Chuyên đề Toán: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ trên D là số M nếu: $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{M}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}$ và tồn tại ít nhất một $\mathrm{x}_0 \in \mathrm{D}$ sao cho: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_0\right)=\mathrm{M}$. Khi đó, M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D, ký hiệu: $\max _{x \in D} f(x)=M$.

- Giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ trên D là số m nếu: $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq \mathrm{m}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}$ và tồn tại ít nhất một $\mathrm{x}_0 \in \mathrm{D}$ sao cho: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_0\right)=\mathrm{m}$. Khi đó, m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D, ký hiệu: $\min _{x \in D} f(x)=m$.

Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Dưới đây Học là Giỏi sẽ hướng dẫn các con cách tìm GTLN, GTNN của hàm số theo hướng hệ thống, dễ áp dụng cho các dạng bài tập thường gặp. 

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khi cho đồ thị - bảng biến thiên

Phương pháp giải:

Xác định tập xác định hoặc khoảng xét của hàm số.

Quan sát đồ thị/bảng biến thiên để xác định các giá trị f(x) mà hàm số đạt được.

- Giá trị lớn nhất (GTLN) là giá trị M sao cho: f(x) ≤ M với mọi x thuộc tập đang xét, đồng thời tồn tại x₀ để f(x₀) = M.

- Giá trị nhỏ nhất (GTNN) là giá trị m sao cho: f(x) ≥ m với mọi x thuộc tập đang xét, đồng thời tồn tại x₀ để f(x₀) = m.

Nếu đề cho bảng biến thiên, đọc các giá trị tại điểm cực trị và hai đầu mút của khoảng xét. Sau đó so sánh để kết luận.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-2;3].

Lời giải

Từ bảng biến thiên:

- Khi x tăng từ -2 đến 1, hàm số tăng và đạt f(1) = 5.

- Khi x tăng từ 1 đến 3, hàm số giảm.

Tại hai đầu mút: f(-2) = 2, f(3) = 3.

So sánh các giá trị: 2, 5, 3.

Do đó:

$\max _{[-2 ; 3]} f(x)=5$ đạt tại $\mathrm{x}=1$.

$\min _{-[-2 ; 3]} f(x)=2$ đạt tại $\mathrm{x}=-2$.

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên miền D

Phương pháp giải:

- Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập xác định D.

- Lập bảng biến thiên cho hàm số trên D dựa vào kết quả khảo sát.

- Dựa vào kết quả của bảng biến thiên để đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số phân thức: $\mathrm{y}=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ trên nửa khoảng (-1; 2].

Lời giải

Xét hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ xác định trên nửa khoảng (-1; 2].

Tính đạo hàm: $\mathrm{y}^{\prime}=\frac{(2 x+1)(x+1)-\left(x^2+x+4\right) \cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2 x-3}{(x+1)^2}$

Giải phương trình $\mathrm{y}^{\prime}=0$ :

$\mathrm{y}^{\prime}=0 \Rightarrow \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \in(-1 ; 2] \\x=-3 \notin(-1 ; 2]\end{array}\right.$

Tính các giới hạn và giá trị tại biên:

$\begin{aligned} & \lim_{x \to -1^{+}} \frac{x^2+x+4}{x+1} = +\infty \\ & y(1) = \frac{1^2+1+4}{1+1} = 3 \\ & y(2) = \frac{2^2+2+4}{2+1} = \frac{10}{3} \end{aligned}$

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất $\lim _{x \in(-1 ; 2]} \mathrm{y}=3$ tại $\mathrm{x}=1$.

Hàm số không có giá trị lớn nhất (do bề mặt đồ thị tiến dần đến $+\infty$ khi x tiến về $-1^{+}$).

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng).

- Tính y' = f'(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.

- Lập bảng biến thiên

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x³ + 3x² - 2 trên khoảng (0; 3).

Lời giải

Ta có: y' = -3x² + 6x 

Giải phương trình đạo hàm: $\mathrm{y}^{\prime}=0 \Leftrightarrow-3 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=2\end{array}\right.$

Vì đang xét hàm số trên khoảng $(0 ; 3)$ nên ta loại giá trị $\mathrm{x}=0$, nhận $\mathrm{x}=2$.
Xét dấu $\mathrm{y}^{\prime}$ : Trên khoảng $(0 ; 2), \mathrm{y}^{\prime}>0$ (hàm đồng biến); trên khoảng (2; 3), $\mathrm{y}^{\prime}<0$ (hàm nghịch biến).

