Bí kíp chinh phục các hằng đẳng thức mở rộng

Khái niệm và công thức cơ bản

Hằng đẳng thức mở rộng là gì? Nói một cách đơn giản, chúng là những công thức đại số giúp bạn rút gọn và giải quyết các bài toán phức tạp một cách nhanh chóng. Giống như cách bạn gỡ rối một mớ dây, hằng đẳng thức mở rộng giúp biến các biểu thức phức tạp thành những dạng đơn giản hơn. Từ đó, ta có thể tính toán các biểu thức đa thức một cách hiệu quả nhất.

Chúng ta có các thức mở rộng căn bản như sau:

Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng

Hãy bắt đầu với những hằng đẳng thức bậc hai mở rộng. Nếu bạn đã quen thuộc với công thức ( a + b )² = a² + 2ab + b² , thì những công thức mở rộng cho nhiều biến hơn cũng tương tự. Chẳng hạn:

           ( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

           ( a - b + c )² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac

           ( a + b + c + d )² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd

Ví dụ minh họa: 

             ( 2x + 3y + 4z )²= (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(2x)(4z)

                                          = 4x² + 9y² + 16z² +12xy + 24yz + 16xz

Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng

Nếu bạn muốn xử lý những bài toán đa thức với ba biến dễ dàng, thì bạn nên sử dụng các hằng đẳng thức bậc ba mở rộng. Đây là những phép toán hỗ trợ bạn triển khai các biểu thức phức tạp hơn: 

                            ( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c)( b + c)

                            a³ + b³ + c³ - 3abc = ( a + b + c )(a³ + b³ + c³ - ab - ac - bc )

                            a³ + b³ = ( a + b )³ - 3ab( a + b )

                            a³ - b³ = ( a - b )³ + 3ab( a - b )

Ví dụ minh họa: 

              ( x + 2y + 3z )³ = x³ + (2y)³ +(3z)³ + 3(x+2y)(2y+3z)(3z+x)

                                          = x³ + 8y³ +27z³ + 3[(x+2y)(2y+3z)(3z+x)]

Hằng đẳng thức bậc 4 mở rộng và cao hơn

Mỗi lần nâng cấp lên một bậc, sự phức tạp tăng lên, nhưng cùng với đó là sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của toán học. Ví dụ, hằng đẳng thức bậc 4 hay bậc 5 của hai biến được biểu diễn như sau:

                             ( a + b )⁴ = a⁴ + 4a³b  + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

                             ( a + b )⁵ = a⁵ + 5a⁴b  + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Nhìn vào đây, bạn có thể thấy cách mỗi biến xuất hiện với một lũy thừa nhất định và cách các hệ số tăng dần theo một quy luật.

Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

Đối với những ai muốn đi xa hơn trong quá trình học Toán, các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao chính là điều bạn cần. Đây là những phép toán giúp bạn đi sâu vào bản chất của toán học.

Ví dụ, với một tổng n số hạng, ta có thể mở rộng bình phương của nó theo cách sau:

(a₁ + a₂ + a₃ ... + a_n )² = a₁² + a₂² + a₃² ... + a_n² + 2( a₁a₂ + a₁a₃ + ...+ 2a₁a_n + 2a₂a₃ + … + a_n-1a_n )

Hoặc nếu bạn muốn làm việc với các số mũ cao hơn, hằng đẳng thức aⁿ + bⁿ và aⁿ - bⁿ sẽ là lựa chọn đáng tin cậy. Đối với số mũ lẻ, ta có công thức:

aⁿ + bⁿ = ( a + b )( a^n-1 - a^n-2b + a^n-3b² - ... + b^n-1 )

Còn đối với số mũ chẵn, bạn có thể sử dụng:

aⁿ - bⁿ = ( a - b )( a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + ... + b^n-1 ) 

Những công thức này không chỉ giúp bạn trong việc rút gọn biểu thức mà còn mở ra nhiều cách tiếp cận mới trong giải toán.

Ví dụ minh họa: 

         ( 2 + 3 + 4 + 5)² = 2² + 3² + 4² + 5² + 2(2*3+2*4+2*5+3*4+3*5+4*5)

                                      = 4 + 9 +16 + 25 + 2(6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20)

                                      = 54 + 142 = 196

Phương pháp nhị thức newton và tam giác pascal

Một trong những phép toán không thể thiếu trong hành trình khám phá các hằng đẳng thức chính là Nhị thức Newton và Tam giác Pascal. Khi bạn triển khai một nhị thức như (A+B)ⁿ, các hệ số xuất hiện không phải ngẫu nhiên mà tuân theo một quy luật rất cụ thể, đó là tam giác Pascal:

Ví dụ, triển khai (A+B)⁴ , bạn sẽ có:

(A+B)⁴ = A⁴ + 4A³B + 6A²B² + 4AB³ + B⁴

Hệ số 1, 4, 6, 4, 1 chính là các số nằm trong hàng thứ 4 của tam giác Pascal. Quy luật này không chỉ đẹp mắt mà còn rất hữu ích trong việc tính toán.

