Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số khi biết một điểm và vectơ chỉ phương

Xác định điểm $\mathrm{Mo}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{o}} ; \mathrm{y}_{\mathrm{o}}\right)$; đọc vectơ chỉ phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$ và kiểm tra $\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2 \neq 0$; sau đó thay đúng vị trí vào $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a t \\ y=y_0+b t\end{array}\right.$.

Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ;-5)$ và nhận $\vec{v}=(-2 ; 7)$ làm vectơ chỉ phương.

Lời giải
Đường thẳng d đi qua $\mathrm{A}(1 ;-5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(-2 ; 7)$ nên có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{c}x=1-2 t \\ y=-5+7 t\end{array}(\mathrm{t} \in \mathbb{R})\right.$.

Phương trình tham số khi đi qua 2 điểm

Cho hai điểm phân biệt $\mathrm{A}\left(x_A ; y_A\right)$ và $\mathrm{B}\left(x_B ; y_B\right)$. Khi đó, vectơ nối hai điểm là một vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A\right)$.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm C(2; -1) và D(-3; 5).

Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ đi qua C và D nên nhận vectơ $\overrightarrow{C D}$ làm vectơ chỉ phương:

$\vec{u}=\overrightarrow{C D}=(-3-2 ; 5-(-1))=(-5 ; 6)$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm C(2; -1) và có vectơ chỉ phương $\mathrm{u}=(-5 ; 6)$ nên phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{c}x=2-5 t \\ y=-1+6 t\end{array}\right.$

Phương trình khi một đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường cho trước

Xác định một vectơ chỉ phương cùa $\Delta$. Nếu $\Delta$ có dạng tổng quát $\mathrm{Ax}+\mathrm{By}+\mathrm{C}=0$, có thể chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(-\mathrm{B} ; \mathrm{A})$; nếu $\Delta$ ở dạng tham số, lấy các hệ số của t làm tọa độ vectơ chỉ phương.

- Vì d song song với $\Delta$, chọn $\vec{u}_d$ cùng phương với vectơ chỉ phương của $\Delta$. Thay tọa độ điểm đã cho và $\overrightarrow{u_d}$ vào $\mathrm{x}=\mathrm{x}_0+\mathrm{at}, \mathrm{y}=\mathrm{y}_0+\mathrm{bt}$.

- Nếu d vuông góc với $\Delta$, vectơ pháp tuyến của $\Delta$ có thể dùng làm vectơ chỉ phương của d, sao cho tích vô hướng $\overrightarrow{u_d} \cdot \overrightarrow{u_{\Delta}}=0$.

Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d , khi:

- a) Đi qua điểm $Q(-3; 4)$ và song song với đường thẳng $\Delta: 4x + 5y - 7 = 0$.

- b) Đi qua điểm $P(3; -2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: 2x - 5y + 1 = 0$.

Lời giải

a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $4x + 5y - 7 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{\Delta} = (4; 5)$. Suy ra, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_{\Delta} = (5; -4)$.

Phương trình đường thẳng d đi qua $\mathrm{Q}(-3 ; 4):\left\{\begin{array}{c}x=-3+5 t \\ y=4-4 t\end{array} \quad(\mathrm{t} \in \mathbb{R})\right.$.

b) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+1=0$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{\Delta}=(2$; -5).

Vì đường thẳng $\mathrm{d} \perp \Delta$, ta chọn vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u_d}=(2 ;-5)$.

Dùng điểm P(3; -2) và vectơ chỉ phương $\vec{u}_d$, ta viết được phương trình tham số của d:

$\left\{\begin{array}{c}x=3+2 t \\y=-2-5 t\end{array}(\mathrm{t} \in \mathbb{R}) .\right.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc khi biết một điểm và vectơ chỉ phương

Đường thẳng d đi qua $\mathrm{M}_0\left(\mathrm{x}_0 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)$ và vectơ chì phương $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b} ; \mathrm{c})$
Phương trình tham số $\mathrm{d}(\mathrm{t} \in \mathrm{R})$

$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$

Phương trình chính tắc của d: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}($ a.b.c $\neq 0)$

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(1; -2; 3) và có vectơ chi phương $\vec{u}=(2 ;-1 ; 4)$.

Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(1; -2; 3) nên ta có $\mathrm{x}_0=1, \mathrm{y}_0=-2, \mathrm{z}_0=3$.
Đề bài cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-1 ; 4)$ nên $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=-1, \mathrm{c}=4$.
Kiểm tra điều kiện: a. b. $\mathrm{c}=2 .(-1) .4=-8 \neq 0$ (thỏa mãn điều kiện có phương trình chính tắc).

Thay các giá trị vào công thức $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$, ta có:

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-(-2)}{-1}=\frac{z-3}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{4}$

Phương trình chính tắc khi đường thẳng đi qua 2 điểm

Chọn một trong hai điểm (ví dụ: $\mathrm{A}\left(x_A ; y_A ; z_A\right)$ ) làm điểm đi qua.

Tính tọa độ vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{A B}=\left(x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A\right)$.

Điều kiện $x_B \neq x_A ; y_B \neq y_A ; x_B \neq z_A$

Phương trình chính tắc: $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm $\mathrm{A}(2 ;-3 ; 1)$ và $\mathrm{B}(5 ; 1 ;-4)$.

Lời giải
Vectơ chì phương $\vec{u}=\overrightarrow{A B}=(5-2 ; 1-(-3) ;-4-1)=(3 ; 4 ;-5)$
Ta thấy $2 \neq 5,-3 \neq 1,1 \neq-4$, do đó, đường thẳng có phương trình chính tắc.

Thay tọa độ điểm A và vectơ AB vào công thức $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$, ta được:

$\frac{x-2}{3} = \frac{y-(-3)}{4} = \frac{z-1}{-5}$

$\Leftrightarrow \frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-1}{-5}$

Phương trình đi qua 1 điểm và song song với đường cho trước

Từ phương trình đường thẳng d cho trước, ta có tọa độ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=($ $\left.a_d ; b_d ; c_d\right)$.

Do đường thẳng cần tìm $\Delta \| \mathrm{d}$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ cùng phương với $\vec{u}_d$.

Do đó ta chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{u_d}=\left(a_d ; b_{d^{\prime}} ; c_d\right)$.

Thay tọa độ điểm $M_0$ đã cho và vectơ $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ vào công thức chính tắc.

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{M}_0(1 ;-2 ; 3)$ và song song với đường thẳng d có phương trình: $\frac{x-2}{4}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-4}{2}$

Lời giải

Từ phương trình đường thẳng d , ta có: $\vec{u}_d=(4 ;-5 ; 2)$.

Do đường thẳng cần tìm $\Delta \| \mathrm{d}$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ cùng phương với $\vec{u}_d$. Do đó ta chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{u_d}=(4 ;-5 ; 2)$.

Thay tọa độ điểm $\mathrm{M}_{\mathrm{o}}(1 ;-2 ; 3)$ đã cho và vectơ $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(4 ;-5 ; 2)$ vào công thức chính tắc. Ta thu được phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x-1}{4}=\frac{y+2)}{-5}=\frac{z-3}{2}$

Phương trình đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước

Xác định vectơ pháp tuyến $\vec{u}_P=(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{C})$ từ phương trình mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{Ax}+\mathrm{By}+$ $\mathrm{Cz}+\mathrm{D}=0$
Do đường thẳng $\Delta \perp(\mathrm{P})$, giá của vectơ $\vec{n}_p$ song song hoặc trùng với $\Delta$. Suy ra $\vec{n}_p$ chính là một vectơ chỉ phương của $\Delta \Rightarrow \vec{u}_{\Delta}=\vec{n}_p=(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{C})$
Thay tọa độ điểm $\mathrm{M}_0$ đã cho và $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ vào phương trình chính tắc (với điều kiện A. B. C $\neq 0$ ).

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{M}_0(1 ; 2 ;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-5=0$.

