Khám phá vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn sẽ được chia làm 3 dạng căn bản để bạn dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa chúng. Để xác định vị trí tương đối rõ hơn, dưới đây là khái quát về khái niệm cơ bản này.

Đường thẳng cắt đường tròn

Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn có hai điểm chung, ta nói rằng đường thẳng và đường tròn đó giao nhau.

Trong trường hợp này, mỗi điểm chung được gọi là một điểm giao.

Lưu ý: Đường thẳng a sẽ giao với đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính R, và ngược lại.

Khi đó, đường thẳng a được gọi là cát tuyến của đường tròn (O).

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn có duy nhất một điểm chung, ta nói rằng chúng tiếp xúc với nhau tại điểm đó.

Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta gọi đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, và điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a sẽ tiếp xúc với đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng bán kính R, và ngược lại.

Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, thì nó sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn đi qua tiếp điểm.

Đường thẳng không giao với đường tròn

Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn không có điểm chung nào, ta nói rằng chúng không giao nhau.

Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn (O;R) sẽ không giao nhau nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng aaa lớn hơn bán kính R, và ngược lại.

Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O;R) có thể được xác định dựa trên mối quan hệ giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R, như được trình bày trong bảng sau:

Trong đó:

- d: khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

- R: bán kính của đường tròn.

Bài tập vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O;3cm). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), lấy điểm B sao cho AB=4cm. Tính độ dài đoạn OB.

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;3cm), nên AB vuông góc với OA, do đó góc $\widehat{BOA}=90^{\circ }$.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOB:

$OB^2 = OA^2 + AB^2$

Thay số:

$OB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Suy ra: OB=5cm.

Bài 2: Cho đường tròn (O;15cm) với dây AB=24cm. Một tiếp tuyến của đường tròn song song với AB cắt OA và OB lần lượt tại E và F. Tính độ dài EF.

Dễ thấy tam giác OAB đồng dạng với tam giác OEF, nên tam giác OEF cân tại O.

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến và M là trung điểm của AB.

Vì OM vuông góc với AB, ta có OI vuông góc với EF.

Trong tam giác vuông OMB:

OM=9cm

Do MB//IF, theo định lý Thales, ta có:

$\frac{OM}{OI} = \frac{AB}{EF}$

Suy ra:

EF=40cm

Bài tập nâng cao

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (với AB<AC), đường cao AH. E là điểm đối xứng của B qua H. Vẽ một đường tròn có đường kính EC cắt AC tại K. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng HK với đường tròn có đường kính EC.

Gọi I là tâm của đường tròn có đường kính EC, tức là I là trung điểm của EC.

Vì EC là đường kính của đường tròn này và K thuộc đường tròn, ta có EK vuông góc với KC.

Do K thuộc AC, suy ra AC vuông góc với EK.

Mặt khác, vì tam giác ABC vuông tại A, ta có AB vuông góc với AC, do đó AB//KE.

Suy ra tứ giác ABEK là hình thang (theo dấu hiệu nhận biết hình thang).

Gọi M là trung điểm của AK. Vì E đối xứng với B qua H, suy ra H là trung điểm của BE. Do đó, HM là đường trung bình của hình thang ABEK, và HM//EK. Vì EK vuông góc với AC, ta có HM vuông góc với AC, do đó HM vuông góc với AK.

HM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác AHK, nên tam giác AHK là tam giác cân tại H, suy ra $\widehat{HAK}=\widehat{AKH}$(1).

Vì AK vuông góc với EK và AH vuông góc với BE, ta có $\widehat{HAK}=\widehat{KEI}=\widehat{EKI}$ (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra: $\widehat{AKH}=\widehat{EKI}$. Do đó, $\widehat{HKI}=\widehat{HKE}+\widehat{EKI}=\widehat{AKH}+\widehat{HKI}=\widehat{AKE}=90^{\circ }$

Suy ra, HK vuông góc với IK, do đó HK và đường tròn có đường kính EC tiếp xúc với nhau.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (với AB<AC) và đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng của B qua H. Đường tròn tâm O có đường kính EC, cắt AC tại K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vì tam giác EKC có cạnh EC là đường kính của đường tròn (O), ta có $\widehat{EKC}=90^{\circ }$.

Kẻ HI vuông góc với AC, ta có BA//HI//EK. Suy ra AI=IK, từ đó ta suy ra tam giác AHK là tam giác cân tại H.

Do đó, $\widehat{K_2}=\hat{B}$ (vì đây là hai góc phụ với góc bằng nhau, là $\widehat{BAH}$ và $\widehat{IHK}$).

Mặt khác, ta có $\widehat{K_2}=\widehat{C_3}$​ (do tam giác KOC là tam giác cân tại O).

Vì $\hat{B}+\widehat{C_3}=90^{\circ }$, ta suy ra $\widehat{K_1}+\widehat{K_2}=90^{\circ }$, từ đó $\widehat{HKO}=90^{\circ }$.

Vậy HK vuông góc với OK, suy ra HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Kết luận

Việc hiểu và áp dụng đúng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn hiểu thêm kiến thức và sẵn sàng xử lí với các bài toán khó hơn trong tương lai về vị trí tương đối này nhé.