Ứng dụng thực tiễn của hằng đẳng thức mở rộng

Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, hằng đẳng thức mở rộng còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Trong giáo dục, chúng giúp học sinh hiểu rõ hơn về cấu trúc của các bài toán đại số, từ đó nâng cao khả năng giải toán. Còn trong nghiên cứu, các nhà toán học và kỹ sư sử dụng hằng đẳng thức để phát triển các mô hình toán học, tối ưu hóa các thuật toán và giải quyết các bài toán phức tạp trong thực tế. Cụ thể:

Trong giải phương trình

Khi bạn gặp một phương trình phức tạp với nhiều con số, hằng đẳng thức chính là phép toán giúp chúng ta "gỡ rối" mọi thứ. Chẳng hạn, khi gặp phương trình có dạng x² + 2xy + y², chúng ta có thể nhận ra ngay đây là hằng đẳng thức của (x+y)². Điều này giúp bạn dễ dàng giải phương trình một cách nhanh chóng. Chỉ cần vài bước nhỏ, bạn đã có thể tìm ra nghiệm mà không cần phải đau đầu suy nghĩ về những bước dài và phức tạp.

Trong rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức là một trong những phần mình thấy hằng đẳng thức được sử dụng nhiều nhất. Đôi khi biểu thức toán học có thể trở nên rối rắm với nhiều thành phần chồng chất lên nhau. Nhưng với hằng đẳng thức, chúng ta có thể biến những biểu thức phức tạp thành những biểu thức đơn giản và gọn gàng hơn rất nhiều. Ví dụ, thay vì phải viết ra tất cả các bước nhân tử rồi cộng lại, bạn chỉ cần áp dụng hằng đẳng thức phù hợp. Kết quả là, biểu thức dài dằng dặc trước đó bỗng dưng "thu bé lại" vừa bằng một dòng.

Trong chứng minh bất đẳng thức

Hằng đẳng thức có thể giúp việc chứng minh bất đẳng thức trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Thay vì phải đi từng bước dài để chứng minh, bạn có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và chuyển đổi bài toán về một dạng dễ chứng minh hơn. Đơn giản như bất đẳng thức ( a + b )² ≥ 4ab, bạn chỉ cần áp dụng hằng đẳng thức và vài phép tính đơn giản là có thể thấy giải được. Bất đẳng thức không còn là khó khăn khi chúng ta biết cách sử dụng hằng đẳng thức một cách thông minh.

Trong hình học

Nếu bạn đã từng học qua hình học phẳng, hẳn bạn sẽ thấy việc tính toán diện tích, chu vi hay độ dài các cạnh dễ dàng hơn rất nhiều với sự trợ giúp của hằng đẳng thức. Khi tính diện tích của một tam giác vuông có các cạnh là a và b, bạn có thể áp dụng hằng đẳng thức để tính nhanh hơn. Hằng đẳng thức giúp chúng ta nhận ra những mối liên hệ giữa các đại lượng trong hình học, làm cho việc học trở nên thú vị và hiệu quả hơn.

Bài tập vận dụng

Các dạng bài tập cơ bản

Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách áp dụng hằng đẳng thức: 

                 ( a + b + c )² với  a = 1, b = 2, c = 3.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau khi sử dụng hằng đẳng thức: 

                 ( x + y + z + t )² với x = 1, y = -2, z = 3, t  = -4.

Bài 3: Triển khai và rút gọn biểu thức sau: 

                 ( p + q + r )³.

Các dạng bài tập nâng cao

Bài 4: Triển khai biểu thức sau và rút gọn:

                 ( x + y + z )⁴.

Bài 5: Cho các số a,b,c. Chứng minh hằng đẳng thức sau: 

                 ( a + b + c )³ − ( a + b )³ − ( b + c )³ − ( c + a )³ = 3abc.

Xem thêm: 

7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8

Hằng đẳng thức số 3

Kết luận

Dù bạn là người mới bắt đầu học toán hay đã có kinh nghiệm, các hằng đẳng thức mở rộng luôn là phép toán hiệu quả để bạn khám phá sâu hơn và xa hơn trong thế giới toán học. Hi vọng với các kiến thức mà gia sư Học là Giỏi vừa chia sẻ sẽ giúp bạn giải quyết những khúc mắc khi phải đối đầu với những bài toán đại số nâng cao.