Toán 7: Mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác

Góc đối diện với cạnh lớn hơn

Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

VD: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$, có:
- Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C .
- Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B.

Với $\mathrm{AC}>\mathrm{AB} \rightarrow \widehat{B}>\widehat{C}$

Cạnh đối diện với góc lớn hơn

Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

VD: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$, có:
- Góc $C$ là góc đối diện với cạnh AB.
- Góc $B$ là góc đối diện với cạnh AC.

Với $\widehat{B}>\widehat{C} \rightarrow \mathrm{AC}>\mathrm{AB}$

Chú ý:

- Trong một tam giác, đối diện với một cạnh là một góc và đối diện với một góc là một cạnh.

- Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông, tức cạnh huyền, là cạnh lớn nhất. 

- Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù cũng là cạnh lớn nhất.

- Định lí 1 và Định lí 2 chỉ được áp dụng khi xét các cạnh và góc trong cùng một tam giác.

- Trong một tam giác, góc nhỏ nhất đối diện với cạnh nhỏ nhất. Vì vậy, cạnh nhỏ nhất luôn đối diện với góc nhọn nhỏ nhất.

Các dạng bài tập quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp, giúp các con nhận diện đúng yêu cầu của từng bài và lựa chọn kiến thức, phương pháp phù hợp để vận dụng vào giải bài.

So sánh hai góc trong một tam giác

Trường hợp 1: Hai góc nằm trong một tam giác.

- Xác định hai góc cần so sánh và hai cạnh đối diện tương ứng.

- So sánh độ dài của hai cạnh đối diện với hai góc đó.

- Dựa vào định lí: Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn, từ đó kết luận góc cần so sánh.

Trường hợp 2: Hai góc không nằm trong một tam giác.

Nếu hai góc cần so sánh không cùng nằm trong một tam giác, ta có thể sử dụng một góc trung gian để thiết lập mối quan hệ và thực hiện so sánh.

Ví dụ: So sánh các góc của $\triangle \mathrm{MNP}$ biết rằng: $\mathrm{MN}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{NP}=7 \mathrm{~cm}, \mathrm{PM}=6 \mathrm{~cm}$.
$\triangle \mathrm{MNP}$ có $\mathrm{MN}<\mathrm{PM}<\mathrm{NP}(3<6<7) \Rightarrow \widehat{P}<\widehat{N}<\widehat{M}$ (Định lí 1 - quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

So sánh hai cạnh trong một tam giác

Phương pháp giải:

- Xác định hai cạnh cần so sánh và hai góc đối diện tương ứng.

- So sánh độ lớn của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

- Dựa vào định lí: Trong một tam giác, góc lớn hơn đối diện với cạnh lớn hơn, từ đó kết luận mối quan hệ giữa hai cạnh.

Ví dụ: So sánh các cạnh của $\triangle M N P$, biết: $\hat{M}=65^{\circ} ; \hat{N}=75^{\circ}$.
$\triangle M N P$ có: $\hat{M}=65^{\circ} ; \hat{N}=75^{\circ}$
Mà $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}=180^{\circ}$ (tổng 3 góc của một tam giác)

$\Rightarrow 65^{\circ} + 75^{\circ} + \hat{P} = 180^{\circ} \Rightarrow \hat{P} = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 75^{\circ}) = 40^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{N} > \hat{M} > \hat{P} \text{ (Vì } 75^{\circ} > 65^{\circ} > 40^{\circ}\text{)}$

$\Rightarrow MP > NP > MN \text{ (Định lý 2: Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)}$

Xem thêm: Cộng trừ đa thức một biến: Lý thuyết và bài tập minh hoạ

Bài tập tự luyện quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Hệ thống bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, giúp các con củng cố lý thuyết và vận dụng kiến thức vào từng dạng bài.

