Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Thứ ba, 12/11/2024 08:34 AM
Tác giả: Admin Hoclagioi
Đường tròn là 1 khái niệm căn bản trong chương trình học lớp 9 về hình học, đây là loại hình mà bạn sẽ thường xuyên gặp phải trong các bài tập hình. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu tất cả những kiến thức cơ bản về đường tròn nhé.
Mục lục [Ẩn]
Đường tròn là tập hợp các điểm trong mặt phẳng, mà tất cả đều cách đều một điểm cố định. Điểm cố định đó được gọi là tâm của đường tròn. Tất cả các điểm trên đường tròn đều có khoảng cách không đổi so với tâm, và khoảng cách ấy được gọi là bán kính của đường tròn.
Tâm đường tròn là điểm trung tâm mà từ đó mọi điểm trên đường tròn đều có khoảng cách bằng nhau. Khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn được gọi là bán kính (ký hiệu là R).
Ký hiệu: Đường tròn có tâm O và bán kính R sẽ được ký hiệu là (O, R). Bất kỳ điểm P nào nằm trên đường tròn đều đáp ứng điều kiện OP = R, trong đó O là tâm và R là bán kính.
Khi bạn đi từ một điểm trên đường tròn, qua tâm, đến điểm đối diện, đó là đường kính (ký hiệu là d). Đường kính của đường tròn là đoạn dây dài nhất, có độ dài gấp đôi bán kính và được ký hiệu là d = 2R.
Đường kính không chỉ là khoảng cách dài nhất trong đường tròn, mà còn giúp xác định kích thước của đường tròn một cách nhanh chóng.
Chú ý:
- Không thể vẽ một đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
- Nếu hai đường tròn có ba điểm chung, thì hai đường tròn đó phải hoàn toàn trùng khớp.
- Để xác định một đường tròn, cần xác định tâm và bán kính của nó hoặc chỉ ra ba điểm phân biệt nằm trên đường tròn.
- Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tất cả các điểm đó đều cách đều một điểm nhất định.
Tâm O của đường tròn đóng vai trò là điểm đối xứng trung tâm, tạo nên tính đối xứng. Ngoài ra tất cả các đường kính của đường tròn đều đóng vai trò là các trục đối xứng.
Khi một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm, nó được gọi là dây cung. Đặc biệt, đường kính là dây cung duy nhất đi qua tâm của đường tròn.
Đường tròn mang rất nhiều tính chất đặc trưng giúp cho chúng ta hiểu thêm và vận dụng trong các bài tập nâng cao. Dưới đây là các tính chất cơ bản của đường tròn:
- Góc được tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung tại điểm tiếp xúc có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Góc ở tâm là góc có đỉnh tại tâm của đường tròn và chắn một cung. Số đo của góc ở tâm bằng đúng số đo của cung mà nó chắn.
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và chắn một cung. Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.
- Trong đường tròn, đường kính luôn là dây cung dài nhất.
- Đường kính đi qua trung điểm của bất kỳ dây cung nào khác nó và không đi qua tâm sẽ vuông góc với dây cung đó.
- Dây cung không phải là đường kính sẽ không cắt qua tâm của đường tròn.
- Góc ở tâm có số đo gấp đôi số đo của góc nội tiếp chắn cùng một cung.
- Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông.
- Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, thì chúng sẽ có số đo bằng nhau.
Đường tròn là một hình học cơ bản và là tiền đề trong việc giải quyết những bài toán hình học phức tạp. Dưới đây là các ứng dụng phổ biến của đường tròn.
Một trong những ứng dụng đầu tiên và cơ bản nhất của đường tròn là việc xác định tâm và bán kính của nó. Nếu bạn biết được hai điểm trên đường tròn và khoảng cách giữa chúng, bạn có thể dễ dàng xác định được tâm của đường tròn. Mọi điểm trên đường tròn đều cách đều một điểm, và đó chính là tâm. Bán kính thì lại là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn.
Một ứng dụng quan trọng khác của đường tròn là trong việc tính toán độ dài các đoạn thẳng liên quan đến nó. Đoạn đường kính, dây cung hay các đoạn vuông góc với đường kính đều có thể được tính toán bằng những phương pháp đơn giản dựa trên các tính chất của đường tròn.
Các bài toán liên quan đến góc, độ dài đoạn thẳng, tiếp tuyến, hay tính đối xứng đều có sự góp mặt của đường tròn. Giải các bài toán này không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức về hình học mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic. Những bài toán này thường yêu cầu bạn phải kết hợp nhiều công thức và tính chất của đường tròn.
Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD với AD=12cm và CD=16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó.
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật.
Ta biết rằng trong một hình chữ nhật, hai đường chéo luôn cắt nhau tại trung điểm và chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có:
OA=OB=OC=OD.
Vì vậy, bốn điểm A,B,C,D đều nằm trên cùng một đường tròn có tâm tại O và bán kính là OA.
Tiếp theo, ta tính chiều dài của đường chéo AC bằng định lý Pythagoras:
Do đó, chiều dài của đường chéo AC là:
Vì O là trung điểm của đường chéo AC, bán kính của đường tròn bằng một nửa chiều dài của đường chéo AC:
Vậy, bán kính của đường tròn là 10cm.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn tại điểm D.
a) Chứng minh rằng AD là đường kính của đường tròn (O).
b) Tính số đo góc ACD.
c) Cho BC=24cm, AC=20cm. Tính chiều cao AH và bán kính của đường tròn (O).
Giải
a) Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường trung trực của cạnh BC. Đồng thời, AD cũng là đường trung trực của BC. Vì tâm của đường tròn O nằm trên đường trung trực của BC, điều này có nghĩa là O cũng nằm trên đường AD. Do đó, AD là đường kính của đường tròn (O).
b) Trong tam giác ACD, vì đường kính AD là một đường kính của đường tròn (O), và tam giác ACD là tam giác nội tiếp đường tròn với đường kính AD, theo tính chất của tam giác nội tiếp, ta có:
c) Đầu tiên, ta chia BC thành hai đoạn bằng nhau vì AH là đường cao, nên:
Trong tam giác vuông AHC, áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
Do đó, chiều cao AH là:
Vì AD là đường kính của đường tròn, ta có:
Thay giá trị AC=20cm và AH=16cm:
Suy ra:
Cuối cùng, bán kính của đường tròn (O) bằng một nửa chiều dài của đường kính AD:
Vậy, chiều cao AH là 16cm và bán kính của đường tròn (O) là 12,5cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC với các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường thẳng.
b) HK<BC.
Giải
a) Gọi I là trung điểm của đoạn BC.
Áp dụng định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông: "Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa chiều dài của cạnh huyền."
Xét tam giác vuông CBH, với HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Theo định lý, ta có:
Xét tam giác vuông CBK, với KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Tương tự, ta có:
Từ (1) và (2), ta suy ra HI=KI, và vì I là trung điểm của BC, nên IB=IC. Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn có tâm là I và bán kính là IB.
b) Trong đường tròn có tâm I, HK là một dây cung, còn BC là đường kính của đường tròn. Theo tính chất của dây cung và đường kính trong một đường tròn, ta có:
Với những kiến thức cơ bản về đường tròn nêu trên, chúng ta đã có thể hiểu rõ hơn về những tính chất hình học mà nó sở hữu. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn tiếp thu được các kiến thức và sẵn sàng đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai về đường tròn này nhé.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Khóa học liên quan
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 10
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM
Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.
Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM
Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.
Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM
Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.
Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM
Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.
Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM
Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.
Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM
Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.