Tổng quát các kiến thức cơ bản về đường tròn

Khái niệm đường tròn

Đường tròn là tập hợp các điểm trong mặt phẳng, mà tất cả đều cách đều một điểm cố định. Điểm cố định đó được gọi là tâm của đường tròn. Tất cả các điểm trên đường tròn đều có khoảng cách không đổi so với tâm, và khoảng cách ấy được gọi là bán kính của đường tròn.

Tâm và bán kính của đường tròn

Tâm đường tròn là điểm trung tâm mà từ đó mọi điểm trên đường tròn đều có khoảng cách bằng nhau. Khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn được gọi là bán kính (ký hiệu là R). 

Ký hiệu: Đường tròn có tâm O và bán kính R sẽ được ký hiệu là (O, R). Bất kỳ điểm P nào nằm trên đường tròn đều đáp ứng điều kiện OP = R, trong đó O là tâm và R là bán kính.

Đường kính của đường tròn

Khi bạn đi từ một điểm trên đường tròn, qua tâm, đến điểm đối diện, đó là đường kính (ký hiệu là d). Đường kính của đường tròn là đoạn dây dài nhất, có độ dài gấp đôi bán kính và được ký hiệu là d = 2R.

Đường kính không chỉ là khoảng cách dài nhất trong đường tròn, mà còn giúp xác định kích thước của đường tròn một cách nhanh chóng.

Chú ý:

- Không thể vẽ một đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

- Nếu hai đường tròn có ba điểm chung, thì hai đường tròn đó phải hoàn toàn trùng khớp.

- Để xác định một đường tròn, cần xác định tâm và bán kính của nó hoặc chỉ ra ba điểm phân biệt nằm trên đường tròn.

- Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tất cả các điểm đó đều cách đều một điểm nhất định.

Tính chất đối xứng của đường tròn

Tâm O của đường tròn đóng vai trò là điểm đối xứng trung tâm, tạo nên tính đối xứng. Ngoài ra tất cả các đường kính của đường tròn đều đóng vai trò là các trục đối xứng.

Khi một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm, nó được gọi là dây cung. Đặc biệt, đường kính là dây cung duy nhất đi qua tâm của đường tròn.

Các tính chất của đường tròn

Đường tròn mang rất nhiều tính chất đặc trưng giúp cho chúng ta hiểu thêm và vận dụng trong các bài tập nâng cao. Dưới đây là các tính chất cơ bản của đường tròn:

Góc và tiếp tuyến

- Góc được tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung tại điểm tiếp xúc có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

- Góc ở tâm là góc có đỉnh tại tâm của đường tròn và chắn một cung. Số đo của góc ở tâm bằng đúng số đo của cung mà nó chắn.

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và chắn một cung. Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

Đường kính và dây cung

- Trong đường tròn, đường kính luôn là dây cung dài nhất.

- Đường kính đi qua trung điểm của bất kỳ dây cung nào khác nó và không đi qua tâm sẽ vuông góc với dây cung đó.

- Dây cung không phải là đường kính sẽ không cắt qua tâm của đường tròn.

Góc ở tâm và góc nội tiếp

- Góc ở tâm có số đo gấp đôi số đo của góc nội tiếp chắn cùng một cung.

- Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông.

- Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, thì chúng sẽ có số đo bằng nhau.

Ứng dụng của đường tròn

Đường tròn là một hình học cơ bản và là tiền đề trong việc giải quyết những bài toán hình học phức tạp. Dưới đây là các ứng dụng phổ biến của đường tròn.

Xác định tâm và bán kính của đường tròn

Một trong những ứng dụng đầu tiên và cơ bản nhất của đường tròn là việc xác định tâm và bán kính của nó. Nếu bạn biết được hai điểm trên đường tròn và khoảng cách giữa chúng, bạn có thể dễ dàng xác định được tâm của đường tròn. Mọi điểm trên đường tròn đều cách đều một điểm, và đó chính là tâm. Bán kính thì lại là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn. 

Tính độ dài các đoạn thẳng liên quan đến đường tròn

Một ứng dụng quan trọng khác của đường tròn là trong việc tính toán độ dài các đoạn thẳng liên quan đến nó. Đoạn đường kính, dây cung hay các đoạn vuông góc với đường kính đều có thể được tính toán bằng những phương pháp đơn giản dựa trên các tính chất của đường tròn. 

