Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12: Lý thuyết & Bài tập

Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục toạ độ này được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc trong không gian.

Chú ý: $\overrightarrow{i^2}=\overrightarrow{j^2}=\overrightarrow{k^2}=1$ và $\vec{i} . \vec{j}=\vec{i} . \vec{k}=\vec{k} . \vec{j}=0$.

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau.

Toạ độ của vectơ

a) Định nghĩa

$\vec{u}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z}) \leftrightarrow \vec{k}=\mathrm{x} \vec{i}+\mathrm{y} \vec{j}+\mathrm{z} \vec{k}$

b) Tính chất

Cho $\vec{a}=(a_1 ; a_2 ; a_3)$ và $\vec{b}=(b_1 ; b_2 ; b_3), k \in \mathbb{R}$:

- $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1 ; a_2 \pm b_2 ; a_3 \pm b_3)$
- $k \vec{a} = (k a_1 ; k a_2 ; k a_3)$

$\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_1=b_1 \\ a_2=b_2 \\ a_3=b_3 \end{array}\right.$

- $\vec{0} = (0 ; 0 ; 0), \vec{i} = (1 ; 0 ; 0), \vec{j} = (0 ; 1 ; 0), \vec{k} = (0 ; 0 ; 1)$
- $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b} \; (\vec{b} \neq \vec{0}) \Leftrightarrow \vec{a} = k \vec{b}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_1 = k b_1 \\ a_2 = k b_2 \\ a_3 = k b_3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} \quad (b_1, b_2, b_3 \neq 0)$

- $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$
- $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0$
- $\vec{a}^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$
- $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} \quad (\text{với } \vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})$

Tọa độ vectơ theo hai đầu mút

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(x_M ; y_M ; z_M)$ và $N(x_N ; y_N ; z_N)$. Khi đó:
$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M ; y_N - y_M ; z_N - z_M)$

Toạ độ của điểm

a) Định nghĩa

$\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z}) \leftrightarrow \overrightarrow{O M}=\mathrm{x} \vec{i}+\mathrm{y} \vec{j}+\mathrm{z} \vec{k}$ (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ )

Chú ý:

- $M \in (Oxy) \Leftrightarrow z = 0;\; M \in (Oyz) \Leftrightarrow x = 0;\; M \in (Oxz) \Leftrightarrow y = 0$

- $M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0;\; M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0;\; M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0$

b) Tính chất

Cho $A(x_A ; y_A ; z_A)$ và $B(x_B ; y_B ; z_B)$:

- $\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$
- $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$
- Toạ độ trung điểm đoạn thẳng $AB$: $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$
- Toạ độ trọng tâm tam giác $ABC$: $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} ; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} ; \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$
- Toạ độ trọng tâm tứ diện $ABCD$:
 $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4} ; \dfrac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4} ; \dfrac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}\right)$

Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa

Trong không gian Oxyz cho hai vecto $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2 ; a_3\right)$ và $\vec{b}=\left(b_1 ; b_2 ; b_3\right)$. Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu [ $\vec{a}, \vec{b}$ ]:

$</span><br><span style="color:hsl( 0, 0$

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất

- $[\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{a}$ ; $[\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{b}$
- $[\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]$
- $[\vec{i}, \vec{j}] = \vec{k}$, $[\vec{j}, \vec{k}] = \vec{i}$, $[\vec{k}, \vec{i}] = \vec{j}$
- $|[\vec{a}, \vec{b}]| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$
- $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}$

c) Ứng dụng

$\begin{aligned} &\text{- Điều kiện đồng phẳng: } \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text{ đồng phẳng } \Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0 \\ &\text{- Diện tích hbh } ABCD: S_{ABCD} = \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}] \right| \\ &\text{- Diện tích tam giác } ABC: S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \right| \\ &\text{- Thể tích khối hộp: } V = \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}] \cdot \overrightarrow{AA'} \right| \\ &\text{- Thể tích tứ diện } ABCD: V_{ABCD} = \frac{1}{6} \left| [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \cdot \overrightarrow{AD} \right| \end{aligned}$

Chú ý:

Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Phương trình mặt cầu

a) Định nghĩa 

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M | IM = R}

Dạng 1: Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R > 0.

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² 

Dạng 2: Phương trình tổng quát

(S): x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (2)

⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu: a² + b² + c² - d > 0

- $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$.
- $(S)$ có bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Xét mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ d = IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Khi đó ta có các trường hợp:

- Nếu d > R: Mặt cầu và mặt phẳng (P) không có điểm chung với nhau.

- Nếu d = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu. Lúc này, (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và điểm H chính là tiếp điểm.

- Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một thiết diện là hình tròn. Đường tròn này có tâm I' và bán kính được tính theo công thức r=\sqrt{R^2-I H^2}.

