Đa thức một biến là gì? Chi tiết định nghĩa và ví dụ

Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Một số được coi là một đa thức một biến.

Bậc của một đa thức một biến được xác định bằng số mũ cao nhất của biến.

Một đơn thức có dạng:

- Một hệ số (là một số thực)

- Một biến x (x được luỹ thừa với một số nguyên không âm 0, 1, 2, 3 …)

Lưu ý: Các đơn thức có thể chứa biến với các mũ khác nhau hoặc thậm chí là số hạng không chứa biến (hệ số tự do).

Ví dụ: $4 x^2+7 \mathrm{x}+2$

- $4x^2$ (hệ số 4, biến $x$ luỹ thừa 2)

- $7x$ (hệ số 7, biến $x$ luỹ thừa 1)

- $2$ (hệ số 2, không có biến, tương đương với $x^0$)

Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận tiện cho thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia với một đa thức một biến, ta có hai cách sắp xếp phổ biến: theo số mũ giảm dần hoặc theo số mũ tăng dần.

Trước khi sắc xếp, ta cần thu gọn đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng.

Chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ: Cho đa thức $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=5-2 x^3+4 x^4-x^2+3 x^3-2 \mathrm{x}+6 x^2$. Thu gọn và sắp xếp đa thức Q(x).

Thu gọn $\rightarrow \mathrm{Q}(\mathrm{x})=4 x^4+\left(-2 x^3+3 x^3\right)+\left(-x^2+6 x^2\right)-2 \mathrm{x}+5$

$\rightarrow \mathrm{Q}(\mathrm{x})=4 x^4+x^3+5 x^2-2 \mathrm{x}+5$

Hoặc $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=5-2 \mathrm{x}+5 x^2+x^3+4 x^4$

Hệ số, giá trị của một đa thức

Trong một đa thức, hệ số được hiểu là các con số đứng trước biến số.

- Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.

- Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.

Ví dụ: Trong đa thức, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=5 x^4-2 x^3+7 x^2-\mathrm{x}-4$, các hệ số lần lượt là $5,-2,7,-1$ và -4. Có hệ số tự do là -4 và hệ số cao nhất là 5 .

Giá trị của đa thức f(x) tại x = a được kí hiệu là f(a) có được bằng cách thay x = a vào đa thức f(x), sau đó thực hiện các phép tính và thu gọn kết quả.

Ví dụ: Tìm giá trị $\mathrm{P}(\mathrm{x})=5 x^4-2 x^3+7 x^2-\mathrm{x}-4$ tại $\mathrm{x}=2$.

$P(2) = 5 \cdot (2)^4 - 2 \cdot (2)^3 + 7 \cdot (2)^2 - 2 - 4$

$P(2) = 5 \cdot 16 - 2 \cdot 8 + 7 \cdot 4 - 2 - 4$

$P(2) = 80 - 16 + 28 - 2 - 4$

$P(2) = 86$

Hướng dẫn giải các dạng toán đa thức một biến

Đa thức một biến gồm nhiều dạng bài từ nhận biết, sắp xếp, xác định bậc đến tính giá trị và tìm nghiệm. Dưới đây, là hướng dẫn cách giải từng dạng toán đa thức một biến kèm ví dụ minh họa, giúp học sinh nắm chắc phương pháp và vận dụng hiệu quả khi làm bài.

Dạng 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức

Phương pháp giải: Viết đa thức dưới dạng thu gọn sau đó sắp xếp các hạng tử của đa thức.

Ví dụ: Cho đa thức $P(x)=4 x-5 x^3+2 x^2-4 x+6+2 x^3$. Hãy thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

$P(x) = 4x - 5x^3 + 2x^2 - 4x + 6 + 2x^3$

$P(x) = (-5x^3 + 2x^3) + 2x^2 + (4x - 4x) + 6$

$P(x) = -3x^3 + 2x^2 + 0 + 6$

$P(x) = -3x^3 + 2x^2 + 6$

Dạng 2: Xác định bậc của đa thức

Phương pháp giải: Đa thức trong dạng thu gọn, bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến.

Ví dụ: Xác định bậc của đa thức $Q(x)=2 x^4-3 x^2+x^5-2 x^4+1$.

$Q(x) = 2x^4 - 3x^2 + x^5 - 2x^4 + 1$

$Q(x) = x^5 + (2x^4 - 2x^4) - 3x^2 + 1$

$Q(x) = x^5 - 3x^2 + 1$

Trong đa thức $Q(x)=x^5-3 x^2+1$, số mũ lớn nhất của x là 5 .
→ Bậc của đa thức Q(x) là 5.

Dạng 3: Tìm các hệ số của một đa thức

Phương pháp giải: Đa thức dưới dạng thu gọn, sắp xếp các hạng tử của đa thức theo luỹ thừa giảm hoặc tăng của biến. Từ đó, xác định được các hệ số từ lũy thừa 0 đến lũy thừa cao nhất của biến.

