Cộng trừ đa thức một biến: Lý thuyết và bài tập minh hoạ

Cộng, trừ hai đa thức một biến

Có hai phương pháp chính để cộng, trừ hai đa thức một biến: cộng theo cột dọc và cộng theo hàng ngang.

Phương pháp 1: Cộng, trừ theo cột dọc

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến theo chiều dọc, con thực hiện theo 3 bước sau:

- Đưa mỗi đa thức về dạng thu gọn và sắp xếp chúng theo cùng một thứ tự (thường là số mũ giảm dần hoặc tăng dần của biến).

- Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột

- Cộng, trừ các hệ số của hai đơn thức trong từng cột để ra kết quả.

Chú ý: Nếu một đa thức bị khuyết một bậc nào đó (ví dụ có bậc 3 và bậc 1 nhưng không có bậc 2), ta phải bỏ trống vị trí cột của bậc bị khuyết đó khi đặt tính.

Phương pháp 2: Cộng, trừ theo hàng ngang

Để cộng, trừ hai đa thức một biến theo hàng ngang, con thực hiện theo các bước sau:

- Đặt hai đa thức vào trong ngoặc và nối với nhau bằng dấu cộng hoặc trừ.

- Bỏ dấu ngoặc, sau đó sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các đơn thức có cùng số mũ lại với nhau.

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm để được tổng, hiệu cần tìm.

Ví dụ: Tính tổng của $A(x) = 4x^4 - 3x^2 + 5x - 2$ và $B(x) = -2x^4 + x^3 + 3x^2 - 7$

$A(x) + B(x) = (4x^4 - 3x^2 + 5x - 2) + (-2x^4 + x^3 + 3x^2 - 7)$

$A(x) + B(x) = 4x^4 - 3x^2 + 5x - 2 - 2x^4 + x^3 + 3x^2 - 7$

$A(x) + B(x) = (4x^4 - 2x^4) + x^3 + (-3x^2 + 3x^2) + 5x + (-2 - 7)$

$A(x) + B(x) = 2x^4 + x^3 + 5x - 9$

Các dạng toán cộng trừ đa thức một biến thường gặp

Chuyên đề cộng trừ đa thức một biến thường được chia thành 3 dạng bài tập trọng tâm. Dưới đây là tổng hợp phương pháp giải kèm ví dụ minh họa, giúp học sinh hệ thống kiến thức và vận dụng vào từng dạng bài.

Dạng 1: Cộng trừ đa thức một biến.

Phương pháp giải: Để cộng trừ đa thức một biến, ta viết phép tính A±B, sau đó bỏ dấu ngoặc, nhóm các hạng tử cùng bậc rồi thu gọn, và cuối cùng thực hiện phép tính.

Ví dụ: Cho hai đa thức: $A(x)=3 x^3-2 x^2+5 x-4 ; B(x)=x^3+4 x^2-5 x+2$ Tính $A(x)+B(x) ; A(x)-B(x)$.

Tính $A(x)+B(x)$ :

$$
\begin{aligned}
& A(x)+B(x)=\left(3 x^3-2 x^2+5 x-4\right)+\left(x^3+4 x^2-5 x+2\right) \\
& A(x)+B(x)=3 x^3-2 x^2+5 x-4+x^3+4 x^2-5 x+2 \\
& A(x)+B(x)=4 x^3+2 x^2-2
\end{aligned}
$$

Tính $A(x)-B(x)$ :

$$
\begin{aligned}
& A(x)-B(x)=\left(3 x^3-2 x^2+5 x-4\right)-\left(x^3+4 x^2-5 x+2\right) \\
& A(x)-B(x)=3 x^3-2 x^2+5 x-4-x^3-4 x^2+5 x-2 \\
& A(x)-B(x)=2 x^3-6 x^2+10 x-6
\end{aligned}
$$

Dạng 2: Tìm biểu thức, tính giá trị biểu thức.

Phương pháp giải: Ta áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc cộng trừ đa thức một biến để tìm đa thức chưa biết.

Ví dụ: Tìm đa thức $M(x)$ biết $M(x)+P(x)=Q(x)$ :

$P(x)=2 x^3-4 x^2+3 x-5 ; Q(x)=-x^4+2 x^3+x^2-7 .$

Ta có $M(x)+P(x)=Q(x) \Rightarrow M(x)=Q(x)-P(x)$.

$\text { Mà } P(x)=2 x^3-4 x^2+3 x-5 ; Q(x)=-x^4+2 x^3+x^2-7 \text { nên: }$

$$
\begin{aligned}
& M(x)=\left(-x^4+2 x^3+x^2-7\right)-\left(2 x^3-4 x^2+3 x-5\right) \\
& =-x^4+2 x^3+x^2-7-2 x^3+4 x^2-3 x+5 \\
& =-x^4+\left(2 x^3-2 x^3\right)+\left(x^2+4 x^2\right)-3 x+(-7+5) \\
& =-x^4+5 x^2-3 x-2
\end{aligned}
$$

Dạng 3: Các bài toán thực tế

Phương pháp giải: Lập đa thức biểu diễn các đại lượng dựa trên công thức chu vi và diện tích. Tiếp theo, cộng trừ các đa thức để giải quyết bài toán.

