Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ lớp 12

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

$R = u_{k+1} - u_1$

Chú ý:

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu gốc, dùng để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu.

- Tuy nhiên, khoảng biến thiên chỉ dựa vào giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nên chưa phản ánh đầy đủ sự phân tán của dữ liệu và dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ. Vì vậy, cần kết hợp với các số đặc trưng khác để đánh giá chính xác hơn.

Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\Delta_{Q^{\prime}}$ là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $\mathrm{Q}_3$ và tứ phân vị thứ nhất $\mathrm{Q}_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là: $\Delta_Q=\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1$.

Chú ý:

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

Giá trị ngoại lệ

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5 \Delta_{Q^{\prime}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

Phương sai và độ lệch chuẩn

Ta có một mẫu số liệu là $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$.
Phương sai của mẫu số liệu kí hiệu là $\mathrm{S}^2$, được tính bởi công thức:

$\mathrm{S}^2=\frac{1}{n}\left[\left(\mathrm{x}_1-\overline{\mathrm{x}}\right)^2+\left(\mathrm{x}_2-\overline{\mathrm{x}}\right)^2+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^2\right]$

Trong đó $\bar{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là S . Ta có $\mathrm{S}=\sqrt{S^2}$.

Chú ý:
- Ta có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

 $S^2 = \frac{1}{n}\left(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2\right) - \bar{x}^2$

- Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là $\hat{s}^2$, được tính bởi công thức:
 
 $\hat{s}^2 = \frac{1}{n-1}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2\right]$

Ví dụ minh họa và lời giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập minh họa về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ, giúp con ôn lại công thức và dễ hình dung cách giải qua từng ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1: Cho mẫu số liệu sau đây: 12; 15; 18; 14; 15; 19; 35; 11; 16; 14.

a) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Tìm giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (từ bé đến lớn): 11; 12; 14; 14; 15; 15; 16; 18; 19; 35.

a) Khoảng biến thiên:

Giá trị lớn nhất là 35, giá trị nhỏ nhất là 11 .

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $\mathrm{R}=35-11=24$.

Khoảng tứ phân vị:

Cỡ mẫu n=10 (số chẵn).

Tứ phân vị thứ hai (trung vị $\mathrm{Q}_2$ ) là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6:

$\mathrm{Q}_2=\frac{15+15}{2}=15$

Tứ phân vị thứ nhất $\left(\mathrm{Q}_1\right)$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $\mathrm{Q}_2$ (gồm 5 giá trị: 11; 12; $14 ; 14 ; 15$ ). Do đó, $\mathrm{Q}_1=14$.

Tứ phân vị thứ ba $\left(\mathrm{Q}_3\right)$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $\mathrm{Q}_2$ (gồm 5 giá trị: 15; 16; $18 ; 19 ; 35)$. Do đó, $\mathrm{Q}_3=18$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: $\Delta Q=Q_3-Q_1=18-14=4$.

b) Để tìm giá trị ngoại lệ, ta xác định các giới hạn:

Giới hạn dưới: $Q_1 - 1.5 \times \Delta_Q = 14 - 1.5 \times 4 = 8$

Giới hạn trên: $Q_3 + 1.5 \times \Delta_Q = 18 + 1.5 \times 4 = 24$

Giá trị ngoại lệ là các giá trị x nằm ngoài khoảng [8; 24], tức là $\mathrm{x}<8$ hoặc $\mathrm{x}>24$. Đối chiếu với mẫu số liệu đã cho, ta thấy có giá trị $35>24$.

Kết luận: Mẫu số liệu trên có một giá trị ngoại lệ là 35.

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu sau: 7; 14; 9; 21; 26; 34.

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\bar{x}=\frac{7+14+9+21+26+34}{6}=18,5 .$

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

$\mathrm{S}^2=\frac{1}{n}\left[\left(\mathrm{x}_1-\overline{\mathrm{x}}\right)^2+\left(\mathrm{x}_2-\overline{\mathrm{x}}\right)^2+\ldots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^2\right]$

Thay số ta có:

$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2]$

Thay số ta có:

$S^2 = \frac{1}{6} \left[ (7-18{,}5)^2 + (14-18{,}5)^2 + (9-18{,}5)^2 + (21-18{,}5)^2 + (26-18{,}5)^2 + (34-18{,}5)^2 \right]$

$S^2 = \frac{1}{6} [132{,}25 + 20{,}25 + 90{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 + 240{,}25]$

$S^2 = \frac{545{,}5}{6} \approx 90{,}92$

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 90,92.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $\mathrm{S}=\sqrt{S^2}=\sqrt{90,92} \approx 9,54$.