Bài 1: Cho $\triangle A B C$ có $A B=3 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}, B C=5 \mathrm{~cm}$.
 

a) So sánh các góc của $\triangle ABC$.

b) Tam giác $ABC$ là tam giác gì? Vì sao?

Bài 2: Cho $\triangle M N P$ có chu vi bằng 24 cm. Biết độ dài các cạnh $M N, N P, P M$ lần lượt tỉ lệ với các số 3,4,5. Hãy sắp xếp các góc của $\triangle M N P$ theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bài 3: Cho $\triangle D E F$ vuông tại $D$, có $D E=5 \mathrm{~cm}, D F=12 \mathrm{~cm}$.

a) Tính độ dài cạnh $EF$.  

b) So sánh các góc của $\triangle DEF$.

Bài 4: Cho tam giác $R S T$ cân tại $R$, có chu vi là 20 cm và cạnh đáy $S T=6 \mathrm{~cm}$. Hãy so sánh các góc trong tam giác $R S T$.

Bài 5: Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Trên tia đối của tia $M A$ lấy điểm $D$ sao cho $M D=M A$.

a) Chứng minh $AB = CD$.

b) So sánh $\widehat{BAM}$ và $\widehat{CAM}$.

Bài 6: Cho $\triangle A B C$ có $\widehat{A}=80^{\circ}, \widehat{B}=45^{\circ}$. Hãy so sánh độ dài ba cạnh của $\triangle A B C$.

Bài 7: Cho $\triangle M N P$ vuông tại $M$, có $\widehat{N}=30^{\circ}$.

a) Tính số đo $\widehat{P}$.

b) Sắp xếp các cạnh của $\triangle M N P$ theo thứ tự từ lớn đến bé.

Bài 8: Cho $\triangle D E F$ cân tại $D$, có $\widehat{E}=50^{\circ}$. Hãy so sánh các cạnh của $\triangle D E F$.
Bài 9: Cho $\triangle A B C$ có $\widehat{A}=100^{\circ}, \widehat{B}=40^{\circ}$. Khẳng định nào sau đây là đúng? Giải thích vì sao.

a) $BC > AC > AB$

b) $BC > AB = AC$

c) $AB = AC > BC$

Bài 10: Cho $\triangle X Y Z$ có góc ngoài tại đỉnh $X$ bằng $120^{\circ}$ và $\widehat{Y}=70^{\circ}$. Hãy so sánh các cạnh của $\triangle X Y Z$.

Bài 11: Cho $\triangle A B C$ có $\widehat{B}>\widehat{C}$. Gọi $A D$ là tia phân giác của $\widehat{A}(D \in B C)$. Chứng minh rằng $B D<C D$.

Bài 12: Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh rằng $\widehat{A M B}<\widehat{A M C}$.

Bài 13: Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Lấy điểm $D$ bất kỳ nằm giữa $B$ và $C$. Chứng minh rằng $A D<A C$.

Bài 14: Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A$, có $\widehat{B}=60^{\circ}$. Kẻ tia phân giác $B D$ của góc $\widehat{B} (D \in A C$ ). Hãy so sánh hai đoạn thẳng $A D$ và $C D$.

Bài 15: Cho $\triangle A B C$ là tam giác tù (có $\widehat{A}>90^{\circ}$ ). Lấy điểm $D$ bất kỳ trên cạnh $A B$ và điểm $E$ bất kỳ trên cạnh $A C$ (D và E không trùng với các đỉnh). Chứng minh rằng $D E<B C$.

Hướng dẫn giải nhanh / Đáp án

Bài 1: $B C>A C>A B \Rightarrow \widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$. Đây là tam giác vuông tại $A$ vì $3^2+4^2=5^2$ (định lý Pythagore đão).

Bài 2: Tính được $M N=6 \mathrm{~cm}, N P=8 \mathrm{~cm}, P M=10 \mathrm{~cm}$. Suy ra $M N<N P<P M \Rightarrow \widehat{P}<\widehat{M}<\widehat{N}$.