Ví dụ: Tìm các hệ số của đa thức $R(x)=-x^3+4 x-7$.

- Hệ số của $x^3$ (hệ số cao nhất) là: -1

- Hệ số của $x^2$ là: 0

- Hệ số của $x$ là: 4

- Hệ số của $x^0$ (hệ số tự do) là: -7

Dạng 4: Tính giá trị của đa thức

Phương pháp giải: Thay giá trị của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Ví dụ: Tính giá trị của đa thức $M(x)=x^2-5 x+4$ tại $\mathrm{x}=-2$.

$M(-2) = (-2)^2 - 5(-2) + 4$

$M(-2) = 4 + 10 + 4$

$M(-2) = 18$

Xem thêm: Tính chất dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 đầy đủ, dễ hiểu

Tổng hợp bài tập về đa thức một biến lớp 7

Dưới đây là 10 bài tập tự luận về đa thức một biến dành cho học sinh lớp 7, được phân bổ đều từ dễ đến khó.

Bài 1: Cho đa thức $P(x)=3 x^2-5+4 x^3-x^4+7 x$.

Hãy sắp xếp các hạng tử của đa thức $P(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

Bài 2: Cho đa thức $Q(x)=-2 x+5 x^4-x^2+8-3 x^3$.

Hãy sắp xếp các hạng tử của đa thức Q(x) theo lũy thừa tăng dần của biến.

Bài 3: Cho đa thức $A(x)=4 x^3-2 x^2+5 x+x^4-1$.

Hãy tìm bậc của đa thức A(x) và giải thích vì sao.

Bài 4: Cho đa thức $B(x)=7 x^5-2 x^3+\frac{1}{2} x^5-\frac{15}{2} x^5+4 x-6$.

Hãy thu gọn đa thức $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ và tìm bậc của đa thức sau khi thu gọn.

Bài 5: Cho đa thức $M(x)=5 x^4-3 x^2+2 x-7$.
Hãy xác định hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức M(x).

Bài 6: Cho đa thức $N(x)=-x^3+4 x^5-2 x+9$.
Viết đa thức dưới dạng chuẩn (sắp xếp theo lũy thừa giảm dần) và chỉ ra các hệ số của $x^5, x^4, x^3, x^2, x^1$ và hệ số tự do.

Bài 7: Cho đa thức $C(x)=x^2-4 x+3$.
Tính giá trị của đa thức $C(x)$ tại $x=1$ và $x=3$.

Bài 8: Cho đa thức $D(x)=2 x^3-3 x^2+5 x-1$.
Tính giá trị của $D(x)$ tại $x=-2$ và $x=\frac{1}{2}$.

Bài 9: Cho đa thức $E(x)=6 x^2-x^4+3 x^3-2 x+5-x^3+2 x^4$.

a) Thu gọn và sắp xếp $E(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của $E(x)$.

Bài 10: Cho đa thức $H(x)=4 x^3-2 x^4+x^2-4 x^3+3 x^4-2 x+1$.

a) Thu gọn đa thức $H(x)$.

b) Sắp xếp $H(x)$ theo lũy thừa tăng dần của biến.

c) Tính giá trị của $H(x)$ tại $x = -1$.

Đáp án đối chiếu

Bài 1: $P(x)=-x^4+4 x^3+3 x^2+7 x-5$.

Bài 2: $Q(x)=8-2 x-x^2-3 x^3+5 x^4$.

Bài 3: Bậc 4.

Bài 4: Sau khi thu gọn $B(x)=-2 x^3+4 x-6$. Bậc của đa thức là 3 .

Bài 5: Hệ số cao nhất: 5. Hệ số tự do: -7.

Bài 6: $N(x)=4 x^5-x^3-2 x+9$. Hệ số đa thức lần lượt là: 4; 0; - 1; 0; - 2; 9 .

Bài 7: $\mathrm{C}(1)=0$ và $\mathrm{C}(3)=0$.

Bài 8: $D(-2)=-39$ và $D\left(\frac{1}{2}\right)=1$.

Bài 9:

 a) $E(x)=x^4+2x^3+6x^2-2x+5$

b) Bậc: 4, Hệ số cao nhất: 1, Hệ số tự do: 5

Bài 10:

a) $H(x) = x^4 + x^2 - 2x + 1$

b) $H(x) = 1 - 2x + x^2 + x^4$

c) $H(-1) = 5$

Hy vọng qua phần trình bày trên, học sinh có thể nắm được khái niệm đa thức một biến là gì và vận dụng kiến thức vào các bài tập liên quan. Nếu con muốn học chắc kiến thức Toán 7 và luyện tập thêm nhiều dạng bài về đa thức, học sinh có thể tìm hiểu khóa học Toán lớp 7 của Học là Giỏi để có lộ trình học tập phù hợp.