Ví dụ 3: Cho bảng số liệu sau đây về điểm thi khảo sát (thang điểm 100) của 20 học sinh:

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là [40; 50). 

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Lời giải

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm để dễ quan sát: 43; 47; 51; 52; 56; 59; 62; 63; 65; 68; 69; 72; 74; 75; 77; 78; 81; 84; 88; 95.

Ghép nhóm các số liệu với nhóm đầu tiên là [40; 50) và độ dài mỗi nhóm là 10, ta được bảng tần số ghép nhóm sau:

b) 1. Đối với mẫu số liệu gốc (chưa ghép nhóm):

Khoảng biến thiên:

$\mathrm{R}=x_{\max }-x_{\min }=95-43=52 .$

Khoảng tứ phân vị:
Cỡ mẫu $\mathrm{n}=20$.
\begin{itemize}
\item[-] Tứ phân vị thứ nhất $\left(\mathrm{Q}_1\right)$ là trung vị của nửa số liệu đầu tiên (10 giá trị): 43; 47;

$51 ; 52 ; 56 ; 59 ; 62 ; 63 ; 65 ; 68 . \mathrm{Q}_1=\frac{56+59}{2}=57,5 .$

\item[-] Tứ phân vị thứ ba $\left(\mathrm{Q}_3\right)$ là trung vị của nửa số liệu sau (10 giá trị): 69; 72; 74;

$75 ; 77 ; 78 ; 81 ; 84 ; 88 ; 95 . \mathrm{Q}_3=\frac{77+78}{2}=77,5 .$

\item[-] Khoảng tứ phân vị: $\Delta \mathrm{Q}=\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1=77,5-57,5=20$.
\end{itemize}

2. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm:

Khoảng biến thiên:

Mẫu số liệu ghép nhóm có đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 100 và đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 40.

R’ = 100 - 40 = 60

Khoảng tứ phân vị:

Ta có bảng tần số tích lũy:

Ta có $\frac{n}{4}=\frac{20}{4}=5$. Giá trị này nằm trong nhóm $[50 ; 60)$.

Áp dụng công thức: $\mathrm{Q}^{\prime}{ }_1=\mathrm{L}_1+\frac{\frac{n}{4}-c f_{1-1}}{f_1} \times \mathrm{c}=50+\frac{5-2}{4} \times 10=50+7,5=57,5$.
Ta có $\frac{3 n}{4}=\frac{3 \times 20}{4}=15$. Giá trị này nằm trong nhóm [70; 80).

Áp dụng công thức: $Q^{\prime}{ }_3=L_3+\frac{\frac{3 n}{4}-c f_{3-1}}{f_3} \times \mathrm{c}=70+\frac{15-11}{5} \times 10=70+8=78$.

Khoảng tứ phân vị: $\Delta^{\prime} \mathrm{Q}=\mathrm{Q}^{\prime}{ }_3-\mathrm{Q}^{\prime}{ }_1=78-57,5=20,5$.
Các giá trị tính từ mẫu số liệu gốc $(\mathrm{R}=52$ và $\Delta \mathrm{Q}=20)$ là các giá trị chính xác.

Các giá trị tính từ mẫu số liệu ghép nhóm (R' = 60 và Δ'Q = 20,5) chỉ là các giá trị xấp xỉ dùng để ước lượng cho mẫu số liệu gốc khi không có dữ liệu chi tiết.

Xem thêm: Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12

Bài tập khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

Dưới đây là các bài tập trắc nghiệm và tự luận về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ, giúp con củng cố kiến thức và luyện tập cách giải.

A. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Khoảng biến thiên (kí hiệu là R) của một mẫu số liệu không ghép nhóm được tính bằng công thức nào? 

