Cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số chi tiết

Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=+\infty \\ & \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=-\infty \\ & \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=+\infty \\ & \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=-\infty \end{aligned}$

Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.

Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$.

Các dạng bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường xuất hiện trong nhiều bài tập Toán 12 với cách hỏi khá đa dạng. 

Dạng 1: Bài toán tìm đường tiệm cận đứng

- Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là $\mathrm{x}=\mathrm{x} 0$.

- Bước 2: Tính giới hạn một bên tại $\mathrm{x}=\mathrm{x}_0$.

- Bước 3: Nếu xảy ra $\lim _{x \rightarrow x_0-} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\infty$ hoặc $\lim _{x \rightarrow x_0+} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\infty$ thì ta kết luận $\mathrm{x}=\mathrm{x}_0$ là đường tiệm cận đứng.

Lưu ý: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{a x+b}{c x+d}$ luôn có TCĐ: $\mathrm{x}=\frac{-d}{c}$

Ví dụ: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x-3}$.

Lời giải

Ta có: $\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{2 x-1}{x-3}=+\infty$.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $\mathrm{x}=3$.

Dạng 2: Bài toán tìm đường tiệm cận ngang

- Bước 1: Tính giới hạn $\lim _{x \rightarrow-\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ và $\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})$.

- Bước 2: Vị trí nào cho ra kết quả hữu hạn thì ta kết luận có đường tiệm cận ngang ở vị trí đó.

Lưu ý: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{a x+b}{c x+d}$ có TCN: $\mathrm{y}=\frac{a}{c}$.

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x+1}$.

Lời giải

Ta có: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x-1}{x+1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x-1}{x+1}=2$

Vậy đường thẳng $\mathrm{y}=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dạng 3: Bài toán tìm đường tiệm cận xiên

Xác định hệ số của a và b trong các trường hợp sau:
- Tính $a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]$
- Tính $a=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-a x]$.

Lưu ý:

- Nếu $a = 0$, ta được tiệm cận xiên chính là tiệm cận ngang.

- Đối với hàm số phân thức $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$, ta chia đa thức để biến đổi về dạng:

$f(x) = a'x + b' + \frac{e}{mx + n} \quad (\text{với } e \neq 0)$

$\rightarrow y = a'x + b'$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vi dụ: Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: $\mathrm{y}=\frac{x^2+2 x+3}{x-1}$.
Lời giải

Ta có: $\mathrm{y}=\frac{x^2+2 x+3}{x-1}=\mathrm{x}+3+\frac{6}{x-1}$.
Vì $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{6}{x-1}=0$ nên đường thẳng $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dạng 4: Bài toán tìm đường tiệm cận chứa tham số

Bước 1: Xác định phương trình đường tiệm cận theo tham số $m$ :

- Tiệm cận đứng có dạng $\mathrm{x}=\mathrm{x}_0$, trong đó $\mathrm{x}_0$ là nghiệm của phương trình mẫu số $\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ $=0$.

- Tiệm cận ngang có dạng $\mathrm{y}=\mathrm{y}_0$, được xác định bởi giới hạn $\lim (\mathrm{x} \rightarrow \pm \infty) \mathrm{y}=\frac{a}{c}$.

Bước 2: Thiết lập phương trình từ giả thiết.

Bước 3: Giải phương trình tìm m.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{3 x+m-2}{x+m}$ đi qua điểm $\mathrm{M}(2 ; 1)$.

Lời giải

Tiệm cận đứng của đồ thị có phương trình: $\mathrm{x}+\mathrm{m}=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}=-\mathrm{m}$.
Tiệm cận đứng đi qua $\mathrm{M}(2 ; 1)$ nên: $2+\mathrm{m}=0 \Leftrightarrow \mathrm{~m}=-2$.

Với $\mathrm{m}=-2: \mathrm{y}=\frac{3 x-4}{x-2}$ tại $\mathrm{x}=2$, tử số bằng $2 \neq 0$, do đó $\mathrm{x}=2$ thực sự là tiệm cận đứng.

Vậy $\mathrm{m}=-2$.