Tại $\mathrm{x}=2$, giá trị của hàm số là $\mathrm{y}=-(2)^3+3(2)^2-2=2$.

Từ sự biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (0; 3) là max $\mathrm{y}=2$ đạt tại $x=2$.

Xem thêm: Cách xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12 chi tiết, dễ hiểu

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Phương pháp giải:

- Tìm các điểm $\mathrm{x}_{\mathrm{i}} \in(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\mathrm{i}=1,2,3, \ldots, \mathrm{n})$ mà tại đó $\mathrm{f}^{\prime}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=0$

- Tính $\mathrm{f}(\mathrm{a}), \mathrm{f}(\mathrm{b}), \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)(\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n})$

- Khi đó ta có:

$\begin{aligned} \max_{[a ; b]} f(x) &= \max \{f(a); f(b); f(x_i)\} \\ \min_{[a ; b]} f(x) &= \min \{f(a); f(b); f(x_i)\} \end{aligned}$

Ví dụ: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+2$ trên đoạn [-1, 3]

Lời giải

$\begin{aligned} & f'(x) = 3x^2 - 6x \\ & f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in [-1; 3] \\ x = 2 \in [-1; 3] \end{array} \right. \end{aligned}$

Ta có: $f(-1)=-2 ; f(0)=2 ; f(2)=-2 ; f(3)=2$
Vậy: $\max _{[-1 ; 3]} f(x)=2$ đạt tại $\mathrm{x}=0$ và $\mathrm{x}=3$.

$\min _{[-1 ; 3]} f(x)=-2 \quad \text { đạt tại } \mathrm{x}=-1 \text { và } \mathrm{x}=2 .$

Bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Để củng cố bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, các con có thể luyện tập từ những bài cơ bản đến nâng cao sau: 

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc ba y = x³ - 3x² - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số phân thức y = (2x - 1) / (x + 1) trên đoạn [0; 2].

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trùng phương y = -x⁴ + 2x² + 3 trên đoạn [0; 2].

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}-\sqrt{x-1}$ trên đoạn [1; 5].

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}$ trên đoạn $[0 ; \pi]$.

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+4}{x}$ trên khoảng $(0 ;+\infty)$.

Bài 7: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+m}{x-1}$ (m là tham số thực). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] bằng 2.

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{mũ} \mathrm{y}=\left(\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}\right) e^x$ trên đoạn [-1; 2].

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số logarit $\mathrm{y}=\mathrm{x} \ln \mathrm{x}$ trên đoạn $\left[1 ; \mathrm{e}^2\right]$.

Bài 10: Đặt ần phụ để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\sin ^2 \mathrm{x}-4$ $\sin \mathrm{x}+5$.

Bài 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\left|\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}+\mathrm{m}\right|$ trên đoạn [0;2] bằng 3. Tìm tồng các phần tử của tập S.

Bài 12: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\left|\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+\mathrm{m}\right|$ trên đoạn [1; 4] đạt giá trị lớn nhất.

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{x^2-2 x+5}+$ $\sqrt{x^2-10 x+29}$

Bài 14: Một xưởng sản xuất muốn gò một thùng tôn hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $\mathrm{V}=500 \mathrm{dm}^3$. Biết đáy thùng là hình vuông, hãy xác định độ dài cạnh đáy và chiều cao của thùng để lượng tôn dùng làm thùng là ít nhất (bỏ qua diện tích các mép dán, mép hàn).

Bài 15: Sử dụng phương pháp miền giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sin x+2 \cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$.

Hy vọng cách phân chia chuyên đề theo từng dạng bài đã giúp các con không còn lúng túng khi gặp bài giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong quá trình học và ôn tập. Để được củng cố kiến thức từ nền tảng đến vận dụng, ba mẹ có thể tham khảo khóa học Toán tại Học là Giỏi, nơi con được học theo chuyên đề và luyện tập thường xuyên.