Cách nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong hình học lớp 11

Tổng quan về vectơ và quan hệ góc trong không gian

Trong hình học không gian, vectơ là một đại lượng có hướng và độ dài, được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có mũi tên. Mỗi vectơ thường được ký hiệu là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\dots$, trong đó điểm đầu và điểm cuối thể hiện hướng đi của vectơ.

Hai vectơ trong không gian được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, cùng phương và cùng chiều. Một vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ - không và thường ký hiệu là $\overrightarrow{0}$.

Các phép toán cơ bản với vectơ

Trong chương trình Toán lớp 11, học sinh sẽ thường xuyên sử dụng các phép toán sau với vectơ trong không gian:

- Phép cộng hai vectơ: Áp dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc đầu - đuôi.

- Phép trừ vectơ: Dựa trên khái niệm đối vectơ, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Nhân vectơ với một số thực: Kết quả là một vectơ cùng phương với vectơ ban đầu, độ dài thay đổi theo giá trị tuyệt đối của số nhân.

- Tích vô hướng (tích trong): Dùng để tính góc giữa hai vectơ, theo công thức:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mid \overrightarrow{\mathrm{a}}\mid \cdot \mid \overrightarrow{\mathrm{b}}\mid \cdot \cos \left(\theta \right)$

với θ là góc giữa hai vectơ.

Khái niệm góc trong không gian

Góc trong không gian là đại lượng dùng để đo mức độ lệch giữa hai yếu tố hình học như hai vectơ, hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng.

Mỗi góc đều nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ.
 

Khi xét góc giữa các đối tượng hình học, ta luôn lấy góc nhọn hoặc góc tù nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ, tùy quy ước cụ thể.

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian được hiểu là góc nhỏ nhất được tạo bởi hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, góc giữa chúng chính là góc nhọn được tạo tại giao điểm. Còn nếu hai đường thẳng chéo nhau, không cắt nhau và không song song, ta vẫn xác định được góc giữa chúng thông qua các vectơ chỉ phương.

Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ (tức từ 0 đến π/2 radian). Khi tính toán, nếu kết quả lớn hơn 90 độ thì ta lấy góc bù để đảm bảo đúng quy ước là góc nhọn.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp 1 – Áp dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác:
Khi biết độ dài ba cạnh của một tam giác, có thể sử dụng công thức lượng giác để tính góc giữa hai đường thẳng tạo nên tam giác đó. Cụ thể, nếu tam giác có các cạnh lần lượt là a, b, c, thì:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Phương pháp 2 – Sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng:
Khi đã biết vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, ta có thể áp dụng công thức sau để tính góc giữa chúng:

$\cos \phi =\mid \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mid =\mid \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\parallel \overrightarrow{\mathrm{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathrm{v}}\parallel }\mid$

Trong đó:

$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ là tích vô hướng của hai vectơ.

$\parallel \overrightarrow{\mathrm{u}}\parallel$và $\parallel \overrightarrow{v}\parallel$ là độ dài của hai vectơ.

Lưu ý:
Khi cần tính các tích vô hướng hoặc độ dài vectơ, bạn có thể chọn ba vectơ không đồng phẳng có độ dài và góc đã biết, sau đó biểu diễn vectơ cần tính thông qua tổ hợp tuyến tính của ba vectơ này để thuận tiện cho việc tính toán.

Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa và tính chất cơ bản

Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và tạo với nhau một góc bằng 90 độ. Góc này chính là góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, khi hai vectơ đó cùng có điểm đầu và tạo thành một góc vuông.

Ký hiệu: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, ta viết:

$a \perp b$

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian ba chiều, nếu ta có hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác vectơ không, thì tích vô hướng giữa chúng là một số thực, được tính theo công thức:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid \cdot \mid \overrightarrow{v}\mid \cdot \cos \left(\theta \right)$

Trong đó:

-$\mid \overrightarrow{\mathrm{u}}\mid$ và $\mid \overrightarrow{\mathrm{v}}\mid$ là độ dài của hai vectơ,

- θ là góc giữa hai vectơ.

Trong trường hợp một trong hai vectơ là vectơ không, ta quy ước tích vô hướng bằng 0:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\text{ hoặc }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Để xác định hai đường thẳng trong không gian có vuông góc hay không, ta thường sử dụng vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.

