Tổng hợp công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn dễ nhớ

Khái niệm cơ bản về phương sai và độ lệch chuẩn

1. Phương sai (Variance)

Trong thống kê, ngoài giá trị trung bình, người ta thường quan tâm đến mức độ phân tán của dữ liệu. Ví dụ, nếu trong một lớp học có học sinh đạt điểm rất cao và có học sinh đạt điểm rất thấp thì dù điểm trung bình của lớp vẫn giữ nguyên, sự phân tán này cần được đo lường một cách chính xác. Phương sai chính là công cụ được sử dụng để mô tả điều đó.

Định nghĩa phương sai: Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch giữa từng giá trị dữ liệu và giá trị trung bình của tập dữ liệu.

Công thức tính phương sai (đối với tổng thể) là:

$σ^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - μ)^2$

Trong đó:

$x_i$​: từng giá trị trong tập dữ liệu.

$μ$: giá trị trung bình cộng của toàn bộ tập dữ liệu.

N: số lượng phần tử trong tập dữ liệu tổng thể.

Khi làm việc với mẫu thay vì toàn bộ tổng thể, công thức phương sai được điều chỉnh để tránh sai lệch ước lượng. Trường hợp này, mẫu số là n−1 thay vì n:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Trong đó:

$x_i$​: từng giá trị trong mẫu dữ liệu.

$\overline{x}$: giá trị trung bình của mẫu.

n: số phần tử trong mẫu dữ liệu.

Tại sao lại sử dụng bình phương độ lệch?
Nếu chỉ lấy hiệu số giữa từng giá trị với giá trị trung bình rồi cộng lại, kết quả luôn bằng 0 vì phần dương và phần âm triệt tiêu lẫn nhau. Do đó, cần phải bình phương các độ lệch để loại bỏ dấu âm, đồng thời nhấn mạnh những giá trị nằm xa trung bình. 

Ý nghĩa của phương sai:

- Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng quanh giá trị trung bình. 

- Phương sai càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình. 

Trong thực tế, phương sai thường được sử dụng để phân tích dữ liệu trong nghiên cứu khoa học, trong tài chính để đo lường rủi ro, hoặc trong nhiều lĩnh vực khác cần đánh giá mức độ ổn định và biến động.

2. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Phương sai cung cấp một cách nhìn chi tiết về sự phân tán dữ liệu, nhưng có một điểm hạn chế là đơn vị đo của nó không giống với đơn vị ban đầu của dữ liệu. Nếu dữ liệu gốc được đo bằng mét, phương sai lại có đơn vị mét vuông. Để khắc phục vấn đề này, người ta sử dụng một đại lượng khác là độ lệch chuẩn.

Định nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.

Công thức tính độ lệch chuẩn:

Với tổng thể:

$σ = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - μ)^2}$

Với mẫu:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Như vậy, khi lấy căn bậc hai, độ lệch chuẩn trở về đúng đơn vị gốc của dữ liệu, chẳng hạn mét, kilogram, điểm số,… Điều này giúp kết quả dễ hình dung hơn nhiều so với phương sai.

Ý nghĩa của độ lệch chuẩn:

- Độ lệch chuẩn càng lớn cho thấy dữ liệu phân tán mạnh, các giá trị có sự khác biệt đáng kể so với trung bình. 

- Độ lệch chuẩn càng nhỏ cho thấy dữ liệu ổn định, các giá trị gần với trung bình. 

- Độ lệch chuẩn bằng 0 đồng nghĩa với việc toàn bộ dữ liệu đều bằng nhau, không có sự biến động. 

Ứng dụng của độ lệch chuẩn:
Trong thực tiễn, độ lệch chuẩn được sử dụng rất nhiều. Trong tài chính, nó được áp dụng để đánh giá rủi ro của các khoản đầu tư. Trong giáo dục, độ lệch chuẩn giúp đánh giá sự đồng đều trong kết quả học tập của học sinh. Trong sản xuất, độ lệch chuẩn cho biết mức độ ổn định của quy trình sản xuất.