Lời giải
Từ mặt phẳng $(\mathrm{P}): 2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-5=0$ xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n}_p=(2 ;-3 ; 4)$.

Do đường thẳng $\Delta \perp(\mathrm{P})$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Suy ra $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{n_P}=(2 ;-3 ; 4)$.

Phương trình thỏa mãn điều kiện A. B. $\mathrm{C}=2 .(-3) .4=-24 \neq 0$

Thay tọa độ điểm $\mathrm{M}_0$ và $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ vào phương trình chính tắc, ta có phương trình của đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-(-1)}{4}$

$\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{4}$

Phương trình chính tắc từ phương trình tham số cho trước

Cho phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}x=x+a t \\ y=y+b t \\ z=z+c t\end{array}\right.$ $\mathrm{t}=\frac{x-x_0}{a} ; \mathrm{t}=\frac{y-y_0}{b} ; \mathrm{t}=\frac{z-z_0}{c}$

Đồng nhất các vế chứa t, ta thu được phương trình chính tắc: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{c}x=2+3 t \\ y=-1+4 t \\ z=5-2 t\end{array}\right.$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Lời giải

Từ phương trình tham số của đường thẳng d , ta có thể biểu diễn t theo từng tọa độ x , y, z:

$\mathrm{t}=\frac{x-2}{3} ; \mathrm{t}=\frac{y-(-1)}{4} ; \mathrm{t}=\frac{z-5}{-2}$

Xem thêm: Các dạng phương trình đường thẳng trọng tâm

Bài tập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Dưới đây là hệ thống bài tập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng được tổng hợp theo các dạng thường gặp, phù hợp để con tự ôn luyện và kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức ngay tại nhà. 

A. Bài tập viết phương trình tham số đường thẳng

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương u = (4; 1).

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-1; 5) và có vectơ pháp tuyến n = (3; -2).

Bài 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(3; 2) và B(-4; 1).

Bài 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; -4) và song song với đường thẳng d' có phương trình tổng quát: 2x - 5y + 3 = 0.

Bài 5 (Đường thẳng vuông góc): Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với đường thẳng d' có phương trình tham số: x = 1 - 3t và y = 2 + 4t.

Bài 6: Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; -1) và C(5; 5). Hãy viết phương trình tham số của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 7: Cho tam giác MNP có M(-2; 1), N(2; 3) và P(4; -5). Hãy viết phương trình tham số của đường cao MH của tam giác MNP.

Bài 8 (Đường trung trực): Viết phương trình tham số của đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết tọa độ hai điểm là A(2; 4) và B(-4; 6).

Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x + 4y - 12 = 0. Hãy chuyển đổi và viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Bài 10: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(3; -2) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: x + y - 4 = 0, d2: 2x - y - 5 = 0.

B. Bài tập phương trình chính tắc của đường thẳng

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương u = (4; -1).

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 5) và có hệ số góc k = -2.

Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: x = 2 - 3t và y = 1 + 5t. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Bài 4: Cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát: 2x - 3y + 6 = 0. Viết phương trình chính tắc của Δ.

Bài 5: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm P(1; 4) và Q(3; -2).

Bài 6: Cho đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A(4; 0) và B(0; -3). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Bài 7: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d1 đi qua điểm N(-1; 2) và song song với đường thẳng d2: (x - 3)/2 = (y + 1)/5.

Bài 8: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm E(4; 5) và vuông góc với đường thẳng d: (x + 2)/3 = (y - 1)/-4.

Bài 9: Cho tam giác ABC có A(0; 5), B(3; -1), C(-1; 3). Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 1) và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4.

Hy vọng qua bài viết, con sẽ nhận ra mối liên hệ giữa điểm, vectơ chỉ phương và hai dạng phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng. Từ nền tảng này, con có thể tiếp tục mở rộng sang những nội dung khác của hình học tọa độ lớp 10. Ba mẹ có thể tìm hiểu thêm khóa học Toán lớp 10 tại Học là Giỏi để đồng hành cùng con trong quá trình học tập.