Toán 7: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên chi tiết

Khái niệm về đường vuông góc và đường xiên

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ đường vuông góc từ A cắt d tại H. Lấy các điểm B bất kỳ thuộc d sao cho không trùng với H. Khi đó:

- Đoạn thẳng AH được gọi là đoạn vuông góc (hay đường vuông góc) kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Điểm H được gọi là chân đường vuông góc (hay hình chiếu) của điểm A trên đường thẳng d.

- Độ dài đoạn thẳng AH chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB được gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB được gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Diễn giải: Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Gọi $AH$ là đường vuông góc và $AB$ là một đường xiên bất kỳ kẻ từ $A$ đến $d$ ($B \neq H$). Khi đó, ta luôn có bất đẳng thức: $AH < AB$.

Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó.

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Diễn giải: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ đường vuông góc AH và hai đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (với H, B, C thuộc d). Theo đó, HB và HC lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên d. Ta có:

a) Nếu HB > HC thì AB > AC

b) Nếu AB > AC thì HB > HC

c) AB = AC ↔ HB = HC

Giải bài tập quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Có 3 dạng bài tập quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trọng tâm mà học sinh cần nắm rõ kiến thức và cách vận dụng dưới đây. 

Dạng 1: Tìm khoảng cách một điểm đến đường thẳng

Phương pháp giải: 

- Phân biệt trên hình vẽ đâu là đường vuông góc, đâu là đường xiên và đâu là chân đường vuông góc (hình chiếu).

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chính là độ dài của đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng đã cho.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ có độ dài các cạnh MN = 8cm, MQ = 6cm. Lấy một điểm K bất kỳ nằm trên cạnh PQ (điểm K không trùng với P và Q). 

a) Hãy chỉ ra đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng PQ. 

b) Tìm khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng MQ.

Lời giải

a) Vì MNPQ là hình chữ nhật nên MQ  PQ tại Q.

→ Đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng PQ là đoạn thẳng MQ.

Vì K là một điểm nằm trên đường thẳng PQ (và K không trùng với chân đường vuông góc Q), nên đoạn thẳng nối từ M đến K không vuông góc với PQ.

→ Đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng PQ là đoạn thẳng MK.

b) Vì MNPQ là hình chữ nhật nên ta có $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MQ}$ tại M .

Do $\mathrm{MN} \perp \mathrm{MQ}$, nên khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng MQ chính là độ dài đoạn thẳng MN .

Mà $\mathrm{MN}=8 \mathrm{~cm}$.

→ Khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng MQ bằng 8cm.

Dạng 2: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu

Phương pháp giải: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn.

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

- Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu bằng nhau.

Ví dụ: Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Kẻ đường vuông góc $AH$ xuống $d$ ($H \in d$). Lấy hai điểm $B$ và $C$ cùng nằm trên $d$ sao cho đoạn $HB = 3\text{ cm}$ và đoạn $HC = 5\text{ cm}$. Hãy so sánh độ dài hai đường xiên $AB$ và $AC$.

Lời giải

Ta có $AH \perp d$ tại $H$, suy ra $HB$ và $HC$ lần lượt là hình chiếu của các đường xiên $AB$ và $AC$ trên đường thẳng $d$.

Theo giả thiết, ta thấy HB < HC (do 3cm < 5cm).

Áp dụng tính chất "Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn", ta có AB < AC.

Dạng 3: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Phương pháp giải: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d. Kẻ đoạn thẳng MH vuông góc với d tại H. Trên đường thẳng d, lấy các điểm P, Q, R phân biệt và khác điểm H. Hỏi trong các đoạn thẳng MH, MP, MQ, MR, đoạn thẳng nào có độ dài ngắn nhất?

Lời giải

Kẻ $\mathrm{MH} \perp d$ nên $\mathrm{MH}$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $d$.

Các đoạn thẳng MP, MQ, MR không vuông góc với d nên chúng là các đường xiên.

Theo tính chất, đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên.

→ Đoạn thẳng ngắn nhất là MH.

Xem thêm: Mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác

Ôn tập nhanh quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Để nắm chắc phần lý thuyết vừa học, các con hãy cùng thực hành ngay với 10 bài tập vận dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên dưới đây nhé!

Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng $\mathrm{d} . \mathrm{K}$ ẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{d}$ tại H. Lấy điểm B trên d sao cho $\mathrm{HB}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AH}=4 \mathrm{~cm}$. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d và độ dài đường xiên AB.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=8 \mathrm{~cm}$. Hãy xác định và tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC , khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Bài 3: Cho tam giác DEF cân tại D , kẻ $\mathrm{DI} \perp \mathrm{EF}(\mathrm{I} \in \mathrm{EF})$. Biết $\mathrm{DI}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{EF}=10 \mathrm{~cm}$. Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng EF và tính độ dài các đường xiên DE, DF.

Bài 4: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d . Kẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{d}(\mathrm{H} \in \mathrm{d})$. Lấy các điểm $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ trên d sao cho H nằm giữa B và C , đồng thời $\mathrm{HB}<\mathrm{HC}$. Hãy so sánh hai đường xiên AB và AC .

Bài 5: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}$ là góc tù. Kẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}(\mathrm{H} \in \mathrm{BC})$. Lấy điểm D bất kỳ nằm giữa B và C. Hãy sắp xếp độ dài các đoạn thẳng AB, AD, AC theo thứ tự tăng dần.

Bài 6: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d . Kẻ đường vuông góc AH và hai đường xiên $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ đến đường thẳng $\mathrm{d}(\mathrm{H}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{d})$. Biết $\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}$. Hãy so sánh hai hình chiếu HB và HC .

Bài 7: Cho $\triangle \mathrm{MNP}$ vuông tại M. Trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho $\mathrm{MQ}>$ MP. So sánh độ dài hai đường xiên NQ và NP.

Bài 8: Cho tam giác ABC có $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$. Kẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}(\mathrm{H} \in \mathrm{BC})$. Lấy điểm M bất kỳ nằm giữa A và H. Chứng minh rằng:

a) $\mathrm{MB} < \mathrm{MC}$

b) $\mathrm{MB} < \mathrm{AB}$

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ một đường thẳng d bất kỳ đi qua A (đường thẳng d không cắt đoạn BC ). Từ B và C kẻ các đường vuông góc BD và CE xuống đường thẳng $\mathrm{d}(\mathrm{D}, \mathrm{E} \in \mathrm{d})$. Chứng minh rằng $\mathrm{BD}+\mathrm{CE} \leq \mathrm{BC}$.

Bài 10: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù. Lấy điểm D tùy ý thuộc cạnh AB, điểm E tùy ý thuộc cạnh AC (không trùng với các đỉnh). Chứng minh rằng $\mathrm{DE}<\mathrm{BC}$.

Qua những nội dung trên, hy vọng các em đã nắm được những kiến thức trọng tâm về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên và biết cách áp dụng đúng định lý khi giải bài. Để học chắc Toán 7 và được hướng dẫn phương pháp giải từng dạng bài, các em có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi với lộ trình học phù hợp và sự hỗ trợ tận tình từ các gia sư.