Ví dụ: Cho một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là x (m). Biết chiều rộng kém chiều dài 3m. Lập biểu thức đại số biểu thị chu vi của mảnh vườn đó.

- Chiều dài mảnh vườn: x (m)

- Chiều rộng mảnh vườn: x - 3(m)

- Chu vi của mảnh vườn là: 2 (x + x - 3) = 2(2x - 3) = 4x - 6 (m).

Bài tập cộng trừ đa thức một biến toán 7

Dưới đây là hệ thống 10 bài tập tự luận về cộng, trừ đa thức một biến trọng tâm. Cấu trúc bài tập được thiết kế từ cơ bản đến nâng cao, rất phù hợp để các con ôn luyện tại nhà.

Bài 1: Cho hai đa thức sau:

$$
\begin{aligned}
& P(x)=3 x^4-2 x^3+5 x^2-4 x+1 \\
& Q(x)=-3 x^4+2 x^3-3 x^2+7 x+5
\end{aligned}
$$

Tính $P(x)+Q(x)$ và $P(x)-Q(x)$. Sắp xếp kết quả theo lũy thừa giảm dần của biến.

Bài 2: Tìm đa thức $M(x)$ biết:

$M(x)+\left(2 x^3-4 x^2+x-5\right)=5 x^3+2 x^2-3 x+4$

Bài 3: Tìm đa thức $N(x)$ sao cho:

$\left(4 x^4-3 x^3+2 x-1\right)-N(x)=2 x^4-5 x^3+x^2-3 x+2$

Bài 4: Cho ba đa thức:

$$
\begin{aligned}
& A(x)=x^3-2 x^2+x-1 \\
& B(x)=2 x^3+x^2-3 x+2 \\
& C(x)=3 x^3-x^2+2 x-5
\end{aligned}
$$

Tính $A(x)+B(x)-C(x)$.

Bài 5: Cho hai đa thức:

$P(x)=2 x^3-5 x^2+4 x-1 \text { và } Q(x)=-2 x^3+6 x^2-3 x+3 .$

a) Tìm đa thức $R(x)=P(x)+Q(x)$.

b) Tính giá trị của đa thức $R(x)$ tại $x=-2$.

Bài 6: Cho hàm số:
$f(x)=x^4-3 x^3+2 x^2-5 x+4$ và $g(x)=x^4-3 x^3+2 x^2-7 x+10$.

a) Tìm đa thức $h(x)=f(x)-g(x)$.

b) Tìm nghiệm của đa thức $h(x)$.

Bài 7: Cho hai đa thức $A(x)=5 x^2-3 x+7$ và $B(x)=2 x^2-3 x+1$. Hãy tìm giá trị của $x$ để $A(x)-B(x)=24$.

Bài 8: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài được biểu diễn bởi đa thức $3 x+5$ (mét) và chiều rộng biểu diễn bởi đa thức $x+2$ (mét).

a) Viết đa thức $C(x)$ biểu thị chu vi của mảnh vườn đó.

b) Tính chu vi thực tế của mảnh vườn nếu $x=4$.

Bài 9: Một xưởng sản xuất có hàm doanh thu khi bán x sản phẩm là $R(x)=500 x-2 x^2$ (nghìn đồng) và hàm chi phí sản xuất cho x sản phẩm đó là $C(x)=200 x+1500$ (nghìn đồng).

a) Viết đa thức $P(x)$ biểu diễn lợi nhuận của xưởng sản xuất (Biết Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí).

b) Tính mức lợi nhuận thu được khi xưởng bán ra 50 sản phẩm.

Bài 10: Hai chiếc xe cùng xuất phát từ một vị trí và chạy trên cùng một tuyến đường thẳng theo cùng một hướng. Quãng đường xe thứ nhất đi được sau thời gian $t$ (giờ) là $S_1(t)=5 t^2+40 t(\mathrm{~km})$. Quãng đường xe thứ hai đi được là $S_2(t)=3 t^2+35 t$ (km).

a) Viết đa thức $D(t)$ biểu diễn khoảng cách giữa hai xe sau thời gian $t$ giờ.

b) Sau 2 giờ kể từ khi xuất phát, hai xe cách nhau bao nhiêu km?

Hy vọng những ví dụ trong bài sẽ giúp học sinh hình dung rõ hơn quy trình cộng trừ đa thức một biến và vận dụng linh hoạt khi gặp bài toán tương tự. Nếu cần một lộ trình học tập bài bản hơn với nhiều chuyên đề và bài luyện tập đa thức, các em có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi để củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải toán.