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của I lên Δ. Khi đó:

- IH > R: Δ không cắt mặt cầu.

- IH = R: Δ tiếp xúc với mặt cầu. Δ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.

- IH < R: Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Lưu ý: Trong trường hợp $\Delta$ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được xác định: $\mathrm{d}(\mathrm{I} ; \Delta)=\mathrm{IH}$. Lúc đó:

$R=\sqrt{I H^2+A H^2}=\sqrt{I H^2+\left(\frac{A B}{2}\right)^2}$

Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Dưới đây là các dạng bài tập về hệ trục tọa độ trong không gian cùng phương pháp giải và ví dụ với lời giải cụ thể, cho con nắm chắc kiến thức và vận dụng đúng công thức. 

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .

- Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

- Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Cách 2:

- Gọi phương trình (S): x² + y² + z² -2ax - 2by - 2cz + d = 0

- Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a² + b² + c² - d > 0)

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: 

a) (S) có tâm I(1; -2; 4) và bán kính R = 5.

b) (S) có tâm I(3; 0; -1) và đi qua điểm M(1; 2; -2).

c) (S) có đường kính CD với C(2; -1; 4) và D(-4; 3; 2).

Lời giải:

a) Mặt cầu tâm $\mathrm{I}(1 ;-2 ; 4)$ và bán kính $\mathrm{R}=5$ có phương trình:

$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=25$

b) Ta có: $\mathrm{IM}=(-2 ; 2 ;-1) \Rightarrow \mathrm{IM}=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3$.
Mặt cầu tâm $\mathrm{I}(3 ; 0 ;-1)$ và bán kính $\mathrm{R}=\mathrm{IM}=3$, có phương trình:

$(x-3)^2+y^2+(z+1)^2=9$

c) Ta có: $\mathrm{CD}=(-6 ; 4 ;-2) \Rightarrow \mathrm{CD}=\sqrt{(-6)^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14}$.
Gọi I là trung điểm của CD ⇒ I(-1; 1; 3).
Mặt cầu tâm $\mathrm{I}(-1 ; 1 ; 3)$ và bán kính $\mathrm{R}=\mathrm{CD} / 2=(2 \sqrt{14}) / 2=\sqrt{14}$, có phương trình:

$(x+1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=14$

Dạng 2: Sự tương giao và tiếp xúc

Phương pháp giải: Lưu ý các điều kiện tiếp xúc:

- Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

- Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

Ví dụ: Cho đường thẳng $(\Delta): \frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$ và mặt cầu $(\mathrm{S}): \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2-8=0$.
Tìm số điểm chung của $(\Delta)$ và $(\mathrm{S})$.
Lời giải
Đường thẳng $(\Delta)$ đi qua $\mathrm{M}(0 ; 2 ;-2)$ và có một vectơ chỉ phương là $\mathrm{u}=(1 ; 1 ; 1)$
Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; 0) và bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{ } 8=2 \sqrt{ } 2$
Ta có $\mathrm{MI}=(0 ;-2 ; 2)$ và $[\mathrm{u}, \mathrm{MI}]=(4 ;-2 ;-2)$

$\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{I}, \Delta)=\frac{|[u, M I]|}{|u|}=\frac{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-2)^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} .$

Vì $\mathrm{d}(\mathrm{I}, \Delta)=\mathrm{R}$ nên $(\Delta)$ tiếp xúc với mặt cầu $(\mathrm{S})$.

Xem thêm: Chuyên đề khảo sát sự biến thiên của hàm số ôn thi ĐH

Giải bài tập hệ tọa độ trong không gian toán 12

Dưới đây là tổng hợp các bài tập hệ tọa độ trong không gian được chọn lọc với phần trắc nghiệm và tự luận từ cơ bản đến nâng cao, giúp con luyện cách nhận dạng và giải từng dạng bài.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; -1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{A B}$ là:

A. $(2; 2; -4)$

B. $(4; -2; 2)$

C. $(-2; -2; 4)$

D. $(2; -2; -4)$

Câu 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(\mathrm{P}): 2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+\mathrm{z}-5=0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n} = (2; -3; -5)$

B. $\vec{n} = (2; 3; 1)$

C. $\vec{n} = (2; -3; 1)$

D. $\vec{n} = (-3; 1; -5)$

Câu 3: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : (x - 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có tâm I và bán kính R là: 

A. I(-1; 2; 0), R = 9

B. I(1; -2; 0), R = 3

C. I(-1; 2; 0), R = 3

D. I(1; -2; 0), R = 9

Câu 4: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 3) trên trục Ox có tọa độ là: 

A. (0; 2; 3)

B. (1; 0; 0)

C. (0; 2; 0)

D. (0; 0; 3)

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $\mathrm{M}(1 ;-2 ; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-1 ; 4)$ là:

