Toán 10: Tổng hợp phương trình đường tròn chi tiết

Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là: (x - a)² + (y - b)² = R²

Chú ý: Phương trình đường tròn với tâm chính là gốc tọa độ O và bán kính R được tính bằng x² + y² = R².

Nhận xét:

Có thể viết dưới dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a² + b² - R².

Để phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) thì a² + b² - c > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = $\sqrt{a² + b² - c}$.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀.

Ta có M₀ thuộc Δ và vectơ IM₀ = (x₀ - a; y₀ - b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là: (x₀ - a)(x - x₀) + (y₀ - b)(y - y₀) = 0

Phương trình Δ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R² tại điểm M₀ nằm trên đường tròn.

Các dạng bài tập thường gặp về phương trình đường tròn

Dưới đây là các dạng bài tập phương trình đường tròn thường gặp, giúp con nhận biết đặc điểm và nắm được cách giải từng dạng bài.

Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm điều kiện

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình về dạng như sau: (x - a)² + (y - b)² = P

- Với P > 0 thì phương trình đường tròn có tâm I(a; b) cùng bán kính R = P

- Nếu P ≤ 0 thì phương trình không là phương trình đường tròn.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0  với P = a² + b² - c

- Với P > 0 thì phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R = $\sqrt{a² + b² - c}$

- Nếu P ≤ 0 thì phương trình không là phương trình đường tròn.

Ví dụ: Phương trình x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 có phải là một phương trình đường tròn hay không? Nếu đúng thì hãy xác định tâm và bán kính.

Lời giải

Phương trình: x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 có hệ số a = 3, b = -4, c = 9 nên:

a² + b² - c = 3² + (-4)² - 9 = 16 > 0

Vậy phương trình x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 là một phương trình đường tròn với:

- Tâm I(3, -4) 

- Bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4

Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm

Phương pháp giải:

Cách 1: Xác định tọa độ của tâm I (a;b) của đường tròn (C)

Xác định bán kính R của đường tròn (C)

Viết phương trình của đường tròn (C) dưới dạng: (x - a)² + (y - b)² = R²

Cách 2: Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình tổng quát  đường tròn (C)

Thiết lập hệ phương trình gồm 3 ẩn a, b, c.

Giải hệ phương trình tìm 3 ẩn rồi thay vào phương trình đường tròn (C)

Lưu ý: Nếu đường tròn (C) đi qua hai điểm A và B thì IA² = IB² = R². Trường hợp này thường được áp dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Ví dụ: Hãy viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(-3; 4) và chạy qua điểm O(0; 0).

Lời giải

Đường tròn (C) với tâm I(-3; 4) và chạy qua gốc tọa độ O(0; 0). Vì vậy R = OI.

Có OI = $\sqrt{(-3)² + 4²}$ = $\sqrt{25}$ = 5

Suy ra R² = 25. 

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 3)² + (y - 4)² = 25

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải: Áp dụng tính chất tiếp tuyến:

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng (Δ) thì d(I, Δ) = R

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng (Δ) tại điểm A thì d(I, Δ) = IA = R

- Khi đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (1) và (2) thì d(I, 1) = d(I, 2) = R

Ví dụ: Hãy viết phương trình đường tròn (C) với tâm I(-4; 3) và tiếp xúc với trục tung Oy.

Lời giải

Ta có phương trình đường thẳng của trục Oy là x = 0. 

Khoảng cách từ tâm I đến trục Oy chính là bán kính R của đường tròn đó: 

R = d(I; Oy) = $\frac{|-4|}{\sqrt{1}}$ = = 4

Vậy phương trình của đường tròn (C) được biểu diễn là: (x + 4)² + (y - 3)² = 16.

Xem thêm: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Công thức phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Tính bán kính đường tròn nội tiếp: r = $\frac{S}{P}$ (với S là diện tích, P là nửa chu vi tam giác).

- Gọi tâm I(a; b), lập hệ phương trình dựa trên điều kiện: khoảng cách từ I đến 3 cạnh tam giác đều bằng nhau và bằng r.