A. R = Giá trị trung bình - Giá trị nhỏ nhất 

B. R = Giá trị lớn nhất - Giá trị trung bình 

C. R = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 

D. R = Q₃ - Q₁

Câu 2: Khoảng tứ phân vị (kí hiệu là $\Delta_Q$ hoặc $\Delta Q$) của mẫu số liệu được định nghĩa là:

A. $\Delta Q = Q_3 - Q_1$

B. $\Delta Q = Q_3 + Q_1$

C. $\Delta Q = \frac{Q_3 - Q_1}{2}$

D. $\Delta Q = Q_2 - Q_1$

Câu 3: Ý nghĩa chính của khoảng tứ phân vị (∆Q) là gì?

A. Đo lường sự phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

B. Đo lường sự phân tán của 50% số liệu ở vị trí chính giữa mẫu.

C. Xác định giá trị trung bình của mẫu.

D. Xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Câu 4: Khi thống kê số liệu, ta ưu tiên sử dụng khoảng tứ phân vị thay vì khoảng biến thiên trong trường hợp nào?

A. Khi mẫu số liệu có kích thước rất nhỏ.

B. Khi mẫu số liệu đồng đều, không có sự chênh lệch lớn.

C. Khi mẫu số liệu chứa các giá trị ngoại lệ (quá lớn hoặc quá nhỏ).

D. Khi cần tính toán nhanh chóng.

Câu 5: Cho mẫu số liệu sau: 3, 5, 7, 9, 11, 15, 20. Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu này là: 

A. 11

B. 15

C. 17

D. 20

Câu 6: Cho mẫu số liệu về thời gian tự học (giờ/tuần) của 7 học sinh: 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là: 

A. 10

B. 7

C. 5

D. 8

Câu 7: Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất Q1 = 12 và tứ phân vị thứ ba Q3 = 20. Một giá trị x trong mẫu được coi là giá trị ngoại lệ (outlier) nếu nó thỏa mãn điều kiện nào dưới đây? 

A. x < 0 hoặc x > 32

B. x < 8 hoặc x > 24

C. x < 4 hoặc x > 28

D. x < -12 hoặc x > 44

Câu 8: Cho mẫu số liệu: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 25. Giá trị nào sau đây là giá trị ngoại lệ của mẫu? 

A. 1 

B. 9 

C. 25 

D. Không có giá trị ngoại lệ.

Câu 9: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định bằng: 

A. Hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa số liệu.

B. Hiệu số giữa giá trị đại diện của nhóm cuối cùng và nhóm đầu tiên.

C. Hiệu số giữa tần số lớn nhất và tần số nhỏ nhất.

D. Hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu ghép nhóm.

Câu 10: Cho bảng tần số ghép nhóm về chiều cao (cm) của 40 học sinh như sau: [150; 155) có 5 học sinh, [155; 160) có 15 học sinh, [160; 165) có 12 học sinh, [165; 170) có 8 học sinh. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là: 

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

Câu 11: Một cửa hàng ghi lại số lượng sản phẩm bán được mỗi ngày trong 9 ngày: 15, 18, 20, 21, 25, 28, 30, 32, 50. Khoảng tứ phân vị (∆Q) của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? 

A. 12

B. 35

C. 20

D. 19

Câu 12: Xét tiếp dữ liệu ở Câu 11 (Q1 = 19, Q3 = 31). Giá trị 50 có phải là giá trị ngoại lệ không? 

A. Có, vì 50 > Q3 + 1,5.∆Q.

B. Không, vì 50 nằm trong khoảng bình thường.

C. Có, vì 50 lớn hơn trung bình cộng.

D. Không thể xác định được.

Câu 13: Nhược điểm lớn nhất của việc sử dụng khoảng biến thiên (R) để đo độ phân tán là gì? 

A. Khó tính toán đối với mẫu số liệu lớn.

B. Không sử dụng được cho số liệu ghép nhóm.

C. Bị ảnh hưởng rất mạnh bởi các giá trị ngoại lệ.

D. Không có đơn vị đo.

Câu 14: Cho một mẫu số liệu ghép nhóm có Q1 = 45, Q2 = 50, Q3 = 60. Khoảng tứ phân vị của mẫu này là: A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

Câu 15: Trong biểu đồ hộp (Box plot), độ dài của "hộp" (phần hình chữ nhật) thể hiện đại lượng thống kê nào? 