Ôn luyện bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12

Dưới đây là các bài tập trắc nghiệm và tự luận từ cơ bản đến nâng cao, giúp con ôn luyện và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đường tiệm cận của hàm số.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-3}{x+1}$ có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. $x = 1$ và $y = 2$

B. $x = -1$ và $y = 2$

C. $x = -1$ và $y = -3$

D. $x = 2$ và $y = -1$

Câu 2: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1-3 x}{2 x+5}$ là đường thẳng:

A. $y = \frac{1}{2}$

B. $y = -\frac{3}{5}$

C. $y = -\frac{3}{2}$

D. $x = -\frac{5}{2}$

Câu 3: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x-1}{x^2-3 x+2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 4: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2-x-2}{x+2}$ có đường tiệm cận xiên là:

A. $y = x - 2$

B. $y = x - 3$

C. $y = x + 2$

D. $y = x + 3$

Câu 5: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x^2+3 x-1}{x+1}$ có phương trình đường tiệm cận xiên là:

A. $y = 2x - 1$

B. $y = 2x + 1$

C. $y = 2x - 3$

D. $y = 2x + 3$

Câu 6: Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ thỏa mãn $\lim (\mathrm{x} \rightarrow-\infty) \mathrm{f}(\mathrm{x})=-2$ và $\lim \left(\mathrm{x} \rightarrow 1^{+}\right) \mathrm{f}(\mathrm{x})=+\infty$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = -2$.  

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y = 1$ và tiệm cận ngang $x = -2$.  

C. Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng $x = 1$.  

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu 7: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x-2}$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 8: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x-m}$ có đường tiệm cận đứng đi qua điểm $\mathrm{A}(3 ; 4)$.

A. $m = 3$

B. $m = 2$

C. $m = -3$

D. $m = 4$

Câu 9: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+2}{\sqrt{9-x^2}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 10: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2+m x+1}{x+1}$. Tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên đi qua điểm M(2; 5).

A. $m = 2$

B. $m = 3$

C. $m = 4$

D. $m = 5$

Bảng đáp án:

1. B | 2. C | 3. B | 4. B | 5. B | 6. A | 7. C | 8. A | 9. B | 10. C

B. Phần tự luận

Bài 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x-1}{x+1}$.

Bài 2: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{3-4 x}{2 x+1}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào?

Bài 3: Tìm số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{x^2-4}$.

Bài 4: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2-3 x+2}{x-1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Bài 5: Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2+2 x-3}{x-1}$.

Bài 6: Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $\mathrm{y}=\frac{2 x^2-3 x+1}{x+2}$.

Bài 7: Cho hàm số $y=f(x)$ có $\lim (x \rightarrow+\infty) f(x)=2$ và $\lim \left(x \rightarrow 1^{-}\right) f(x)=-\infty$. Khẳng định nào sau đây đúng về tiệm cận của đồ thị hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ?

Bài 8: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{4 x^2+1}}{x-2}$.

Bài 9: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x-2}{x^2-3 x+2}$.

Bài 10: Đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$ có tổng cộng bao nhiêu đường tiệm cận?

Bài 11: Tìm tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{m x+5}{x-2}$ có đường tiệm cận ngang là $\mathrm{y}=$ 3.

Bài 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2 x+1}{x-m}$ có đường tiệm cận đứng đi qua điểm A(2; 5).

Bài 13: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$.

Bài 14: Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{x^2-2 x-3}{x^2-m x+m+3}$. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Bài 15: Tìm phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\sqrt{x^2+1}$ khi $\mathrm{x} \rightarrow$ $+\infty$.

Xem thêm: Chuyên đề Toán 12: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Hy vọng qua những phương pháp và ví dụ trên, con đã có thể chủ động xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số và tránh nhầm lẫn giữa các dạng bài. Nếu muốn củng cố kiến thức Toán 12 và rèn luyện thêm nhiều dạng bài trọng tâm, ba mẹ có thể tham khảo khóa học Toán của Học là Giỏi để con có lộ trình học tập phù hợp và chắc kiến thức hơn.