Phân biệt phương sai và độ lệch chuẩn

Khi nghiên cứu dữ liệu, phương sai và độ lệch chuẩn thường xuất hiện cùng nhau. Tuy nhiên, hai khái niệm này có những điểm khác biệt rõ ràng về đơn vị đo, khả năng diễn giải và mục đích sử dụng.

1. Bảng so sánh phương sai và độ lệch chuẩn

2. Mối quan hệ toán học

Phương sai và độ lệch chuẩn không tồn tại tách biệt, mà có mối quan hệ trực tiếp với nhau. Độ lệch chuẩn thực chất là căn bậc hai của phương sai. 

Công thức thể hiện mối quan hệ:

$σ = \sqrt{σ^2}$

​ $s = \sqrt{s^2}$

Trong đó:

$σ^2$: phương sai của tổng thể.

$s^2$: phương sai của mẫu.

$σ$: độ lệch chuẩn của tổng thể.

$s$: độ lệch chuẩn của mẫu.

Ý nghĩa:

- Phương sai cung cấp thước đo bằng bình phương của độ lệch. 

- Độ lệch chuẩn lấy căn bậc hai của phương sai để đưa kết quả trở về đúng đơn vị ban đầu của dữ liệu.

Ví dụ minh họa ứng dụng

Để hiểu rõ cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, hãy cùng xem một ví dụ thực tế với dữ liệu điểm thi Toán của 5 học sinh:

Dữ liệu: 6, 7, 7, 8, 12

Bước 1: Tính trung bình cộng

$\bar{x} = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$

Vậy, giá trị trung bình của cả lớp là 8 điểm.

Bước 2: Tính phương sai (σ²)

Công thức phương sai tổng thể:

$σ^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$

Trong đó:

$x_i$​: từng giá trị dữ liệu

$\overline{x}$: giá trị trung bình

N: số lượng phần tử trong tập dữ liệu

Áp dụng vào dữ liệu:

$σ^2 = \frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (12-8)^2}{5}$

​ $σ^2 = \frac{4 + 1 + 1 + 0 + 16}{5} = \frac{22}{5} = 4.4$

Vậy, phương sai bằng 4.4.

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (σ)

Công thức:

$σ = \sqrt{σ^2} = \sqrt{4.4} ≈ 2.1$

Kết quả: Độ lệch chuẩn của dữ liệu là 2.1.

Điều này cho thấy điểm số của học sinh dao động trung bình khoảng ±2.1 điểm quanh mức 8. Nói cách khác, phần lớn học sinh có điểm số gần với giá trị trung bình, dữ liệu không quá phân tán.

Sử dụng công cụ hỗ trợ tính phương sai và độ lệch chuẩn

Trong thực tế, khi tập dữ liệu lớn hơn, việc tính toán thủ công sẽ mất nhiều thời gian và dễ sai sót. Bạn có thể sử dụng công cụ hỗ trợ như máy tính Casio fx-570VN Plus hoặc Microsoft Excel để xử lý nhanh chóng.

1. Tính bằng máy tính Casio fx-570VN Plus

Các bước thực hiện:

- Bật máy tính, chọn chế độ MODE → STAT.

- Chọn 1-VAR để nhập dữ liệu một biến.

- Nhập lần lượt các giá trị: 6, 7, 7, 8, 12.

- Sau khi nhập xong, bấm AC để thoát màn hình nhập.

- Nhấn SHIFT + 1 → Var.

- Chọn σx để xem kết quả độ lệch chuẩn, hoặc chọn σx² để xem phương sai.

Kết quả hiển thị sẽ giống như khi tính tay: phương sai khoảng 4.4, độ lệch chuẩn khoảng 2.1.

2. Tính bằng Microsoft Excel

Excel cung cấp sẵn các hàm thống kê, rất tiện lợi khi xử lý dữ liệu nhiều giá trị.

