Cẩm nang kiến thức Bí quyết học tập Bí quyết bứt phá Tin giáo dục

Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tổng hợp kiến thức cực trị của hàm số lớp 12 chi tiết

Thứ tư, 30/9/2026 03:23 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Khi học đạo hàm lớp 12, con sẽ gặp cực trị của hàm số ở nhiều dạng bài khác nhau, từ xác định cực đại, cực tiểu đến tìm tham số để hàm số có số điểm cực trị cho trước. Theo SGK Kết nối tri thức với cuộc sống, để làm tốt phần này, con cần nắm chắc mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số. Bài viết dưới đây, Học là Giỏi sẽ giúp con ôn lại toàn bộ kiến thức trọng tâm và cách nhận biết những dạng toán thường gặp.

Mục lục [Ẩn]

Cực trị là gì?

$x_0$ là điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ thỏa mãn điều kiện:
$f(x) < f(x_0), \quad \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$.

$x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ thỏa mãn điều kiện:
$f(x) > f(x_0), \quad \forall x \in (a; b) \setminus \{x_0\}$ Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$.

Các định lý về cực trị

Các định lý về cực trị là cơ sở quan trọng giúp con nhận biết và giải quyết nhiều dạng bài tập. Có 3 định lý cơ bản con cần ghi nhớ như sau:

Định lý 1

Hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x₀ thì đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ f'(x₀) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm $f'(x)$ có thể bằng $0$ tại điểm $x_0$ nhưng hàm số $f(x)$ chưa chắc đã đạt cực trị tại điểm $x_0$. Ví dụ: Hàm số $y = x^3$ có $y'(0) = 0$ nhưng không đạt cực trị tại $x = 0$.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Ví dụ: Hàm số $y = |x|$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại đó.

Định lý 2

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm chuyển sang dương khi x đi qua điểm x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

Ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ dương chuyển sang âm khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều giảm) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Định lý 3

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) có chứa điểm x₀, f'(x₀) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x₀. Nếu:

- f''(x₀) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀

- f''(x₀) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.

- f''(x₀) = 0 lập bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.

Số điểm cực trị của hàm số

Tùy thuộc vào từng dạng hàm số, số lượng điểm cực trị có thể khác nhau. Một hàm số có thể không có điểm cực trị, có một điểm cực trị hoặc có nhiều điểm cực trị.

Khi xác định số điểm cực trị của hàm số, cần phân biệt rõ điểm cực trị và giá trị cực trị:

- Nếu hàm số f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀, thì x₀ được gọi là điểm cực trị của hàm số. Giá trị f(x₀) tương ứng được gọi là giá trị cực trị. Một hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm khác nhau.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x₀.

- Nếu một điểm cực trị của f là x₀ thì điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Điều kiện để hàm số có điểm cực trị

Điều kiện cần: Hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Nếu điểm x₀ là điểm đạo hàm của f thì f'(x₀) = 0.

Lưu ý:

- Điểm x₀ có thể đạo hàm f'(x₀) = 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại x₀.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm.

- Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.

- Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (x₀; f(x₀)) và hàm số đạt cực trị tại x₀ thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Điều kiện đủ: Hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x₀) và (x₀;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x₀ thì khi đó:

- Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực đại tại x₀.

- Khi x đi qua điểm x₀ và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Điều kiện với hàm số bậc 3