Bài 3: Theo Pythagore, $E F=13 \mathrm{~cm}$. Có $D E<D F<E F \Rightarrow \widehat{F}<\widehat{E}<\widehat{D}$.
Bài 4: Cạnh bên $R S=R T=(20-6) / 2=7 \mathrm{~cm}$. Do $S T<R S=R T(6<7)$ nên $\widehat{R}<\widehat{T}=\widehat{S}$.

Bài 5: Chứng minh $\triangle A M B=\triangle D M C$ (c.g.c) $\Rightarrow A B=C D$ và $\widehat{B A M}=\widehat{C D M}$. Xét $\triangle A C D$ có $C D=A B<A C \Rightarrow \widehat{C A M}<\widehat{C D M}$. Do đó $\widehat{C A M}<\widehat{B A M}$.

Bài 6: $\widehat{C}=180^{\circ}-\left(80^{\circ}+45^{\circ}\right)=55^{\circ}$. Ta có $\widehat{B}<\widehat{C}<\widehat{A} \Rightarrow A C<A B<B C$.
Bài 7: $\widehat{P}=60^{\circ}$. Ta có $\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N} \Rightarrow N P>M N>M P$.
Bài 8: Vì tam giác cân tại $D$ nên $\widehat{F}=\widehat{E}=50^{\circ} . \widehat{D}=180^{\circ}-\left(50^{\circ}+50^{\circ}\right)=80^{\circ}$. Ta có $\widehat{D}>\widehat{E}=\widehat{F} \Rightarrow E F>D F=D E$.

Bài 9: $\widehat{C}=180^{\circ}-100^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$. Ta có $\widehat{A}>\widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow B C>A C=A B$. Vậy khẳng định (b) đúng.

Bài 10: Góc trong $\widehat{X}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ} . \widehat{Z}=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+70^{\circ}\right)=50^{\circ}$. Ta có $\widehat{Y}>\widehat{X}>\widehat{Z} \Rightarrow X Z>Y Z>X Y$.

Bài 11: Lấy $E \in A C$ sao cho $A E=A B \Rightarrow \triangle A B D=\triangle A E D \Rightarrow B D=E D$.
Ta có $\widehat{D E C}=180^{\circ}-\widehat{B}>\widehat{C} \Rightarrow C D>E D \Rightarrow C D>B D$.

Bài 12: Kẻ $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC} . A B<A C \Rightarrow H B<H C \Rightarrow H$ thuộc đoạn $B M$.
Góc ngoài $\widehat{A M C}=90^{\circ}+\widehat{H A M}>90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A M B}<90^{\circ}$. Suy ra $\widehat{A M B}<\widehat{A M C}$.

Bài 13: Góc ngoài $\widehat{A D C}>\widehat{B}$. Lại có $A B<A C \Rightarrow \widehat{B}>\widehat{C}$. Suy ra $\widehat{A D C}>\widehat{C} \Rightarrow A C>A D$.

Bài 14: $\widehat{C}=30^{\circ}$, phân giác $\widehat{D B C}=30^{\circ} \Rightarrow \triangle B D C$ cân tại $D \Rightarrow C D=B D$.
$\triangle A B D$ vuông $\Rightarrow A D<$ cạnh huyền $B D$. Vậy $A D<C D$.

Bài 15: $\triangle A D E$ có $\widehat{A}$ tù $\Rightarrow C D>D E$.
Góc ngoài $\widehat{C D B}=\widehat{A}+\widehat{A C D}>90^{\circ} \Rightarrow B C>C D$. Vậy $B C>D E$.

Hy vọng những kiến thức trên đã giúp các con nắm rõ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác và vận dụng đúng vào từng dạng bài. Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải Toán 7, các con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 7 tại Học là Giỏi. Tại đây, các gia sư luôn hỗ trợ tận tình, giải đáp thắc mắc, hướng dẫn con phương pháp học phù hợp.