Phương sai:

=VAR.P(range) cho phương sai tổng thể.

=VAR.S(range) cho phương sai mẫu.

Độ lệch chuẩn:

=STDEV.P(range) cho độ lệch chuẩn tổng thể.

=STDEV.S(range) cho độ lệch chuẩn mẫu.

Trong ví dụ này, nếu nhập dữ liệu 6, 7, 7, 8, 12 vào ô A1 đến A5, bạn có thể nhập công thức:

=VAR.P(A1:A5) → kết quả 4.4

=STDEV.P(A1:A5) → kết quả xấp xỉ 2.1

Bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn

Hệ thống bài tập dưới đây sẽ giúp bạn rèn luyện hiệu quả và ôn tập lại kiến thức một cách chắc chắn.

Dạng cơ bản

Bài 1: Tính phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn tổng thể

Dữ liệu: 2, 4, 6

Yêu cầu: Tính giá trị trung bình, phương sai tổng thể $σ^2$ và độ lệch chuẩn tổng thể $σ$.

Lời giải:

Trung bình: $\bar{x} = \dfrac{2+4+6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4.$

Tính các bình phương độ lệch:
$(2-4)^2 = 4,\; (4-4)^2 = 0,\; (6-4)^2 = 4.$

Tổng các bình phương độ lệch: 4+0+4=8.

Phương sai tổng thể:
$σ^2 = \dfrac{8}{N} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}6667.$

Độ lệch chuẩn:
$σ = \sqrt{σ^2} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1{,}633.$

Kết quả: $\bar{x}=4,\; σ^2 \approx 2{,}6667,\; σ \approx 1{,}633.$

Bài 2: Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu

Dữ liệu (mẫu): 5, 7, 7, 9

Yêu cầu: Tính trung bình mẫu $\overline{x}$, phương sai mẫu $s^2$ (dùng mẫu số n−1), và độ lệch chuẩn mẫu $s$.

Lời giải:

Trung bình: $\bar{x} = \dfrac{5+7+7+9}{4} = \dfrac{28}{4} = 7.$

Bình phương độ lệch:
$(5-7)^2 = 4,\; (7-7)^2 = 0,\; (7-7)^2 = 0,\; (9-7)^2 = 4.$

Tổng các bình phương độ lệch: 4+0+0+4=8.

Phương sai mẫu:
$s^2 = \dfrac{8}{n-1} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}6667.$

Độ lệch chuẩn mẫu:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1{,}633.$

Kết quả: $\bar{x}=7,\; s^2 \approx 2{,}6667,\; s \approx 1{,}633.$

Bài 3: Bảng tần số

Dữ liệu (tần số): giá trị 1 có tần số 2; giá trị 2 có tần số 3; giá trị 3 có tần số 5. (Tổng N = 10)

Yêu cầu: Tính trung bình, phương sai tổng thể $σ^2$ và độ lệch chuẩn $σ$.

Lời giải::
$\bar{x} = \dfrac{1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot5}{10} = \dfrac{2 + 6 + 15}{10} = \dfrac{23}{10} = 2{,}3.$

Tính từng thành phần $f_i(x_i - \bar{x})^2$:

Với x=1,f=2: $(1-2{,}3)^2 = 1{,}69$ → $f\cdot(...) = 2\cdot1{,}69 = 3{,}38.$

Với x=2,f=3: $(2-2{,}3)^2 = 0{,}09$ → 3⋅0,09=0,27.

Với x=3,f=5: $(3-2{,}3)^2 = 0{,}49$ → $5\cdot0{,}49 = 2{,}45.$

Tổng: 3,38+0,27+2,45=6,10.

