Mẹo giải nhanh các phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Phương trình sinx = m

Phương trình $\sin \mathrm{x}=\mathrm{m}$ có nghiệm ↔ $|\mathrm{m}| \leq 1$.
Khi $|\mathrm{m}| \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha=\mathrm{m}$. Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \sin \mathrm{x}=\mathrm{m} \leftrightarrow \sin \mathrm{x}=\sin \alpha \\
& \\
& \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\alpha+k 2 \pi \\
x=\pi-\alpha+k 2 \pi
\end{array}(\mathrm{k} \in \mathrm{Z}) .\right.
\end{aligned}
$$

Chú ý:

$$
\begin{aligned}
& \sin x=0 \leftrightarrow x=k \pi, k \in Z . \\
& \sin x=1 \leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z . \\
& \sin x=-1 \leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z . \\
& \sin x=\sin \alpha^{\circ} \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\alpha^{\circ}+k 360^{\circ} \\
x=180^{\circ}-\alpha^{\circ}+k 360^{\circ}
\end{array}(k \in Z) .\right.
\end{aligned}
$$

Phương trình cosx = m

Phương trình $\cos \mathrm{x}=\mathrm{m}$ có nghiệm $\leftrightarrow|\mathrm{m}| \leq 1$.
Khi $|\mathrm{m}| \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in[0 ; \pi]$ thoả mãn $\cos \alpha=\mathrm{m}$. Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \cos \mathrm{x}=\mathrm{m} \leftrightarrow \cos \mathrm{x}=\cos \alpha . \\
& \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\alpha+k 2 \pi \\
x=-\alpha+k 2 \pi
\end{array}(\mathrm{k} \in \mathrm{Z}) .\right.
\end{aligned}
$$

Chú ý:

$$
\begin{aligned}
& \cos x=0 \leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z . \\
& \cos x=1 \leftrightarrow x=k 2 \pi, k \in Z . \\
& \cos x=-1 \leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi, k \in Z . \\
& \cos x=\cos \alpha^{\circ} \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\alpha^o+k 360^{\circ} \\
x=-\alpha^o+k 360^{\circ}
\end{array}(k \in Z) .\right.
\end{aligned}
$$

Phương trình tanx = m

Phương trình $\tan \mathrm{x}=\mathrm{m}$ có nghiệm với $\forall \mathrm{m}$.

Với $\forall m \in R$, tồn tại duy nhất $\alpha \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha=m$. Khi đó: $\tan \mathrm{x}=\mathrm{m} \leftrightarrow \tan \mathrm{x}=\tan \alpha \leftrightarrow \mathrm{x}=\alpha+\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$.

Chú ý: $\tan \mathrm{x}=\tan \alpha^{\circ} \leftrightarrow \mathrm{x}=\alpha^{\circ}+\mathrm{k} 180^{\circ}, \mathrm{k} \in Z$.

Phương trình cotx = m

Phương trình cọt $\mathrm{x}=\mathrm{m}$ có nghiệm với $\forall \mathrm{m}$.
Với $\forall \mathrm{m} \in \mathrm{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in(0 ; \pi)$ thoả mãn $\cot \alpha=\mathrm{m}$. Khi đó: $\cot \mathrm{x}=\mathrm{m} \leftrightarrow \cot \mathrm{x}=\cot \alpha \leftrightarrow \mathrm{x}=\alpha+\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in Z$.

Chú ý: $\cot \mathrm{x}=\cot \alpha^{\circ} \leftrightarrow \mathrm{x}=\alpha^{\circ}+\mathrm{k} 180^{\circ} \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$.

Các dạng phương trình lượng giác thường gặp

Dưới đây là tổng hợp các dạng phương trình lượng giác thường gặp cùng ví dụ minh hoạ chi tiết:

Phương trình bậc nhất

$\mathbf{a t}+\mathbf{b}=\mathbf{0}$

Trong đó:

- a, b: hằng số ($a \neq 0$)

- t: hàm số lượng giác

$\mathbf{a} \sin \mathbf{x}+\mathbf{b} \cos \mathbf{x}=\mathbf{c}$

Trong đó:

$a, b, c \in \mathbb{R}$

$a^2 + b^2 \neq 0$ là phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$.

Ta xét:

- $a^2 + b^2 < c^2 \rightarrow$ phương trình vô nghiệm

- $a^2 + b^2 \ge c^2 \rightarrow$ phương trình có nghiệm

- $\sin(x + \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Công thức lương giác đặc biệt:

- $\sin x + \cos x = 0 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

- $\sin x - \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Ví dụ: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$

$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$

$\leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\leftrightarrow \cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\leftrightarrow \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$

$\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k 2 \pi \\ x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{4} + k 2 \pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

$\leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{\pi}{12} + k 2 \pi \\ x = \frac{5 \pi}{12} + k 2 \pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$

Phương trình bậc hai

$a \sin^2 x + b \sin x + c \ (a \neq 0; a, b, c \in \mathbb{R}) \text{, với } |\sin x| \le 1$

$a \cos^2 x + b \cos x + c \ (a \neq 0; a, b, c \in \mathbb{R}) \text{, với } |\cos x| \le 1$

$a \tan^2 x + b \tan x + c \ (a \neq 0; a, b, c \in \mathbb{R}) \text{, với } \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

$a \cot^2 x + b \cot x + c \ (a \neq 0; a, b, c \in \mathbb{R}) \text{, với } \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

Vi dụ: $2 \sin ^2 \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}-1=0$
Đặt $\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}$ với điều kiện $-1 \leq \mathrm{t} \leq 1$, ta có phương trình $2 t^2+\mathrm{t}-1=0$
$\leftrightarrow \mathrm{t}=-1$ hoặc $\mathrm{t}=\frac{1}{2}$
$\leftrightarrow \sin \mathrm{x}=-1$ hoặc $\sin \mathrm{x}=\frac{1}{2}$

