Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi ban đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz sau đó rút gọn lại gọi theo tên của nhà toán học người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này do 3 nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức này được ứng dụng khá nhiều để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2$

Dấu “=” xảy ra khi ac = bd

 Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng tổng quát

Với hai bộ số $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ và $\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)$, ta có:

$\left(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\right) \cdot\left(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2\right) \geq\left(a_1 b_1+a_2 b_2+\ldots+a_n b_n\right)^2$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$

Nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3,…, n) bằng 0 thì đẳng thức tương ứng bằng 0.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1

Nếu $a_1 x_1+\ldots+a_n x_n=C$ thì $\min \left(x_1^2+\ldots+x_n^2\right)=\frac{C}{a_1^2+\ldots+a_n^2}$ đạt được khi $\frac{x_1}{a_1}=\ldots=\frac{x_n}{a_n}$

Hệ quả 2

Nếu $x_1^2+\ldots+x_n^2=C^2$ (không đổi) thì:

$\operatorname{Max}\left(a_1 x_1+\ldots+a_n x_n\right)=C \cdot \sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2}$ đạt được khi $a_1 x_1=\ldots=a_n x_n \geq 0$.

$\operatorname{Min}\left(a_1 x_1+\ldots+a_n x_n\right)=-C \cdot \sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2}$ và dấu "=" xảy ra khi $a_1 x_1=\ldots=a_n x_n \leq 0$

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Chúng ta có thể chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:

$\begin{aligned} & \left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2 \\ & \Leftrightarrow(a c)^2+(a d)^2+(b c)^2+(b d)^2 \geq(a c)^2+2 a b c d+(b d)^2 \\ & \Leftrightarrow(a d)^2+(b c)^2 \geq 2 a b c d \\ & \Leftrightarrow(a d)^2-2 a b c d+(b c)^2 \geq 0 \\ & \Leftrightarrow(a d-b c)^2 \geq 0 \text { (luôn đúng) }\end{aligned}$

Một số bài tập ví dụ về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ví dụ 1 

Cho các số a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}} \leq 6$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho phân thức, ta có:

hơn:

$\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}$

$\Leftrightarrow 1 \cdot \sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}} + 1 \cdot \sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}} + 1 \cdot \sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}$$\leq (1+1+1) \cdot \sqrt{\frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{a+b+c}}$$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}} \leq 3 \cdot \sqrt{\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}}$$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}} + \sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}} \leq 3 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

(Điều phải chứng minh).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các giá trị $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$

Ví dụ 2

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} \leq \sqrt{3 p}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$\begin{aligned} & \text { 1. } \sqrt{p-a}+1 \cdot \sqrt{p-b}+1 \cdot \sqrt{p-c} \leq \sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)(p-a+p-b+p-c)} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} \leq \sqrt{3(3 p-2 p)}=\sqrt{3 p} \text { (điều phải chứng minh) }\end{aligned}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{p-a}=\frac{1}{p-b}=\frac{1}{p-c} \Leftrightarrow a=b=c$ hay tam giác là tam giác đều.
 Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán lớp 8

Kết luận

Trên đây là công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki thường gặp và nâng cao. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nhé.