Xét hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

⇒ Δy' = b² - 3ac

Hàm số không có cực trị	b² - 3ac ≤ 0
Hàm số có hai cực trị	b² - 3ac > 0
Hàm số có 2 cực trị trái dấu	ac < 0
Hàm số có hai cực trị cùng dấu	$\begin{cases} \Delta_{y'} > 0 \\ P = x_1 x_2 = \frac{C}{A} > 0 \end{cases}$
Hàm số có cực trị cùng dấu dương	$\begin{cases} \Delta_{y'} > 0 \\ P = x_1 x_2 = \dfrac{C}{A} > 0 \\ S = x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A} > 0 \end{cases}$
Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm	$\left\{\begin{aligned} &\Delta_{y'} > 0 \\ &P = x_1 x_2 = \frac{C}{A} > 0 \\ &S = x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} < 0 \end{aligned}\right.$
Hai cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < a < x₂	(x₁ - a)(x₂ - a) < 0 ⇔ x₁x₂ - a(x₁ + x₂) + a² < 0
Hai cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < x₂ < a	x₁ + x₂ < 2a
Hai cực trị x₁, x₂ thỏa mãn a < x₁ < x₂	$\begin{aligned} &\begin{cases} (x_1 - a)(x_2 - a) > 0 \\ x_1 + x_2 > 2a \end{cases} \\ \Leftrightarrow &\begin{cases} x_1 x_2 - a(x_1 + x_2) + a^2 > 0 \\ x_1 + x_2 > 2a \end{cases} \end{aligned}$
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm	$x = -\frac{b}{3a}$
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm	$\mathrm{x} = -\sqrt[3]{\dfrac{d}{a}}$

Điều kiện với hàm số bậc 4 trùng phương

Xét hàm số f(x) = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Hàm số có một cực trị	ab ≥ 0
Hàm số có ba cực trị	ab < 0
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu	$\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ b \geq 0\end{array}\right.$
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại	$\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ b \leq 0\end{array}\right.$
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại	$\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ b<0\end{array}\right.$
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại	$\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ b>0\end{array}\right.$

Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số

Để tìm cực trị của hàm số f(x), ta có thể vận dụng hai quy tắc cơ bản dưới đây. Mỗi quy tắc phù hợp với từng trường hợp và cách xét khác nhau:

Quy tắc 1

Bước 1: Tìm đạo hàm f'(x).

Bước 2: Tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3).

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm f'(x). Nếu ta thấy f'(x) thay đổi dấu khi x đi qua x₀ khi đó ta xác định hàm số có cực trị tại điểm x₀.

Quy tắc 2

Bước 1: Tìm đạo hàm f'(x).

Bước 2: Xét phương trình f'(x)=0, tìm các nghiệm xᵢ (i = 1, 2, 3).

Bước 3: Tính f''(x) với mỗi xᵢ:

- Nếu f''(xᵢ) < 0 thì khi đó xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.

- Nếu f''(xᵢ) > 0 thì khi đó xᵢ là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu.

Các dạng bài tìm cực trị của hàm số chi tiết

Tùy vào dữ kiện đề bài, cách tìm cực trị có thể thay đổi và đòi hỏi con vận dụng linh hoạt kiến thức đã học. Học là Giỏi sẽ giúp con nhận diện các dạng bài tìm cực trị của hàm số và nắm được hướng giải cụ thể.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Phương pháp giải:

Cực trị của hàm bậc 2	Hàm số bậc hai có dạng: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) với tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có: $y' = 2ax + b$. - $\mathrm{y}^{\prime}$ đổi dấu tại điểm $\mathrm{x}_0=\frac{-b}{2 a}$ - Hàm số đạt cực trị tại điểm $\mathrm{x}_0=\frac{-b}{2 a}$
Cực trị của hàm bậc 3	Hàm số bậc 3 có dạng: $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}(\mathrm{a} \neq 0)$ xác định trên $\mathrm{D}=\mathrm{R}$. Ta có: $\mathrm{y}^{\prime}=3 \mathrm{ax}^2+2 \mathrm{bx}+\mathrm{c} \rightarrow \Delta^{\prime}=\mathrm{b}^2-$ 3 ac . - $\Delta^{\prime} \leq 0$ : $y^{\prime}$ không đổi dấu → hàm số không có cực trị - $\Delta^{\prime}>0$ : $y^{\prime}$ đổi dấu 2 lần → hàm số có cực trị (bao gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu)
Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm bậc 3	Hàm số $y = f(x) = (Ax + B)f'(x) + Cx + D$ đạt cực trị tại 2 điểm $x_1$ và $x_2$: - $f(x_1) = (Ax_1 + B)f'(x_1) + Cx_1 + D \rightarrow f(x_1) = Cx_1 + D$ vì $f'(x_1) = 0$ - $f(x_2) = Cx_2 + D$ do $f'(x_2) = 0$ $\rightarrow$ Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba luôn nằm trên đường thẳng có phương trình $y = Cx + D$.
Cực trị của hàm bậc 4	Hàm số trùng phương có dạng $y = ax^4 + bx^2 + c \ (a \neq 0)$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$. Khi $y' = 0$, ta có: - $x = 0$ - $2ax^2 + b = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\dfrac{b}{2a}$ TH1: $-\dfrac{b}{2a} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{b}{2a} \geq 0 \Leftrightarrow ab \geq 0$. Khi đó $y' = 0$ chỉ có 1 nghiệm đơn $x = 0$, do đó hàm số có đúng 1 điểm cực trị tại $x = 0$. TH2: $-\dfrac{b}{2a} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{b}{2a} < 0 \Leftrightarrow ab < 0$. Khi đó $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt là $x = 0$ và $x = \pm\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}$, do đó hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Cực trị của hàm lượng giác	Đạo hàm y' = f'(x), giải phương trình y'=0. Đạo hàm y'' rồi dựa vào định lý 2 để đưa ra kết luận về cực trị hàm số lượng giác.
Cực trị của hàm Logarit	Đạo hàm y' = f'(x), giải phương trình y'=0 với x = x₀. Đạo hàm y'' rồi dựa vào định lý 3 để đưa ra kết luận về cực trị hàm Logarit.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y = 2x² - 4x + 1.

Lời giải

Hàm số đã cho là hàm bậc 2 có dạng $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ với các hệ số $\mathrm{a}=2$ (thỏa mãn điều kiện $\mathrm{a} \neq 0), \mathrm{b}=-4, \mathrm{c}=1$ và có miền xác định là $\mathrm{D}=\mathrm{R}$.

Áp dụng công thức $\mathrm{y}^{\prime}=2 \mathrm{ax}+\mathrm{b}$, ta tính được đạo hàm của hàm số là $\mathrm{y}^{\prime}=4 \mathrm{x}-4$.

$\mathrm{X}_0=\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-4)}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $\mathrm{x}_0=1$.
Để tìm giá trị cực trị, thay $\mathrm{x}=1$ vào hàm số ban đầu: $\mathrm{y}(1)=2(1)^2-4(1)+1=-1$. Vì hệ số $\mathrm{a}=2>0$, đồ thị là một parabol bề lõm hướng lên trên nện tại $\mathrm{x}_0=1$, hàm số đạt cực tiểu.

Dạng 2: Tìm điểm cực trị với điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y'=f'(x).

Bước 3: Sử dụng một trong hai quy tắc để tìm điểm cực trị, xét điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu mà đề bài ra.

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x + 1. Hãy tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1.

Lời giải

Tập xác định của hàm số: D = ℝ

Ta có: y' = 3x² - 6mx + 3m² - 3 ⇒ y'' = 6x - 6m

Để hàm số đạt cực đại tại điểm $\mathrm{x}=1$, điều kiện cần và đủ là: $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(1)=0 \\ y^{\prime \prime}(1)<0\end{array}\right.$
Thay $\mathrm{x}=1$ vào hệ điều kiện trên, ta được: $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3(1)^2-6 m(1)+3 m^2-3=0 \\ 6(1)-6 m<0\end{array}\right.$

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3m^2 - 6m = 0 \\ 6 - 6m < 0 \end{array}\right. \\ & \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array}\right. \\ m > 1 \end{array}\right. \\ & \Leftrightarrow m = 2 \end{aligned}$

Vậy với $\mathrm{m}=2$ thì hàm số đã cho đạt cực đại tại $\mathrm{x}=1$.

Dạng 3: Tìm điểm cực trị bằng phương pháp biện luận

Phương pháp giải: Bài toán cực trị biện luận được chia làm 2 dạng với cách giải cụ thể như sau:

Hàm số bậc ba

Đề bài cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) y' = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1); Δ'y = b² - 3ac.

Phương trình có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị. Hàm số không có cực trị khi b² - 3ac ≤ 0.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có 2 cực trị. Hàm số có 2 cực trị khi b² - 3ac > 0.