Với $\sin \mathrm{x}=-1 \leftrightarrow \mathrm{x}=-\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} 2 \pi(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$.
Với $\sin \mathrm{x}=\frac{1}{2} \leftrightarrow \sin \mathrm{x}=\sin \mathrm{x} \frac{\pi}{6} \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\pi-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi\end{array} \leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi\end{array}\right.\right.$
Vậy phương trình có 3 nghiệm: $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi\end{array}\right.$

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức về đường tròn lượng giác

Hệ thống bài tập phương trình lượng giác lớp 11

Dưới đây, là hệ thống bài tập phương trình lượng giác lớp 11 được Học là Giỏi tổng hợp bao gồm trắc nghiệm và tự luận với cấp độ từ cơ bản đến nâng cao, giúp các con ôn tập và củng cố kiến thức đã học:

A.Phần trắc nghiệm

Câu 1: Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi:
A. $m \in \mathbb{R}$
B. $-1 \leq m \leq 1$
C. $m > 1$ hoặc $m < -1$
D. $m \neq 0$

Câu 2: Nghiệm của phương trình $\cos x = 1$ là:
A. $x = k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \pi + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = \pi/2 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 1/2$ là:
A. $x = \pi/6 + k2\pi$ và $x = 5\pi/6 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \pi/3 + k2\pi$ và $x = 2\pi/3 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = \pi/6 + k\pi$ và $x = 5\pi/6 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = \pm \pi/6 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 4: Công thức nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \alpha$ là:
A. $x = \alpha + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \alpha + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = \pm \alpha + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = \pi - \alpha + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 5: Phương trình $a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c$ (với $a, b \neq 0$) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. $a^2 + b^2 > c^2$
B. $a^2 + b^2 < c^2$
C. $a^2 + b^2 \geq c^2$
D. $a^2 + b^2 \leq c^2$

Câu 6: Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \cdot \sin x - \cos x = 0$ là:
A. $x = \pi/6 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \pi/3 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = \pi/6 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = \pi/3 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x = \sin x$ là:
A. $x = k2\pi$ và $x = \pi/3 + k2\pi/3\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = k2\pi$ và $x = \pi + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = k\pi$ và $x = \pi/3 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = k\pi$ và $x = \pm \pi/3 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 8: Nghiệm của phương trình $\cos 2x + \cos x = 0$ là:
A. $x = \pi/3 + k2\pi/3\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \pi/2 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x = \pi/3 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x = \pi + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình $\frac{\cos x}{\sin x - 1} = 0$ là:
A. $x \neq \pi/2 + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
B. $x \neq \pi/2 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
C. $x \neq k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$
D. $x \neq -\pi/2 + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Câu 10: Số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Đáp án
1. B (Điều kiện để phương trình $\sin x = m$ có nghiệm là $|m| \leq 1$)
2. A (Trường hợp đặc biệt của hàm cosin)
3. A ($\sin x = 1/2 = \sin(\pi/6)$, áp dụng công thức nghiệm của hàm sin)
4. B (Chu kỳ của hàm tang là $\pi$)
5. C (Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin và cos)
6. A (Chia hai vế cho $\cos x \neq 0$, ta được $\sqrt{3} \cdot \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1/\sqrt{3}$)
7. A ($\sin 2x = \sin x \Leftrightarrow 2x = x + k2\pi$ hoặc $2x = \pi - x + k2\pi$)
8. A ($\cos 2x = -\cos x \Leftrightarrow \cos 2x = \cos(\pi - x)$)
9. B (Mẫu số $\sin x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \sin x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \pi/2 + k2\pi$)
10. C (Các nghiệm thỏa mãn là $x = 0$, $x = \pi$, và $x = 2\pi$)
 

B. Phần tự luận

Bài 1: Giải phương trình lượng giác: $2 \sin (\mathrm{x}-\pi / 3)-1=0$

Bài 2: Giải phương trình lượng giác bậc hai: $2 \cos ^2 \mathrm{x}-3 \cos \mathrm{x}+1=0$

Bài 3: Giải phương trình bậc nhất đối với $\sin$ và $\cos : \sqrt{3} \cdot \sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}=\sqrt{2}$

Bài 4: Giải phương trình lượng giác bậc hai: $2 \sin ^2 \mathrm{x}-3 \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}+\cos ^2 \mathrm{x}=0$

Bài 5: Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng tích: $\sin (2 \mathrm{x})+\cos (\mathrm{x})=0$

Bài 6: Giải phương trình sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin (\mathrm{x})+\sin (2 \mathrm{x})$ $+\sin (3 \mathrm{x})=0$

Bài 7: Giải phương trình: $\cos (2 \mathrm{x})+3 \cdot \sin (\mathrm{x})-2=0$

Bài 8: Tìm nghiệm của phương trình: $\sin (2 \mathrm{x}+\pi / 4)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên khoảng $(0 ; \pi)$.

Bài 9: Giải phương trình: $\sin (\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x})+2 . \sin (\mathrm{x}) \cos (\mathrm{x})+1=0$

Bài 10: Tìm m để phương trình $\mathrm{m} \sin (\mathrm{x})-(\mathrm{m}-1) \cos (\mathrm{x})=2 \mathrm{~m}+1$ có nghiệm.

Hy vọng những mẹo giải nhanh phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 trong bài viết sẽ giúp con nhận dạng dạng toán và áp dụng công thức chính xác hơn. Để củng cố kiến thức và rèn luyện thêm các dạng bài quan trọng, ba mẹ có thể tham khảo khóa học Toán lớp 11 tại Học là Giỏi, giúp con học chắc lý thuyết và tự tin hơn khi làm bài.