A. Khoảng biến thiên

B. Khoảng tứ phân vị

C. Độ lệch chuẩn

D. Phương sai

Đáp án

1. C | 2. A | 3. B | 4. C | 5. C

6. B | 7. A | 8. C | 9. A | 10. C

11. A | 12. A | 13. C | 14. C | 15. B

B. Phần tự luận

Bài 1: Số điểm ghi được của một cầu thủ bóng rổ trong 7 trận đấu liên tiếp là: 12, 18, 14, 25, 21, 16, 28.

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên. 

b) Tìm các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Bài 2: Thời gian (tính bằng phút) đi từ nhà đến trường của 8 học sinh được ghi lại như sau: 15, 20, 12, 25, 18, 30, 22, 10. Tính khoảng tứ phân vị (∆Q) của mẫu số liệu.

Bài 3: Một cửa hàng thống kê số lượng xe đạp bán được mỗi tháng trong năm vừa qua như sau: 5, 7, 6, 8, 7, 9, 8, 10, 6, 7, 8, 35. 

a) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu. 

b) Xác định xem trong mẫu số liệu trên có giá trị ngoại lệ (outlier) nào không? Giải thích vì sao.

Bài 4: Khảo sát chiều cao (cm) của 40 học sinh lớp 12A, ta thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:

Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 5: Xét lại bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao của 40 học sinh ở Bài 4. Hãy tính tứ phân vị thứ nhất (Q1), tứ phân vị thứ ba (Q3) và khoảng tứ phân vị (Q) của mẫu số liệu này. (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Bài 6: Để so sánh chất lượng máy đóng gói đường của hai dây chuyền A và B, người ta cân thử 9 gói đường (đơn vị: gam) từ mỗi dây chuyền và được kết quả:

Dây chuyền A: 495, 498, 500, 501, 502, 500, 499, 503, 505.

Dây chuyền B: 490, 495, 500, 502, 505, 510, 508, 492, 498.

Sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, hãy đánh giá xem dây chuyền nào hoạt động ổn định hơn (khối lượng gói đường ít biến động hơn).

Bài 7: Thống kê thời gian truy cập internet (giờ/tuần) của một nhóm học sinh cho kết quả: 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22, 45. Bạn An cho rằng giá trị 45 là một giá trị ngoại lệ do học sinh này nghiện game. Bằng các phép toán thống kê, hãy kiểm chứng nhận định của bạn An là đúng hay sai.

Bài 8: Cho dãy số liệu về điểm kiểm tra của 6 học sinh: 4, 5, 6, 7, 8, x (với x>8). Tìm điều kiện của x để x bị coi là một giá trị ngoại lệ (cực kì xuất sắc) của mẫu số liệu này.

Bài 9: Một giáo viên thống kê điểm thi của 40 học sinh. Cô giáo nhận thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R=6 và khoảng tứ phân vị là Q=2.5. Sau đó, cô giáo phát hiện mình chấm thiếu điểm cộng nên quyết định cộng thêm cho mỗi học sinh 1.5 điểm. Hỏi khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu mới bằng bao nhiêu? Giải thích.

Bài 10: Một nhà đầu tư đang cân nhắc mua cổ phiếu của công ty X. Lợi nhuận hàng tháng (tính bằng %) của công ty X trong 50 tháng qua được thống kê dưới dạng bảng ghép nhóm:

Hãy tính khoảng tứ phân vị về lợi nhuận của công ty X. Dựa vào đó, hãy phân tích độ rủi ro của việc đầu tư vào công ty này (Biết rằng khoảng tứ phân vị càng lớn, rủi ro biến động càng cao).

Hy vọng phần tổng hợp trên giúp con hiểu rõ hơn về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ, từ đó biết cách lựa chọn công thức và xử lý từng dạng bài chính xác. Nếu muốn củng cố kiến thức và rèn kỹ năng làm bài Toán 12 theo từng chuyên đề, con có thể tham khảo các khóa học Toán tại Học là Giỏi để được hướng dẫn bài bản và luyện tập phù hợp với năng lực.