- Gọi $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, $\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b.

- Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

tức là tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương bằng 0.

Lưu ý: Điều kiện này chỉ áp dụng khi hai đường cắt nhau, không áp dụng cho đường chéo nhau.

Tính chất cơ bản hai đường thẳng vuông góc

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, chúng có những tính chất sau:

- Góc giữa hai đường thẳng bằng đúng 90 độ.

- Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và có vectơ chỉ phương vuông góc thì điểm giao nhau chính là đỉnh của góc vuông tạo bởi hai đường.

- Trong hình học không gian, hai đường thẳng vuông góc thường xuất hiện trong các hình khối như hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp, đặc biệt là khi xét các đường cao, cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Cách xác định hai đường thẳng vuông góc

Để xác định được hai đường thẳng vuông góc trong không gian cần:

- Tìm vectơ chỉ phương của từng đường thẳng (thường dựa vào tọa độ hoặc phương trình tham số).

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ này. Nếu kết quả bằng 0 và hai đường thẳng cắt nhau, thì kết luận hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ minh họa:

Cho hai đường thẳng $a$a và $b$b với vectơ chỉ phương tương ứng là

$\overrightarrow{u}=(1;2;-1),\overrightarrow{v}=(2;-1;0)$

Tính tích vô hướng:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=2-2+0=0$

Nếu a và b cắt nhau, thì a⊥b.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Dưới đây là các phương pháp cơ bản và thường gặp để chứng minh mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng. 

Phương pháp sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Nguyên tắc:

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ.

- Nếu biết vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, ta có thể sử dụng tích vô hướng để kiểm tra góc giữa hai vectơ đó.

Cách làm:

- Gọi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

- Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. Nếu $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ thì hai vectơ vuông góc, từ đó suy ra hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ:

Cho đường thẳng $d_1$​ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-1)$ và đường thẳng $d_2$​ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=(2;-1;0)$.

Ta có:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=2-2+0=0$

Suy ra $d_1 \perp d_2$​.

Phương pháp thông qua tam giác vuông

Nguyên tắc:

Nếu hai đường thẳng là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông trong không gian thì chúng vuông góc với nhau.

Cách làm:

- Xác định ba điểm A, B, C sao cho tạo thành tam giác ABC với một góc vuông.

- Nếu AB và AC là hai cạnh kề tạo thành góc vuông tại A thì AB và AC vuông góc.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A, tọa độ:
A(0;0;0),B(2;0;0),C(0;3;0)
$\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;3;0)$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\cdot 0+0\cdot 3=0$
Suy ra AB⊥AC.

Lưu ý: Nên sử dụng trong các bài có dữ kiện hình học rõ ràng như hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

Phương pháp sử dụng định lý tích vô hướng

Nguyên tắc:

Áp dụng định lý: Nếu hai vectơ có tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc.

Cách làm:

- Xác định hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ đại diện cho hai đường thẳng.

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ.

- Dựa vào kết quả để kết luận hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng bằng 0.

Ví dụ:

$\overrightarrow{u}=(3;1;-2),\overrightarrow{v}=(2;0;3)$
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=3\cdot 2+1\cdot 0+(-2)\cdot 3=6+0-6=0$
Vậy hai đường thẳng mang vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ vuông góc.

Phương pháp hình học trong các hình khối quen thuộc

Nguyên tắc:

Áp dụng các tính chất vuông góc đặc trưng trong các hình khối như hình lập phương, hình chóp, hình hộp chữ nhật.

Cách làm:

- Phân tích các đường thẳng trong hình học không gian dựa trên kiến thức về các cạnh, đường cao, đường chéo, mặt phẳng vuông góc.

- Dựa vào quan hệ hình học đã biết trong khối, rút ra hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ:

Trong hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, ta có cạnh AB vuông góc với AD, hoặc AB vuông góc với AA’.

Phương pháp sử dụng mặt phẳng trung gian

Nguyên tắc:

Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

Cách làm:

Giả sử có đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P, và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng P.

Khi đó a⊥b.

Điều kiện áp dụng:

- Phải chứng minh được rằng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.