- Giải hệ phương trình để tìm tọa độ tâm I và viết phương trình đường tròn.

Cách 2:

- Xác định tâm I là giao điểm của phương trình hai đường phân giác trong của tam giác.

- Tính bán kính bằng cách tính khoảng cách từ tâm I đến một cạnh bất kỳ của tam giác đó.

Ví dụ: Phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB khi biết điểm A(8; 0) và B(0; 6) với O là gốc tọa độ.

Lời giải

OA = 8

OB = 6

$$\mathrm{AB}=\sqrt{O A^2+O B^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10<$$

Diện tích tam giác $\mathrm{OAB}: S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} . \mathrm{OA} . \mathrm{OB}=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6=24$

Nửa chu vi tam giác $\mathrm{OAB}: \mathrm{P}=\frac{O A+O B+A B}{2}=\frac{8+6+10}{2}=12$

Bán kính đường tròn nội tiếp r : $\mathrm{r}=\frac{S}{P}=\frac{24}{12}=2$

Do đường tròn tiếp xúc với cả 2 trục tọa độ $\rightarrow \mathrm{I}(\mathrm{r} ; \mathrm{r})=(2 ; 2)$

Phương trình đường tròn được biểu diễn dưới dạng: $(\mathrm{x}-2)^2+(\mathrm{y}-2)^2=4$

Bài tập luyện tập về phương trình đường tròn lớp 10

Tổng hợp 20 bài tập phương trình đường tròn từ cơ bản đến nâng cao, bao quát các dạng bài thường gặp, giúp con ôn lại kiến thức và chuẩn bị tốt cho bài kiểm tra.

Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các đường tròn cho trước:

a) (x - 2)² + (y + 3)² = 16

b) x² + y² = 25

Bài 2: Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0.

Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau là phương trình của một đường tròn: x² + y² - 2mx - 4y + 5 = 0.

Bài 4: Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và bán kính R = 5.

Bài 5: Viết phương trình đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua điểm A(3; 4).

Bài 6: Viết phương trình đường tròn có đường kính AB với A(1; 1) và B(5; 3).

Bài 7: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 1) và đi qua điểm M(-1; 5).

Bài 8: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-3; 2) và tiếp xúc với trục Ox.

Bài 9: Viết phương trình đường tròn có tâm I(4; -5) và tiếp xúc với trục Oy.

Bài 10: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2) và C(1; -3).

Bài 11: Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng Δ : 3x + 4y - 5 = 0.

Bài 12: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 3), B(-1; 1) và có tâm nằm trên trục Ox.

Bài 13: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x - 1)² + (y + 2)² = 25 tại điểm M(4; 2) thuộc đường tròn.

Bài 14: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : 3x - 4y + 1 = 0.

Bài 15: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x - 2)² + (y - 1)² = 5 được kẻ từ điểm A(4; 5) nằm ngoài đường tròn.

Bài 16: Cho đường thẳng d : x - y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x² + y² - 4x - 2y = 0. Tìm toạ độ giao điểm của d và (C), sau đó tính độ dài dây cung tạo thành. 

Bài 17: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2; 1) và tiếp xúc đồng thời với cả hai trục toạ độ Ox, Oy.

Bài 18: Cho đường tròn có phương trình (Cm) : x² + y² - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0. Tìm giá trị của m để bán kính của đường tròn là nhỏ nhất.

Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(0; 2) và đường tròn (C) : (x - 1)² + (y - 1)² = 1. Tìm điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất.

Bài 20: Cho đường tròn (C) : x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0 có tâm là I và điểm A(4; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác IMN có diện tích lớn nhất.

Hy vọng phần tổng hợp trên đã giúp các con hiểu hơn về phương trình đường tròn và biết cách vận dụng từng dạng bài phù hợp. Nếu muốn củng cố kiến thức và rèn kỹ năng giải Toán nâng cao hơn, ba mẹ và các con có thể tham khảo khóa học Toán lớp 10 tại Học là Giỏi để có lộ trình học tập phù hợp.