A. $x = 1 + 2t;\ y = -2 - t;\ z = 3 + 4t$

B. $x = 2 + t;\ y = -1 - 2t;\ z = 4 + 3t$

C. $x = 1 - 2t;\ y = -2 - t;\ z = 3 + 4t$

D. $x = -1 + 2t;\ y = 2 - t;\ z = -3 + 4t$

Câu 6: Khoảng cách từ điểm M(1; 2; -1) đến mặt phẳng $(\mathrm{P}): 2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}-3=0$ bằng:

A. $\frac{4}{3}$  

B. $\frac{8}{9}$  

C. $\frac{4}{9}$  

D. $4$

Câu 7: Cho mặt cầu (S) : x² + y² + z² - 2x + 4y - 4 = 0 và mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z + m = 0. Tất cả các giá trị của tham số m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) là: 

A. m = 6 hoặc m = -12

B. m = 12 hoặc m = -6

C. m = 3 hoặc m = -3

D. m = 4 hoặc m = -4

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\mathrm{d}_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ và $\mathrm{d}_2$ : $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-1}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{d}_1$ và $\mathrm{d}_2$. Tính $\cos \alpha$.

A. $\cos \alpha = \frac{1}{6}$

B. $\cos \alpha = -\frac{1}{6}$

C. $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$

D. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-6=$ 0. Tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho độ dài đoạn AM ngắn nhất là:

A. $M(1; 2; 3)$

B. $M(2; 3; 1)$

C. $M(0; 0; 6)$

D. $M(3; 2; 1)$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1) và B(-1; 0; 3). Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn $\mathrm{MA}^2+\mathrm{MB}^2=20$ là một mặt cầu có bán kính bằng:

A. $\mathrm{R} = 4$

B. $\mathrm{R} = 2$

C. $\mathrm{R} = \sqrt{5}$

D. $\mathrm{R} = 3$

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\mathrm{P}): 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-15=0$ và hai điểm $\mathrm{A}(2 ; 1 ; 3), \mathrm{B}(0 ;-1 ; 1)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $\mathrm{T}=$ $\mathrm{MA}^2+\mathrm{MB}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M(3; -1; 4)$

B. $M(1; 0; 2)$

C. $M(2; 1; 3)$

D. $M(5; 1; 3)$

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(\mathrm{S}):(\mathrm{x}-1)^2+(\mathrm{y}-1)^2+(\mathrm{z}-1)^2=4$ và hai điểm A(3; -1; 2), B(1; 3; 4). Gọi M là điểm di động trên mặt cầu (S). Giá trị lớn nhất của biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{MA}^2+\mathrm{MB}^2$ bằng:

A. $30 + 8\sqrt{5}$

B. $15 + 4\sqrt{5}$

C. $34 + 8\sqrt{5}$

D. $30 - 8\sqrt{5}$

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P), đổng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là:

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z}{-1}$

B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}$

C. $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z}{-1}$

D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 1) và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}$ $=\frac{z-2}{1}$. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d. Khoảng cách lớn nhất từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng:

A. $2\sqrt{2}$

B. $\sqrt{14}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $8$

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ O). Thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện OABC là:

A. 27

B. 54

C. 162

D. 9

Đáp án

B. Phần tự luận

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 2: Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z - 2 = 0.

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm M(1; -2; 3) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng song song $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}+1=0$ và $(\mathrm{Q}): \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}-5=$ 0 . Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

Bài 5: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M(2; 1; -1) lên mặt phẳng (P) : x $+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}+3=0$.

Bài 6: Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng (P) : $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+5=0$.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ; 0 ;-2)$, song song với mặt phẳng (P): $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0$ và đồng thời cắt đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}$.

Bài 8: Cho mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}-3=0$ và hai điểm $\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3), \mathrm{B}(3 ;-1 ; 1)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $\mathrm{T}=\mathrm{MA}^2+\mathrm{MB}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(\mathrm{S}):(\mathrm{x}-1)^2+(\mathrm{y}-2)^2+(\mathrm{z}+1)^2=9$ và điểm A(5; 2; -1). Từ A kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm tạo thành một đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).

Bài 10: Cho mặt phẳng $(\mathrm{P}): \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-3=0$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong (P), cắt d và cách điểm A(1; 1; 1) một khoảng lớn nhất.

Hy vọng những kiến thức và bài tập trên giúp con biết cách khai thác hệ trục tọa độ trong không gian. Con hãy kết hợp ôn lý thuyết với luyện tập nhiều dạng bài để hình thành cách xử lý linh hoạt. Nếu cần thêm hướng dẫn trong quá trình học, khóa học Toán của Học là Giỏi sẽ giúp con có thêm tài liệu và phương pháp ôn tập phù hợp.