Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left\{\begin{array}{l}a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}\end{array}\right.$ (I), ở đó mỗi phương trình $a x+by=c$ và $a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}$ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Nếu cặp số $\left(x_0 ; y_0\right)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số $\left(x_0 ; y_0\right)$ được gọi là nghiệm của hệ (I).

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Phương pháp giải hệ phương trình

Chúng ta thường có hai cách để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Sau đây, Học là Giỏi sẽ đi chi tiết từng phương pháp và bài tập minh họa, các em ghi chép cẩn thận nhé!

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:

Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3 x+y=5 & (1) \\5 x-2 y=1 &(2) \end{array}\right.$

Bài giải

Từ phương trình (1), ta có: $y=5-3 x$  (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: $\quad 5 x-2(5-3x)=1$  (4)

Giải phương trình (4):

$\begin{aligned}5 x-2(5-3 x) & =1 \\5x-10+6 x & =1 \\11 x & =11 \\x & =1 .\end{aligned}$

Thay giá trị $x=1$ vào phương trình (3), ta có:

$y=5-3 \cdot 1=2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y)=(1; 2)$.

 Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{cc}3 x+2 y=12 & (1) \\ -2 x+3 y=5 & \text { (2) }\end{array}\right.$

Bài giải

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và nhân hai vế của phương trình (2) với 3 , ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{cc}6 x+4 y=24 & (3) \\ -6 x+9 y=15 & \text { (4) }\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: $13 y=39$ (5)

Giải phương trình (5), ta có: $\quad 13 y=39$, do đó $y=3.$

Thế giá trị $y=3$ vào phương trình (1), ta được phương trình: $3 x+2 .3=12 \quad$ (6)

Giải phương trình (6): $3 x + 6 = 12$

                                    $3 x  =6 $

                                    $x =2$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x ; y)=(2 ;3)$.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có).

- Bước 2: Đặt ẩn phụ.

- Bước 3: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ.

- Bước 4: Giải tìm ẩn theo phương trình ẩn phụ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{5 x}{x-1}-\frac{2}{y+4}=3 \\ \frac{-2 x}{1-x}-\frac{6}{y+4}=-2\end{array}\right.$

Bài giải

Điều kiện: $x \neq 1 ; y \neq-4$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=\frac{x}{x-1} \\ v=\frac{1}{y+4}\end{array}\right.$

+ Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{array}{l}5 u-2 v=3 \\ -2 u-6 v=-2\end{array}\right.$

Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số ta tìm được: $\left\{\begin{array}{l}u=\frac{11}{17} \\ v=\frac{2}{17}\end{array}\right.$

+ Ta có: $\begin{cases} \frac{x}{x-1} = \frac{11}{17} \\ \frac{1}{y+4} = \frac{2}{17} \end{cases}$

+ Giải từng phương trình ta tìm được  $x=-\frac{11}{6}$ và $y=\frac{9}{2}$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x, y)=\left(-\frac{11}{6} ; \frac{9}{2}\right)$

Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập tự luyện cơ bản (có lời giải chi tiết)

Bài 1:

Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

{x+2y=52x−y=1​

Lời giải:

Từ phương trình (1), ta rút $x = 5 - 2y$x=5−2y.

Thay $x = 5 - 2y$x=5−2y vào phương trình (2):

$2(5 - 2y) - y = 1 \quad \Rightarrow \quad 10 - 4y - y = 1 \quad \Rightarrow \quad 10 - 5y = 1 \quad \Rightarrow \quad 5y = 9 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{9}{5}.$

2(5−2y)−y=1⇒10−4y−y=1⇒10−5y=1⇒5y=9⇒y=59​.

Với $y = \frac{9}{5}$y=59​, thay vào $x = 5 - 2y$x=5−2y:

$x = 5 - 2\cdot\frac{9}{5} = 5 - \frac{18}{5} = \frac{25}{5} - \frac{18}{5} = \frac{7}{5}.$

x=5−2⋅59​=5−518​=525​−518​=57​.

