Tổng hợp các công thức lượng giác thường gặp

Công thức lượng giác cơ bản

$\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$ với mọi $\alpha$

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1$ với $\cos \alpha \neq 0, \sin \alpha \neq 0$

$1+\tan ^2 \alpha=\frac{1}{\cos ^2 \alpha}$ với $\cos \alpha \neq 0$

$1+\cot ^2 \alpha=\frac{1}{\sin ^2 \alpha}$ với $\sin \alpha \neq 0$

- Giá  trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau  $\alpha$ và $-\alpha$

$\begin{aligned} & \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\ & \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\ & \tan (-\alpha)=-\tan \alpha \\ & \cot (-\alpha)=-\cot \alpha\end{aligned}$.

• Hai góc bù nhau $\alpha$ và $\pi-\alpha$

$\begin{aligned}& \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\& \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\& \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \\& \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{aligned}$.

• Hai góc hơn kém nhau $\pi$ ( $\alpha$ và $\alpha+\pi)$

$\begin{aligned}& \sin (\alpha+\pi)=-\sin \alpha \\& \cos (\alpha+\pi)=-\cos \alpha \\& \tan (\alpha+\pi)=\tan \alpha \\& \cot (\alpha+\pi)=\cot \alpha\end{aligned}$

• Hai góc phụ nhau ( $\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$)

$\begin{aligned}& \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha \\& \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha \\& \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha \\& \cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\end{aligned}$

Các phép biến đổi lượng giác

• Công thức cộng

$\begin{aligned} & \sin (a+b)=\sin a \cdot \cos b+\cos a \cdot \sin b \\ & \sin (a-b)=\sin a \cdot \cos b-\cos a \cdot \sin b \\ & \cos (a+b)=\cos a \cdot \cos b-\sin a \cdot \sin b \\ & \cos (a-b)=\cos a \cdot \cos b+\sin a \cdot \sin b \\ & \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b} \\ & \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}\end{aligned}$

(khi các biểu thức đều có nghĩa)

• Công thức nhân đôi

$\begin{aligned}& \sin 2 a=2 \sin a \cos a \\& \cos 2 a=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \\&\tan 2 a=\frac{2 \tan a}{1-\tan ^2 a}\end{aligned}$

• Công thức lượng giác nhân ba

$\begin{aligned}& \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^3 x \\& \cos 3 x=4 \cos ^3 x-3 \cos x \\& \tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^3 x}{1-3 \tan ^2 x}\end{aligned}$.

• Công thức lượng giác nhân bốn

$\begin{aligned}& \sin 4 x=4 \cdot \sin x \cdot \cos ^3 x-4 \cdot \cos x \cdot \sin ^3 x \\& \cos 4 x=8 \cdot \cos ^4 x-8 \cdot \cos ^2 x+1\end{aligned}$

hoặc ta có thể sử dụng $\cos 4 x=8 \cdot \sin ^4 x-8 \cdot \sin ^2 x+1$

• Công thức hạ bậc

$\begin{aligned}& \cos ^2 a=\frac{1+\cos 2 a}{2} \\& \sin ^2 a=\frac{1-\cos 2 a}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \sin ^3 x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} \\ & \cos ^3 x=\frac{3 \cos x+\cos 3 x}{4}\end{aligned}$

• Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{aligned}& \cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\& \sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\& \sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{aligned}$.

• Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{aligned}& \cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\& \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \\& \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \\& \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} & \tan a+\tan b=\frac{\sin (a+b)}{\cos a \cdot \cos b} \\ & \tan a-\tan b=\frac{\sin (a-b)}{\cos a \cdot \cos b} \\ & \sin a+\cos a=\sqrt{2} \sin \left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \cos \left(a-\frac{\pi}{4}\right) \\ & \sin a-\cos a=\sqrt{2} \sin \left(a-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2} \cos \left(a+\frac{\pi}{4}\right) \\ & \tan a+\cot a=\frac{2}{\sin 2 a} \\ & \cot a-\tan a=2 \cot 2 a\end{aligned}$

• Một số công thức lượng giác nâng cao khác

$\begin{aligned} & \sin ^4 a+\cos ^4 a=1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 a=\frac{1}{4} \cos 4 a+\frac{3}{4} \\ & \sin ^6 a+\cos ^6 a=1-\frac{3}{4} \sin ^2 2 a=\frac{3}{8} \cos 4 a+\frac{5}{8}\end{aligned}$

Ở một số bài toán để giải được nó ta cần phải sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nếu ta đặt $t=\frac{\tan x}{2}$. Lúc này ta có thể biểu diễn các công thức lượng giác khác theo t như sau:

$\begin{aligned}& \sin x=\frac{2 t}{1+t^2} \\& \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\& \tan x=\frac{2 t}{1-t^2} \\& \cot x=\frac{1-t^2}{2 t}\end{aligned}$.

Trên đây là toàn bộ công thức lượng giác quan trọng mà các em cần nắm vững. Học là Giỏi mong rằng, với sự kiên nhẫn, kiên trì và không ngừng luyện tập, các em sẽ làm tốt được các bài toán lượng giác nhé. Chúc các em thành công!