Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Minkowski

schedule.svg

Thứ ba, 28/5/2024 02:38 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Bất đẳng thức Minkowski là một bất đẳng thức đặc biệt trong đại số tuyến tính được đặt theo tên của nhà toán học người Đức Hermann Minkowski, một công cụ hữu ích trong giải quyết các bài toán bất đẳng thức và bất phương trình. Học là Giỏi sẽ cùng các bạn tổng hợp các kiến thức về Bất đẳng thức Minkowski qua bài viết dưới đây.

Mục lục [Ẩn]

Bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski

Với 2 dãy số thực: a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn, ta có:

a12+b12 +a22+b22 +...+an2+bn2(a1+a2+...+an)2+(b1+b2+...+bn)2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a1b1=a2b2=...=anbn​​

 Quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.

Công thức tổng quát bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski là một loại bất đẳng thức trong đại số tuyến tính. Có hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski là dạng đẳng và dạng không đẳng.

Dạng đẳng

Đối với hai dãy số thực dương $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ và $\mathrm{b}_1, \mathrm{~b}_2, \ldots, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng như sau:

$\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)^p} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^p}+\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^p}$

Trong đó, $\mathrm{p}$ là một số thực dương. Bất đẳng thức này được gọi là dạng đẳng vì khi hai dãy số $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ và $\mathrm{b}_{\mathrm{i}}$ giống nhau, ta có dấu bằng. Bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng.

Dạng không đắng

Đối với hai dãy số thực dương $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ và $\mathrm{b}_1, \mathrm{~b}_2, \ldots, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng như sau:

$\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)^p \geq \sum_{i=1}^n a_i^p+\sum_{i=1}^n b_i^p$

Trong đó, p là một số thực dương. Bất đẳng thức này cho ta một quan hệ giữa tổng mũ của tổng hai số và tổng mũ của từng số. Đây là hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đại số tuyến tính và thống kê.

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki

Đề bài

Bất đẳng thức Mincôpxki $: \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}, \forall a, b, c, d \in R$ (1)

Chứng minh: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)} \geq a c+b d$ (luôn đúng)

Hướng dẫn giải

Như vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau:

$\mathrm{VT}=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} y\right)^2}+\sqrt{\left(-x-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} z\right)^2} \geq \sqrt{\left(\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} z\right)^2}=\mathrm{VP}$

Các lưu ý khi áp dụng bất đẳng thức để giải toán

Các lưu ý khi áp dụng bất đẳng thức để giải toán

- Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.

- Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển, quy nạp, phản chứng,…

- Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu “=” xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu “=” có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,…

- Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kết luận


Trên đây là tóm tắt kiến thức về bất đẳng thức Mincopxki. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nhé.

 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 09:39 AM

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất của tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt khi tìm hiểu về các mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá tứ giác nội tiếp này là gì và chúng có các tính chất như thế nào nhé.

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9
schedule

Thứ ba, 26/11/2024 04:35 AM

Khám phá lý thuyết về cung chứa góc toán 9

Khái niệm cung chứa góc ở trong toán lớp 9 đóng vai trò quan trọng khi tìm hiểu các tính chất và bài toán liên quan đến hình tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi đi sâu vào khái niệm và tính chất về cung chứa góc của đường tròn nhé.

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn
schedule

Thứ hai, 25/11/2024 09:30 AM

Tìm hiểu góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn hoặc bên ngoài đường tròn mang đến những đặc điểm và tính chất riêng. Việc tìm hiểu về các loại góc này hỗ trợ rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá những khái niệm và định lý về góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn nhé.

Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp
schedule

Thứ sáu, 22/11/2024 09:18 AM

Chinh phục kiến thức về góc nội tiếp

Trong hình tròn, góc nội tiếp là một chủ đề cơ bản khi chúng có nhiều tính chất cần lưu ý trong hình học phẳng. Đây là khái niệm giúp chúng ta hiểu thêm các định lý liên quan đến đường tròn. Cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu về góc nội tiếp có gì đặc biệt và những nội dung quan trọng trong bài học này nhé.

Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây
schedule

Thứ ba, 19/11/2024 10:06 AM

Khám phá mối liên hệ giữa cung và dây

Mối liên hệ giữa cung và dây cung của đường tròn là chủ đề quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Dù chúng ta đã quá quen thuộc với hình ảnh những đường tròn, ít ai biết rằng cung và dây cung tạo sự liên kết mật thiết trong hình tròn. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi tìm hiểu rõ mối quan hệ này có gì đặc biệt nhé.

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn
schedule

Thứ hai, 18/11/2024 10:07 AM

Tổng hợp kiến thức vị trí tương đối của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn là kiến thức quan trọng để xét các tính chất của 2 đường tròn này có mối quan hệ gì với nhau. Hãy cùng gia sư online Học là Giỏi khám phá các trường hợp cơ bản về vị trí tương đối của hai đường tròn này nhé.

message.svg zalo.png