Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức
Thứ tư, 13/11/2024 08:06 AM
Tác giả: Admin Hoclagioi
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là khái niệm quan trọng trong hình học, đóng vai trò nền tảng trong việc giải quyết các bài toán lớp 9. Trong bài viết này, gia sư online Học là Giỏi sẽ cùng khám phá ba trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn nhé.
Mục lục [Ẩn]
Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn sẽ được chia làm 3 dạng căn bản để bạn dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa chúng. Để xác định vị trí tương đối rõ hơn, dưới đây là khái quát về khái niệm cơ bản này.
Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn có hai điểm chung, ta nói rằng đường thẳng và đường tròn đó giao nhau.
Trong trường hợp này, mỗi điểm chung được gọi là một điểm giao.
Lưu ý: Đường thẳng a sẽ giao với đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính R, và ngược lại.
Khi đó, đường thẳng a được gọi là cát tuyến của đường tròn (O).
Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn có duy nhất một điểm chung, ta nói rằng chúng tiếp xúc với nhau tại điểm đó.
Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta gọi đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, và điểm chung được gọi là tiếp điểm.
Nhận xét: Đường thẳng a sẽ tiếp xúc với đường tròn (O;R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng bán kính R, và ngược lại.
Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, thì nó sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn đi qua tiếp điểm.
Định nghĩa: Khi một đường thẳng và một đường tròn không có điểm chung nào, ta nói rằng chúng không giao nhau.
Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn (O;R) sẽ không giao nhau nếu khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng aaa lớn hơn bán kính R, và ngược lại.
Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O;R) có thể được xác định dựa trên mối quan hệ giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R, như được trình bày trong bảng sau:
Vị trí tương đối | Đường thẳng và đường tròn cắt nhau | Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau | Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
---|---|---|---|
Số điểm chung | 2 | 1 | 0 |
Quan hệ giữa d và R | d<R | d=R | d>R |
Trong đó:
- d: khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
- R: bán kính của đường tròn.
Để nắm rõ kiến thức cơ bản trên thì phải luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập. Dưới đây là các dạng cơ bản và nâng cao mà bạn có thể tham khảo.
Bài 1: Cho điểm A nằm trên đường tròn (O;3cm). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), lấy điểm B sao cho AB=4cm. Tính độ dài đoạn OB.
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;3cm), nên AB vuông góc với OA, do đó góc .
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOB:
Thay số:
Suy ra: OB=5cm.
Bài 2: Cho đường tròn (O;15cm) với dây AB=24cm. Một tiếp tuyến của đường tròn song song với AB cắt OA và OB lần lượt tại E và F. Tính độ dài EF.
Dễ thấy tam giác OAB đồng dạng với tam giác OEF, nên tam giác OEF cân tại O.
Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến và M là trung điểm của AB.
Vì OM vuông góc với AB, ta có OI vuông góc với EF.
Trong tam giác vuông OMB:
OM=9cm
Do MB//IF, theo định lý Thales, ta có:
Suy ra:
EF=40cm
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (với AB<AC), đường cao AH. E là điểm đối xứng của B qua H. Vẽ một đường tròn có đường kính EC cắt AC tại K. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng HK với đường tròn có đường kính EC.
Gọi I là tâm của đường tròn có đường kính EC, tức là I là trung điểm của EC.
Vì EC là đường kính của đường tròn này và K thuộc đường tròn, ta có EK vuông góc với KC.
Do K thuộc AC, suy ra AC vuông góc với EK.
Mặt khác, vì tam giác ABC vuông tại A, ta có AB vuông góc với AC, do đó AB//KE.
Suy ra tứ giác ABEK là hình thang (theo dấu hiệu nhận biết hình thang).
Gọi M là trung điểm của AK. Vì E đối xứng với B qua H, suy ra H là trung điểm của BE. Do đó, HM là đường trung bình của hình thang ABEK, và HM//EK. Vì EK vuông góc với AC, ta có HM vuông góc với AC, do đó HM vuông góc với AK.
HM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác AHK, nên tam giác AHK là tam giác cân tại H, suy ra (1).
Vì AK vuông góc với EK và AH vuông góc với BE, ta có (2).
Từ (1) và (2), ta suy ra: . Do đó,
Suy ra, HK vuông góc với IK, do đó HK và đường tròn có đường kính EC tiếp xúc với nhau.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (với AB<AC) và đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng của B qua H. Đường tròn tâm O có đường kính EC, cắt AC tại K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Vì tam giác EKC có cạnh EC là đường kính của đường tròn (O), ta có .
Kẻ HI vuông góc với AC, ta có BA//HI//EK. Suy ra AI=IK, từ đó ta suy ra tam giác AHK là tam giác cân tại H.
Do đó, (vì đây là hai góc phụ với góc bằng nhau, là và ).
Mặt khác, ta có (do tam giác KOC là tam giác cân tại O).
Vì , ta suy ra , từ đó .
Vậy HK vuông góc với OK, suy ra HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Việc hiểu và áp dụng đúng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng rằng qua những kiến thức này, bạn hiểu thêm kiến thức và sẵn sàng xử lí với các bài toán khó hơn trong tương lai về vị trí tương đối này nhé.
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Khóa học liên quan
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 11
›
Khóa học tốt trên lớp - Toán lớp 11
›
Khóa luyện thi cấp tốc - Toán lớp 11
›
Khóa Tổng ôn hè - Toán lớp 11
›
Đánh giá năng lực miễn phí - Toán lớp 10
›
Đăng ký học thử ngay hôm nay
Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!
Bài viết liên quan
Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM
Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.
Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM
Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.
Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM
Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.
Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM
Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.
Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM
Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.
Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM
Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.