- Phương pháp này thường dùng trong các bài toán về hình chóp và hình lăng trụ.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC với đáy tam giác ABC nằm trên mặt phẳng đáy. Nếu SA⊥(ABC), và AB∈(ABC), thì SA⊥AB.

Bài tập hai đường thẳng vuông góc

Dạng cơ bản

Bài 1.

Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng hai đường thẳng AC và B′D vuông góc với nhau.

Lời giải:

Trong hình lập phương:

- AC là đường chéo mặt đáy ABCD.

- B′D nối đỉnh thuộc mặt trên và mặt đáy.

Xét mặt đáy ABCD, ta có:

- AC nằm trong mặt phẳng (ABCD),

- B′D⊥(ABCD) (vì B′D vuông góc với mặt đáy trong hình lập phương).

⇒ B′D⊥AC (vì đường vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường nằm trong mặt đó).

Kết luận: AC⊥B′D.

Bài 2.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA⊥(ABC). Chứng minh rằng SA⊥BC.

Lời giải:

Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC (do BC⊂(ABC)).

Kết luận: SA⊥BC.

Bài 3.

Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh AC⊥BD′.

Lời giải:

- AC⊂(ABCD),

- BD′ nối từ B∈(ABCD) lên đến D′∈(A′B′C′D′),

- Trong hình hộp chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau vuông góc nếu không đồng phẳng.

=> Kiểm tra vectơ:
Gọi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BD\text{'}}$, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$. Nếu kết quả bằng 0, hai vectơ vuông góc.

(Làm cụ thể với tọa độ nếu cần).

Kết luận: AC⊥BD′.

Bài 4.

Đề bài: Trong không gian cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau là (P)⊥(Q). a⊂(P), b⊂(Q), biết a⊥b. Chứng minh a⊥b theo định nghĩa đường thẳng vuông góc.

Lời giải:

- Do (P)⊥(Q),

- a⊂(P),b⊂(Q),

- Nếu a⊥b tại giao điểm O, thì theo định nghĩa, a⊥b.

Kết luận: a⊥b.

Dạng nâng cao

Bài 5:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi M là trung điểm đoạn AC, N là trung điểm đoạn B′D. Chứng minh rằng hai đường thẳng MN và BD vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Gán tọa độ cho các điểm trong hình lập phương

Chọn hệ trục tọa độ:

A(0;0;0),

B(a;0;0),

C(a;a;0),

D(0;a;0),

A′(0;0;a),

B′(a;0;a),

C′(a;a;a),

D′(0;a;a)

Bước 2: Tọa độ điểm M và N

$AC: A(0; 0; 0), C(a; a; 0) \Rightarrow M = \left( \frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0 \right)$

$B'(a; 0; a), D(0; a; 0) \Rightarrow N = \left( \frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2} \right)$

Bước 3: Vector $\overrightarrow{MN}$ và vector $\overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{MN}=N-M=(0;0;\frac{a}{2})$

$B(a;0;0),D(0;a;0)\Rightarrow \overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$

Bước 4: Tính tích vô hướng

$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BD}=0\cdot (-a)+0\cdot a+\frac{a}{2}\cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{BD}$

Kết luận:
Hai đường thẳng MN và BD vuông góc với nhau.

Bài 6.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), độ dài SA=a. Chứng minh SC⊥BD.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, thì:

- BD là đường chéo đáy,

- SC nằm trong tam giác đều cạnh $a\sqrt{2}$​.

- Tam giác SBD đều ⇒ SO⊥BD,

- SC vuông góc với BD tại điểm trung gian O vì SC đi qua S, và vuông góc với mặt đáy.

=> SC⊥BD

Bài 7.

Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, SA⊥(ABC), SA=a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh SG⊥BC.

Lời giải:

- SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥BC,

- G∈(ABC), SG là đoạn nối đỉnh đến trọng tâm đáy,

- Tam giác đều ⇒ trọng tâm là trực tâm,

=> Tam giác SAG vuông tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy tại G.

=> SG⊥BC.

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức cơ bản về hai đường thẳng song song 

Việc hiểu và vận dụng đúng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc sẽ giúp bạn xử lý tốt các dạng toán không gian từ cơ bản đến nâng cao. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi mong rằng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn và củng cố vững chắc kiến thức về hai đường thẳng vuông góc nhé.