Phương sai tổng thể:
$σ^2 = \dfrac{6{,}10}{10} = 0{,}61.$

Độ lệch chuẩn:
$σ = \sqrt{0{,}61} \approx 0{,}7810.$

Kết quả: $\bar{x}=2{,}3,\; σ^2=0{,}61,\; σ\approx 0{,}781.$

Dạng nâng cao

Bài 4: Dữ liệu ghép lớp 

Dữ liệu: lớp giữa 10 có f=4; 20 có f=6; 30 có f=5; 40 có f=5. (Tổng N = 20)

Yêu cầu: Tính trung bình tổng thể, phương sai tổng thể $σ^2$ và độ lệch chuẩn $σ$.

Lời giải:

Trung bình:
$\bar{x} = \dfrac{10\cdot4 + 20\cdot6 + 30\cdot5 + 40\cdot5}{20}$
Tính tử số: $10\cdot4 =40,\;20\cdot6=120,\;30\cdot5=150,\;40\cdot5=200.$
Tổng = 40+120+150+200=510.
Vậy $\bar{x} = \dfrac{510}{20} = 25{,}5.$

Tính từng thành phần $f_i (x_i - \bar{x})^2$:

x=10,f=4: $(10-25{,}5)^2 = 15{,}5^2 = 240{,}25$ → $4\cdot240{,}25 = 961.$

x=20,f=6: $(20-25{,}5)^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25$ → $6\cdot30{,}25 = 181{,}5.$

x=30,f=5: $(30-25{,}5)^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25$ → $5\cdot20{,}25 = 101{,}25.$

x=40,f=5: $(40-25{,}5)^2 = 14{,}5^2 = 210{,}25$ → $5\cdot210{,}25 = 1\,051{,}25.$

Tổng các thành phần: 961+181,5+101,25+1051,25=2295.

Phương sai tổng thể:
$σ^2 = \dfrac{2\,295}{20} = 114{,}75.$

Độ lệch chuẩn:
$σ = \sqrt{114{,}75} \approx 10{,}712.$

Kết quả: $\bar{x}=25{,}5,\; σ^2=114{,}75,\; σ\approx 10{,}712.$

Bài 5: Dữ liệu mẫu có giá trị âm và dương, tính phương sai mẫu và nhận xét ngắn gọn

Dữ liệu (mẫu): -2, 0, 3, 7, 10

Yêu cầu: Tính trung bình mẫu $\overline{x}$, phương sai mẫu $s^2$ (dùng mẫu số n−1), và độ lệch chuẩn mẫu $s$.

Lời giải:

Trung bình: $\bar{x} = \dfrac{-2 + 0 + 3 + 7 + 10}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6.$

Bình phương độ lệch từng phần:

$(-2 - 3{,}6)^2 = (-5{,}6)^2 = 31{,}36.$

$(0 - 3{,}6)^2 = (-3{,}6)^2 = 12{,}96.$

$(3 - 3{,}6)^2 = (-0{,}6)^2 = 0{,}36.$

$(7 - 3{,}6)^2 = 3{,}4^2 = 11{,}56.$

$(10 - 3{,}6)^2 = 6{,}4^2 = 40{,}96.$

Tổng các bình phương độ lệch:
31,36 + 12,96 + 0,36 + 11,56 + 40,96 = 97,2.

Phương sai mẫu (chia cho n−1=4):
$s^2 = \dfrac{97{,}2}{4} = 24{,}3.$

Độ lệch chuẩn mẫu:
$s = \sqrt{24{,}3} \approx 4{,}930.$

Kết quả: $\bar{x}=3{,}6,\; s^2=24{,}3,\; s\approx 4{,}930.$

Xem thêm:
Tập hợp con là gì? Các trường hợp đặc biệt của tập hợp con

Tập hợp rỗng là gì? Các tính chất của tập hợp rỗng  

Kết luận

Qua phần lý thuyết và các ví dụ minh họa, bạn đã có thể hình dung rõ hơn ý nghĩa cũng như cách tính phương sai và độ lệch chuẩn. Trung tâm gia sư online Học là Giỏi hy vọng bài viết này sẽ tiếp thêm cho bạn sự tự tin trong học tập, đồng thời tạo nền tảng vững chắc để chinh phục những chủ đề tiếp theo nhé.