Học Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Tọa độ phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z})$ và $\vec{b}=\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime} ; \mathrm{z}^{\prime}\right)$.
Ta có:

$\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} &= (x + x';\, y + y';\, z + z') \\ \vec{a} - \vec{b} &= (x - x';\, y - y';\, z - z') \end{aligned}$

$\mathrm{k} \cdot \vec{a}=(\mathrm{kx} ; \mathrm{ky} ; \mathrm{kz}) ; \mathrm{k} \in \mathbb{R} .$

Nhận xét: Vectơ $\vec{a}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z})$ cùng phương với vectơ $\vec{b}=\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime} ; \mathrm{z}^{\prime}\right) \neq \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho: $\left\{\begin{array}{l}x=k x^{\prime} \\ y=k y^{\prime} \\ z=k z^{\prime}\end{array}\right.$.

Tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $\mathrm{A}\left(x_A ; y_A ; z_A\right), \mathrm{B}\left(x_B ; y_B ; z_B\right)$ và $\mathrm{C}\left(x_C ; y_C ; z_C\right)$. Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2} ; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3} ; \frac{y_A+y_B+y_C}{3} ; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z})$ và $\vec{b}=\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime} ; \mathrm{z}^{\prime}\right)$ được xác định bởi công thức: $\vec{a} \cdot \vec{b}=\mathrm{xx}^{\prime}+\mathrm{yy}^{\prime}+\mathrm{zz}$.

Nhận xét:
- Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow \mathrm{xx}^{\prime}+\mathrm{yy}^{\prime}+\mathrm{zz}^{\prime}=0$.
- Nếu $\vec{a}=(x ; y ; z)$ thì $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
- Nếu $\vec{a}=(\mathrm{x} ; \mathrm{y} ; \mathrm{z})$ và $\vec{b}=\left(\mathrm{x}^{\prime} ; \mathrm{y}^{\prime} ; \mathrm{z}^{\prime}\right)$ là hai vectơ khác 0 thì

$\cos (\vec{a}, \vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}$

Xem thêm: Chuyên đề khảo sát sự biến thiên của hàm số ôn thi ĐH

Hệ thống bài tập và lời giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập minh họa về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, giúp con hiểu rõ cách áp dụng công thức và vận dụng đúng vào từng dạng bài:

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\vec{a}=(2,-3)$ và $\vec{b}=(-1,4)$. Hãy tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$

b) $\vec{v} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

Lời giải

- a) Tọa độ của vectơ $u$: $\vec{u} = (2 + (-1), -3 + 4) = (1, 1)$

- b) Tọa độ của vectơ $v$:

Ta có: $2 \vec{a}=(2 \cdot 2,2 \cdot(-3))=(4,-6)$
Và: $3 \vec{b}=(3 \cdot(-1), 3 \cdot 4)=(-3,12)$
Suy ra: $\vec{v}=2 \vec{a}-3 \vec{b}=(4-(-3),-6-12)=(7,-18)$

Bài 2: Cho ba điểm $\mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(-2,5), \mathrm{C}(4,-1)$.
a) Tìm tọa độ các vectơ AB, BC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Lời giải
a) Tọa độ các vectơ:

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (-2 - 1,\, 5 - 2) = (-3,\, 3) \\ \overrightarrow{BC} &= (4 - (-2),\, -1 - 5) = (6,\, -6) \end{aligned}$

b) Tìm tọa độ điểm D(x, y):
Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$.
Ta có $\overrightarrow{D C}=(4-\mathrm{x},-1-\mathrm{y})$
Vì $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4-x=-3 \\ -1-y=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=7 \\ y=-4\end{array}\right.\right.$
Vậy tọa độ điểm D là (7, -4).

Bài 3: Cho các vectơ $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(-1,1)$ và $\vec{u}=(-1,7)$.

a) Chứng minh hai vectơ a và b không cùng phương.

b) Phân tích vectơ u theo hai vectơ a và b .

Lời giải

a) Xét tỉ số các tọa độ tương ứng của a và b :

Ta thấy $\frac{1}{-1} \neq \frac{2}{1}$. Suy ra a và b không cùng phương.

b) Phân tích $\vec{u} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m, n \in \mathbb{R}$)

Ta có: $\overrightarrow{m a}=(\mathrm{m}, 2 \mathrm{~m})$ và $\overrightarrow{n b}=(-\mathrm{n}, \mathrm{n})$

Suy ra $\overrightarrow{m a}+\overrightarrow{n b}=(\mathrm{m}-\mathrm{n}, 2 \mathrm{~m}+\mathrm{n})$.

Để $\mathrm{u}=\mathrm{ma}+\mathrm{nb}$, ta giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}m-n=-1 \\ 2 m+n=7\end{array}\right.$
Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được $3 \mathrm{~m}=6 \Rightarrow \mathrm{~m}=2$.
Thay $\mathrm{m}=2$ vào phương trình đầu: $2-\mathrm{n}=-1 \Rightarrow \mathrm{n}=3$.

Vậy $\vec{u}=2 \vec{a}+3 \vec{b}$.

Bài 4: Cho hai vectơ $\vec{x}=(3,1)$ và $\vec{y}=(-2,6)$.

a) Tính tích vô hướng $\vec{x} \cdot \vec{y}$.  

b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{x}$ và $\vec{y}$?