Giải các bài toán hình học liên quan đến đường tròn

Các bài toán liên quan đến góc, độ dài đoạn thẳng, tiếp tuyến, hay tính đối xứng đều có sự góp mặt của đường tròn. Giải các bài toán này không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức về hình học mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic. Những bài toán này thường yêu cầu bạn phải kết hợp nhiều công thức và tính chất của đường tròn.

Bài tập đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD với AD=12cm và CD=16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó.

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật.

Ta biết rằng trong một hình chữ nhật, hai đường chéo luôn cắt nhau tại trung điểm và chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có:

OA=OB=OC=OD.

Vì vậy, bốn điểm A,B,C,D đều nằm trên cùng một đường tròn có tâm tại O và bán kính là OA.

Tiếp theo, ta tính chiều dài của đường chéo AC bằng định lý Pythagoras:

$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400.$

Do đó, chiều dài của đường chéo AC là:

$AC = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm}.$

Vì O là trung điểm của đường chéo AC, bán kính của đường tròn bằng một nửa chiều dài của đường chéo AC:

$\text{Bán kính} = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{cm}.$

Vậy, bán kính của đường tròn là 10cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn tại điểm D.

a) Chứng minh rằng AD là đường kính của đường tròn (O).

b) Tính số đo góc ACD.

c) Cho BC=24cm, AC=20cm. Tính chiều cao AH và bán kính của đường tròn (O).

Giải

a) Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường trung trực của cạnh BC. Đồng thời, AD cũng là đường trung trực của BC. Vì tâm của đường tròn O nằm trên đường trung trực của BC, điều này có nghĩa là O cũng nằm trên đường AD. Do đó, AD là đường kính của đường tròn (O).

b) Trong tam giác ACD, vì đường kính AD là một đường kính của đường tròn (O), và tam giác ACD là tam giác nội tiếp đường tròn với đường kính AD, theo tính chất của tam giác nội tiếp, ta có:

$\widehat{ACD}=90^{\circ }\mathrm{.}$

c) Đầu tiên, ta chia BC thành hai đoạn bằng nhau vì AH là đường cao, nên:

$BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{cm}.$

Trong tam giác vuông AHC, áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

$AH^2 = AC^2 - HC^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256.$

Do đó, chiều cao AH là:

$AH = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm}.$

Vì AD là đường kính của đường tròn, ta có:

$AC^2 = AD \cdot AH.$

Thay giá trị AC=20cm và AH=16cm:

$400 = AD \cdot 16,$

Suy ra:

$AD = \frac{400}{16} = 25 \, \text{cm}.$

Cuối cùng, bán kính của đường tròn (O) bằng một nửa chiều dài của đường kính AD:

$Bán kính=\frac{AD}{2}=\frac{25}{2}=12,5\text{cm}\mathrm{.}$

Vậy, chiều cao AH là 16cm và bán kính của đường tròn (O) là 12,5cm.

Bài tập nâng cao 

Bài 3: Cho tam giác ABC với các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường thẳng.

b) HK<BC.

Giải

a) Gọi I là trung điểm của đoạn BC.

Áp dụng định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông: "Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa chiều dài của cạnh huyền."

Xét tam giác vuông CBH, với HI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Theo định lý, ta có:

$HI = \frac{1}{2} BC \quad (1).$

Xét tam giác vuông CBK, với KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Tương tự, ta có:

$KI = \frac{1}{2} BC \quad (2).$

Từ (1) và (2), ta suy ra HI=KI, và vì I là trung điểm của BC, nên IB=IC. Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn có tâm là I và bán kính là IB.

b) Trong đường tròn có tâm I, HK là một dây cung, còn BC là đường kính của đường tròn. Theo tính chất của dây cung và đường kính trong một đường tròn, ta có:

$HK < BC.$

Kết luận

Với những kiến thức cơ bản về đường tròn nêu trên, chúng ta đã có thể hiểu rõ hơn về những tính chất hình học mà nó sở hữu. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn tiếp thu được các kiến thức và sẵn sàng đối mặt với các bài toán nâng cao hơn trong tương lai về đường tròn này nhé.