Cách xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12 chi tiết, dễ hiểu

Tính đơn điệu của hàm số là gì?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

- Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu:∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu: ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Điều kiện để hàm số đơn điệu

a) Điều kiện cần

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K:

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K 

b) Điều kiện đủ

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K:

- Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định

Tìm tập giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa, nếu P(x) là đa thức:

\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{P(x)} \text{ có nghĩa} &\Longleftrightarrow& P(x) \ne 0 \\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{P(x)}} \text{ có nghĩa} &\Longleftrightarrow& P(x) > 0 \\[6pt] \sqrt{P(x)} \text{ có nghĩa} &\Longleftrightarrow& P(x) \ge 0 \end{array}

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Hàm số y = f(x) với:

- f'(x) < 0 ở đâu thì hàm số sẽ nghịch biến ở đấy. 

- f'(x) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy.

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = x³ - 3x² - 9x + 5

Lời giải

TXĐ: D = ℝ 

y' = 3x² - 6x - 9

y' = 0 ⇔ 3x² - 6x - 9 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (3; +∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 3).

Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Cùng Học là Giỏi hệ thống các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số thường gặp để con dễ dàng ôn tập và vận dụng. 

Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

Dạng 1: Hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

Đối với hàm đa thức bậc $\mathrm{ba}: \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^3+\mathrm{bx}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d} ;(\mathrm{a} \neq 0)$.

Tính $f^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x+c$, khi đó:

- Hàm đa thức bậc ba $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ đồng biến trên $\mathrm{R} \Leftrightarrow \mathrm{a}>0$ và $\Delta^{\prime}=\mathrm{b}^2-3 \mathrm{ac} \leq 0$

- Hàm đa thức bậc ba $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ nghịch biến trên $\mathrm{R} \Leftrightarrow \mathrm{a}<0$ và $\Delta^{\prime}=\mathrm{b}^2-3 \mathrm{ac} \leq 0$

- Đối với hàm phân thức bậc nhất: $\mathrm{y}=\frac{a x+b}{c x+d}$

Tính $\mathrm{y}^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2}$ khi đó:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi $\mathrm{y}^{\prime}>0$ hay $(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})>0$

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi $\mathrm{y}^{\prime}<0$ hay $(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})<0$

Ví dụ: Cho hàm số: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3-\mathrm{mx}^2+(\mathrm{m}+2) \mathrm{x}-5$. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải

$\begin{aligned} & \text{TXĐ: } D = \mathbb{R} \\ & f'(x) = x^2 - 2mx + (m+2) \end{aligned}$

Để hàm số đồng biến trên $\mathrm{TXĐ}$ khi và chỉ khi $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \geq 0, \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}$.

$\begin{aligned} & \rightarrow a > 0 \text{ và } \Delta' \le 0 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0 \text{ (luôn đúng)} \\ (-m)^2 - 1 \cdot (m + 2) \le 0 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow m^2 - m - 2 \le 0 \\ & \Leftrightarrow -1 \le m \le 2 \end{aligned}$

Vậy với $-1 \leq m \leq 2$ thì hàm số đồng biến trên tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Dạng 2: Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước

Kiểm tra tập xác định để hàm số xác định trên khoảng (a; b).

Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a;b).

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ - 3x² - mx + 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [2; +∞).

Lời giải

Hàm số đồng biến trên khoảng [2; +∞) → y' ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞).

Đạo hàm: y' = 3x² - 6x - m

y' ≥ 0 → 3x² - 6x - m ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞)

⇔ m ≤ 3x² - 6x, ∀x ∈ [2; +∞)

Xét hàm số g(x) = 3x² - 6x trên [2; +∞).

Đạo hàm: g'(x) = 6x - 6. 

Cho g'(x) = 0 ⇔ x = 1 ∉ [2; +∞).

Bảng biến thiên của g(x) trên [2; +∞):

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\min _{[2 ;+\infty)} \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(2)=0$.
Để $\mathrm{m} \leq \mathrm{g}(\mathrm{x}), \forall \mathrm{x} \in[2 ;+\infty)$ thì $\mathrm{m} \leq \min _{[2 ;+\infty)} \mathrm{g}(\mathrm{x}) \Leftrightarrow \mathrm{m} \leq 0$.
Vậy $\mathrm{m} \leq 0$ thì hàm số đồng biến trên $[2 ;+\infty)$.

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức cực trị của hàm số lớp 12 chi tiết

Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=|f(x)|

- f(x) cụ thể cho trước. VD: |x² - 16x|

- f(x) có tham số dạng tách rời. VD: |x³ - m|

Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x) 

Bước 2: Từ bảng biến thiên của hàm số |f(x)|

- Giữ nguyên phần nằm trên y = 0

- Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới

- Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = |x³ - 3x + m| đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Lời giải

Xét hàm số bên trong dấu giá trị tuyệt đối: f(x) = x³ - 3x + m.

Đạo hàm: f'(x) = 3x² - 3.

Cho f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

Trên khoảng (2; +∞), ta có f'(x) > 0, ∀x ∈ (2; +∞). Do đó, hàm số f(x) luôn đồng biến trên khoảng này.