Hàm số bậc bốn trùng phương

Đề bài cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \neq 0$) có đồ thị $(C)$.

Ta có đạo hàm:
$y' = 4ax^3 + 2bx \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x^2 = -\dfrac{b}{2a} \end{array} \right.$

- $y' = 0$ có 1 nghiệm $x = 0$ và $(C)$ có một điểm cực trị khi và chỉ khi $-\dfrac{b}{2a} \le 0 \Leftrightarrow ab \ge 0$.
- $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt và $(C)$ có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $-\dfrac{b}{2a} > 0 \Leftrightarrow ab < 0$.

Ví dụ: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 3x² + mx + 1 có 2 điểm cực trị.

Lời giải

Hàm số đã cho là hàm số bậc ba có dạng y = ax³ + bx² + cx + d với các hệ số a = 1 (thỏa mãn a ≠ 0), b = -3, c = m và d = 1.

Hàm số có 2 cực trị khi phương trình đạo hàm y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt, với điều kiện Δ' = b² - 3ac > 0.

→ (-3)² - 3. 1. m > 0

⇔ 9 - 3m > 0

⇔ m < 3

Vậy với m < 3, hàm số y = x³ - 3x² + mx + 1 có 2 điểm cực trị.

Xem thêm: Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Bài tập thực hành tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12

Dưới đây là bộ 20 bài tập về chuyên đề cực trị của hàm số lớp 12, được thiết kế bám sát chương trình học và sắp xếp theo mức độ từ cơ bản - nhận biết - thông hiểu đến nâng cao - vận dụng - vận dụng cao để con có thể ôn lại kiến thức và thực hành.

Bài 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x³ - 3x + 2.

Bài 2: Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 1. Mệnh đề nào sau đây đúng khi nói về cực trị của hàm số? (Yêu cầu học sinh xét dấu đạo hàm và kết luận điểm cực đại, cực tiểu).

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số y = x³ + 3x + 1 không có cực trị.

Bài 4: Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = x⁴ - 2x² - 3.

Bài 5: Hàm số y = -x⁴ - 2x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị? Tìm tọa độ điểm cực trị đó.

Bài 6: Tìm các điểm cực trị của hàm số phân thức y = (x² - 2x + 2)/(x - 1).

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)²(x + 2)³. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x - m³ + m đạt cực tiểu tại điểm x = 2.

Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 3x² + mx - 1 có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức x₁² + x₂² = 6.

Bài 11: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = √20.

Bài 12: Tìm tham số m để hàm số y = $\frac{x ² + m x + 1}{x + m}$ đạt cực đại tại x = 2.

Bài 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + 2m + m⁴ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Bài 15: Biện luận theo tham số m số điểm cực trị của hàm số y = 13mx³ - (m - 1)x² + 3(m - 2)x + 1. (Lưu ý trường hợp hệ số a = 0).

Bài 16: Biện luận theo tham số m số điểm cực trị của hàm số y = (m - 1)x⁴ - 2(m + 1)x² + 3.

Bài 17: Biện luận theo m số điểm cực trị của hàm số y = |x³ - 3x² + m|.

Bài 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [-10; 10] để hàm số y = |x⁴ - 2x² + m - 1| có đúng 5 điểm cực trị?

Bài 19: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 2)²(x - 3)³. Tìm số điểm cực trị của hàm số hợp g(x) = f(x² - 2x).

Bài 20: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ (Giả định học sinh dựa vào bảng biến thiên có 2 cực trị là x = -1 và x = 1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g(x) = f(|x - m| + 1) có đúng 3 điểm cực đại.

Hy vọng phần tổng hợp trên đã giúp con hệ thống được những kiến thức quan trọng về cực trị của hàm số và có thêm cơ sở để xử lý các dạng bài. Nếu cần một lộ trình học Toán bài bản hơn, con có thể tham khảo khóa học Toán tại Học là Giỏi, cùng gia sư ôn luyện và củng cố từng chuyên đề.

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết xem nhiều