dẫn đến mất điểm đáng tiếc. Vì vậy, để học chắc từ gốc và tiến bộ rõ rệt, việc tham gia một khóa học bài bản là rất cần thiết. Khóa học Toán lớp 11 tại Học là Giỏi sẽ giúp bạn hệ thống lại kiến thức cấp số cộng, luyện tập đúng trọng tâm và cải thiện kết quả nhanh chóng.