Đồ thị hàm số y = |f(x)| được tạo ra bằng cách giữ nguyên phần đồ thị f(x) nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục Ox.

Để hàm số y = |f(x)| tiếp tục đồng biến trên (2; +∞) giống như f(x), thì phần đồ thị của f(x) trên khoảng này không được bị lật ngược. Tức là toàn bộ đồ thị trên (2; +∞) phải nằm ở phía trên hoặc trên trục hoành.

Điều kiện: f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

Vì f(x) là hàm số đồng biến trên (2; +∞) nên ta chỉ cần điều kiện tại điểm đầu mút bên trái: f(2) ≥ 0

⇔ 2³ - 3.2 + m ≥ 0

⇔ 8 - 6 + m ≥ 0

⇔ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Kết luận: Với m ≥ -2 thì hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞).

Tổng hợp bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Dưới đây là 10 bài tập xét tính đơn điệu của hàm số từ cơ bản đến nâng cao, bám sát chương trình Giải tích 12. Mỗi bài đều kèm theo định hướng giải hoặc đáp án rút gọn để con dễ dàng đối chiếu.

Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

- Hướng giải: Tập xác định D = ℝ. Tính y' = 3x² - 6x. Cho y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

- Đáp án: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞); nghịch biến trên (0; 2).

Bài 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = -x⁴ + 2x² + 1.

- Hướng giải: Tập xác định D = ℝ. Tính y' = -4x³ + 4x. Cho y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.

- Đáp án: Hàm số đồng biến trên (-∞; -1) và (0; 1); nghịch biến trên (-1; 0) và (1; +∞).

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x+1}$.

- Hướng giải: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Tính $y' = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0,\, \forall x \in D$.

- Đáp án: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Bài 4: Xét tính đơn điệu của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{4}{x}$.

- Hướng giải: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Tính $y' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

- Đáp án: Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(-2; 0)$ và $(0; 2)$.

Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2 x-x^2}$.

- Hướng giải: Tìm điều kiện trong căn: $2x - x^2 \ge 0 \Rightarrow D = [0; 2]$. Tính $y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

- Đáp án: Hàm số đồng biến trên $(0; 1)$ và nghịch biến trên $(1; 2)$.

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3} \mathrm{x}^3-\mathrm{mx}^2+(2 \mathrm{~m}-1) \mathrm{x}-$ m + 2 đồng biến trên R.

- Hướng giải: Tính $y' = x^2 - 2mx + 2m - 1$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \geq 0,\, \forall x \in \mathbb{R}$. Điều kiện là $\Delta' = m^2 - (2m - 1) \leq 0$.

- Đáp án: $m = 1$.

Bài 7: Tìm m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{m x-2 m-3}{x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

- Hướng giải: Tính $y' = \dfrac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2}$. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y' > 0$. Tức $-m^2 + 2m + 3 > 0$.

- Đáp án: $-1 < m < 3$.

Bài 8: Tìm m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)$.

- Hướng giải: Đặt $t = \tan x$. Khi $x \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)$ thì $t \in (0; 1)$. Hàm số $t = \tan x$ đồng biến trên khoảng này, nên bài toán trở thành: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{t - 2}{t - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; 1)$.  
 Điều kiện: $y' = \frac{-m + 2}{(t - m)^2} > 0$ và nghiệm mẫu $t = m \notin (0; 1)$.

- Đáp án: $m \le 0$.

Bài 9: Cho hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có đạo hàm $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)^2$. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-2 \mathrm{x}\right)$.

- Hướng giải: Tính $g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)$. Giải $g'(x) = 0$ bằng cách cho $2x - 2 = 0$ hoặc $x^2 - 2x = 0$ hoặc $x^2 - 2x = 1$ hoặc $x^2 - 2x = -2$. Lập bảng xét dấu đạo hàm cho $g'(x)$.

- Đáp án: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1-\sqrt{2})$, $(0; 1)$ và $(2; 1+\sqrt{2})$.

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\left|\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+\mathrm{m}\right|$ đồng biến trên khoảng $(2 ;+\infty)$.

 - Hướng giải: Đặt $u(x) = x^3 - 3x^2 + m$. Hàm số $y = |u(x)|$ đồng biến trên $(2; +\infty)$ xảy ra 2 trường hợp:

 - TH1: $\left\{\begin{array}{l} u'(x) \geq 0, \forall x \in (2; +\infty) \\ u(2) \geq 0 \end{array}\right.$
 
 - TH2: $\left\{\begin{array}{l} u'(x) \leq 0, \forall x \in (2; +\infty) \\ u(2) \leq 0 \end{array}\right.$

 Vì $u'(x) = 3x^2 - 6x > 0, \forall x > 2$ nên chỉ có TH1 thỏa mãn.

- Đáp án: $m \geq 4$.

Hy vọng phần hướng dẫn trên giúp con nắm chắc cách xét tính đơn điệu của hàm số và chủ động hơn khi xử lý các dạng bài liên quan đến đạo hàm. Nếu muốn củng cố kiến thức và rèn luyện phương pháp giải Toán 12 bài bản hơn, ba mẹ có thể tham khảo khóa học Toán 12 tại Học là Giỏi để con được học và luyện tập theo lộ trình phù hợp.