Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski

Với 2 dãy số thực: a₁, a₂,…, a_n và b₁, b₂,…, b_n, ta có:

$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\sqrt{a_n^2+b_n^2}\ge \sqrt{(a_1+a_2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_n{)}^2+(b_1+b_2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_n{)}^2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}=\frac{a_n}{b_n}$​​

 Quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.

Công thức tổng quát bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski là một loại bất đẳng thức trong đại số tuyến tính. Có hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski là dạng đẳng và dạng không đẳng.

Dạng đẳng

Đối với hai dãy số thực dương $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ và $\mathrm{b}_1, \mathrm{~b}_2, \ldots, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng như sau:

$\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)^p} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^p}+\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^p}$

Trong đó, $\mathrm{p}$ là một số thực dương. Bất đẳng thức này được gọi là dạng đẳng vì khi hai dãy số $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ và $\mathrm{b}_{\mathrm{i}}$ giống nhau, ta có dấu bằng. Bất đẳng thức Minkowski dạng đẳng là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng.

Dạng không đắng

Đối với hai dãy số thực dương $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ và $\mathrm{b}_1, \mathrm{~b}_2, \ldots, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}$, ta có bất đẳng thức Minkowski dạng không đẳng như sau:

$\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)^p \geq \sum_{i=1}^n a_i^p+\sum_{i=1}^n b_i^p$

Trong đó, p là một số thực dương. Bất đẳng thức này cho ta một quan hệ giữa tổng mũ của tổng hai số và tổng mũ của từng số. Đây là hai dạng chính của bất đẳng thức Minkowski được sử dụng trong các bài toán liên quan đến đại số tuyến tính và thống kê.

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki

Đề bài

Bất đẳng thức Mincôpxki $: \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}, \forall a, b, c, d \in R$ (1)

Chứng minh: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)} \geq a c+b d$ (luôn đúng)

Hướng dẫn giải

Như vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau:

$\mathrm{VT}=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} y\right)^2}+\sqrt{\left(-x-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} z\right)^2} \geq \sqrt{\left(\frac{y}{2}-\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} z\right)^2}=\mathrm{VP}$

Các lưu ý khi áp dụng bất đẳng thức để giải toán

- Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.

- Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển, quy nạp, phản chứng,…

- Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu “=” xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu “=” có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,…

- Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.

Xem thêm:

Tổng hợp lí thuyết về bất đẳng thức Cosi

Tổng hợp kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kết luận

Trên đây là tóm tắt kiến thức về bất đẳng thức Mincopxki. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ gợi ý cho các bạn cách hệ thống kiến thức sáng tạo và đẹp theo cách của riêng mình, biến các công thức khô khan trở nên sinh động hơn, từ đó giúp chúng mình nhớ và áp dụng giải được các bài toán tính đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nhé.