Lời giải
- a) Tính tích vô hướng: $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0$.
- b) Vì $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$ nên $\cos(\vec{x}, \vec{y}) = 0$. Suy ra góc giữa hai vectơ $\vec{x}$ và $\vec{y}$ bằng $90^{\circ}$ (hai vectơ vuông góc với nhau).

Bài tập biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trọng tâm

Dưới đây là các bài tập trọng tâm gồm trắc nghiệm và tự luận, được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, giúp con củng cố kiến thức và chủ động ôn luyện ngay tại nhà.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2; -3)$ và $\vec{b}=(-1; 5)$. Tọa độ của vectơ $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ là:

A. $(1; 2)$
B. $(3; -8)$
C. $(1; 8)$
D. $(-3; 2)$

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\vec{u}=(-3 ; 4)$. Tọa độ của vectơ $2 \vec{u}$ là:

A. (-6; 4)

B. (-3; 8)

C. (-6; 8)

D. (6; -8)

Câu 3: Trong hệ trục Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; -2). Tọa độ của vectơ AB là:

A. $(3; -4)$  

B. $(-3; 4)$  

C. $(5; 0)$  

D. $(3; 0)$

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\vec{a}=(1 ; 2)$ và $\vec{b}=(-3 ; 1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{v}=2 \vec{a}$ - $\vec{b}$ là:

A. $(5; 3)$

B. $(-1; 3)$

C. $(5; 0)$

D. $(1; 3)$

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{u}=(3 ;-2)$ và $\vec{v}=(1 ; 4)$. Tích vô hướng $\vec{u}$ $\vec{v}$ có giá trị bằng:

A. -5

B. 5

C. -11

D. 11

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, độ dài của vectơ $\vec{a}=(-3 ; 4)$ là:

A. 5

B. 7

C. 1

D. 25

Câu 7: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{a} = (2; m)$ và $\vec{b} = (4; -6)$. Tìm giá trị của $m$ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

A. $m = -3$

B. $m = 3$

C. $m = -12$

D. $m = 12$

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\vec{u}=(1 ; 3)$ và $\vec{v}=(-3 ; \mathrm{x})$. Tìm x để $\vec{u} \perp \vec{v}$.

A. $x = 1$

B. $x = -1$

C. $x = 9$

D. $x = -9$

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), B(2; -1) và C(3; 4). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. $(2; 2)$

B. $(6; 6)$

C. $(2; -2)$

D. $(3; 3)$

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 1) và B(3; 2). Tìm tọa độ điểm C sao cho $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B}$.

A. $C(5; 3)$

B. $C(2; 1)$

C. $C(4; 2)$

D. $C(3; 5)$

B. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ $\vec{a}=(2 ;-1), \vec{b}=(3 ; 4), \vec{c}=(-1 ; 5)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

b) Tìm tọa độ vectơ $\vec{x}$ sao cho $\vec{a} + 2\vec{x} = \vec{b} - \vec{c}$.

Câu 2: Cho 3 điểm $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(-2 ; 3), \mathrm{C}(0 ;-1)$.

a) Tính tọa độ các vectơ AB, AC, BC.

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC .

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{u}=(\mathrm{m}-1 ; 2)$ và $\vec{v}=(3 ;-4)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để hai vectơ $u$ và $v$ cùng phương. Hai vectơ này cùng hướng hay ngược hướng?

Câu 4: Cho tam giác ABC có các đính A(1; 1), B(2; 4), C(10; -2).

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

b) Tính độ dài các cạnh $AB$, $AC$ và suy ra số đo góc $A$ của tam giác $ABC$.

Câu 5: Cho ba điểm $\mathrm{A}(-1 ; 3), \mathrm{B}(2 ; 4), \mathrm{C}(5 ; 1)$.

a) Chứng minh $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm $I$ của hình bình hành đó.

Câu 6: Cho $\mathrm{a}=(2 ; 1), \mathrm{b}=(3 ;-4), \mathrm{c}=(-7 ;-14)$. Hãy phân tích vectơ c theo hai vectơ a và b (Tìm hai số thực x, y sao cho c = xa + yb).

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm $\mathrm{A}(-2 ; 1)$ và $\mathrm{B}(4 ; 5)$. Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành (Ox) sao cho tam giác ABM vuông tại M.

Câu 8: Cho tam giác ABC có A(-1; 2), B(2; 0), C(-3; -1). Bằng phương pháp tọa độ vectơ, hãy tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(3; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục tung (Oy) sao cho biểu thức $\mathrm{T}=|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 10: Cho tam giác ABC với $\mathrm{A}(1 ; 3), \mathrm{B}(-2 ; 1), \mathrm{C}(4 ;-2)$. Tìm tọa độ điểm M bất kỳ trong mặt phẳng sao cho biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{MA}^2+2 \mathrm{MB}^2-\mathrm{MC}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hy vọng nội dung trên giúp các con thấy rõ hơn cách một phép toán vectơ được chuyển thành phép tính trên tọa độ và biết cách vận dụng chúng vào bài toán cụ thể. Nếu muốn tiếp tục rèn khả năng xử lý bài tập từ nền tảng đến vận dụng, khóa học Toán của Học là Giỏi sẽ là lựa chọn để các con tham khảo.