Vậy nghiệm của hệ là:

$\boxed{\left(x, y\right) = \left(\frac{7}{5}, \frac{9}{5}\right)}.$

(x,y)=(57​,59​)​.

Bài 2:

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$

{2x+3y=64x−y=5​

Lời giải:

Từ phương trình (2), rút $y = 4x - 5$y=4x−5.

Thay $y = 4x - 5$y=4x−5 vào phương trình (1):

$2x + 3(4x - 5) = 6 \quad \Rightarrow \quad 2x + 12x - 15 = 6 \quad \Rightarrow \quad 14x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}.$

2x+3(4x−5)=6⇒2x+12x−15=6⇒14x=21⇒x=1421​=23​.

Với $x = \frac{3}{2}$x=23​, thay vào $y = 4x - 5$y=4x−5:

$y = 4\cdot\frac{3}{2} - 5 = 6 - 5 = 1.$

y=4⋅23​−5=6−5=1.

Vậy nghiệm của hệ là:

$\boxed{\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right)}.$

(x,y)=(23​,1)​.

B. Bài tập nâng cao (có lời giải chi tiết)

Bài 3:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 3(x + y) - 2(x - y) = 10 \\ 2(x + 2y) + 5(x - y) = 17 \end{cases}$

{3(x+y)−2(x−y)=102(x+2y)+5(x−y)=17​

Lời giải:

Phương trình (1):

$3(x + y) - 2(x - y) = 10 \quad \Rightarrow \quad 3x + 3y - 2x + 2y = 10 \quad \Rightarrow \quad x + 5y = 10.$

3(x+y)−2(x−y)=10⇒3x+3y−2x+2y=10⇒x+5y=10.

Phương trình (2):

$2(x + 2y) + 5(x - y) = 17 \quad \Rightarrow \quad 2x + 4y + 5x - 5y = 17 \quad \Rightarrow \quad 7x - y = 17.$

2(x+2y)+5(x−y)=17⇒2x+4y+5x−5y=17⇒7x−y=17.

Ta có hệ mới:

$\begin{cases} x + 5y = 10 \\ 7x - y = 17 \end{cases}$

{x+5y=107x−y=17​

Từ phương trình (1), rút $x = 10 - 5y$x=10−5y.

Thay $x = 10 - 5y$x=10−5y vào phương trình (2):

$7(10 - 5y) - y = 17 \quad \Rightarrow \quad 70 - 35y - y = 17 \quad \Rightarrow \quad 70 - 36y = 17 \quad \Rightarrow \quad 36y = 53 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{53}{36}.$

7(10−5y)−y=17⇒70−35y−y=17⇒70−36y=17⇒36y=53⇒y=3653​.

Với $y = \frac{53}{36}$y=3653​, thay vào $x = 10 - 5y$x=10−5y:

$x = 10 - 5\cdot\frac{53}{36} = \frac{360}{36} - \frac{265}{36} = \frac{95}{36}.$

x=10−5⋅3653​=36360​−36265​=3695​.

Vậy nghiệm của hệ là:

$\boxed{\left(x, y\right) = \left(\frac{95}{36}, \frac{53}{36}\right)}.$

(x,y)=(3695​,3653​)​.

C. Bài tập tự luyện

Cơ bản:

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x - y = 4 \end{cases}${x+y=62x−y=4​

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 3 \end{cases}${3x+2y=8x−y=3​

Nâng cao:

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 7 \\ 3x + y - z = 4 \end{cases}$⎩⎨⎧​x+2y−z=32x−y+3z=73x+y−z=4​

Tìm các giá trị của $a$a và $b$b sao cho hệ phương trình sau có nghiệm $(x, y) = (1, 2)$(x,y)=(1,2): $\begin{cases} 2x + ay = b \\ ax - y = 1 \end{cases}${2x+ay=bax−y=1​

Xem thêm:

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó

Bí kíp học thuộc 7 hằng đẳng thức lớp 8

Học là Giỏi mong rằng, việc tổng hợp các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp các bạn làm tốt được dạng bài tập này! Chúc các bạn học tốt.