Trang chủ › Cẩm nang học tập › Cẩm nang kiến thức

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

schedule.svg

Thứ sáu, 10/5/2024 11:03 AM

Tác giả: Admin Hoclagioi

Phương trình tiếp tuyến là kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 11, khi chúng mình học về ý nghĩa của đạo hàm phải không nào. Để làm được tốt bài tập về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, chúng mình cần hệ thống lại dạng phương trình tiếp tuyến và các dạng bài tập về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số nhé. Nào, hãy cùng theo chân Học là Giỏi khám phá nhé!

Mục lục [Ẩn]

 

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ của hàm số tại điểm $M_0\left(x_0 ; f(x_0)\right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_0$ là: $y- f(x_0)=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)$.

Các dạng bài tập về viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ tiếp điểm

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: $y =f(x)$ tại điểm $M\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

- Bước 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y =f(x)$ tại $M\left(x_0 ;f\left(x_0\right)\right)$ là: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=x^3+2x^2$ tại điểm $M(1 ; 3)$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=3 x^2+4 x \Rightarrow k=y^{\prime}(1)=7$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M(1 ; 3)$ là: $d: y - y_0 =y_0^{\prime}\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow y=7(x-1)+3 \Leftrightarrow y=7 x-4$.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết hoành độ tiếp điểm $x=x_0$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $f\left(x_0\right)$.

- Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

$\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến: $y - f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^2+2x-6$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

Bài giải

Đặt $y=f(x) = x^2 +2x-6$

+ Ta có: $f(1)=1^2+2.1-6=-3$

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f^{\prime}(x)=2 x+2$

$\Rightarrow f^{\prime}(1)=2.1+2=4$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=1$ là: $y+3=4(x-1)$ hay $y=4 x-7$

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết tung độ tiếp điểm bằng $\mathrm{y}_0$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm.

- Bước 2: Giải phương trình $f(x)=y_0$ ta tìm được các nghiệm $x_0$.

- Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^2+2x-4$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là -4?

Bài giải

Đặt $y=f(x) = x^2 +2x-4$

+ Ta có: $f(x)=x^2+2x-4=-4 \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-2\end{array}\right.$

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f^{\prime}(x)=2 x+2$

$\Rightarrow f^{\prime}(0)=2.0+2=2$ và $f^{\prime}(-2)=2.(-2)+2=-2$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=0$ là: $y+4=2x$ hay y = $2x - 4$.

Và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=-2$ là: $y + 4 =-2(x+2)$ hay $y = -2x - 8$.

Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết hệ số góc

Bài toán: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc $k$ cho trước.

Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm và tính $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$.

- Bước 2: 

* Hệ số góc tiếp tuyến là $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$.

* Giải phương trình này tìm được $x_0$, thay vào hàm số được $y_0$.

- Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng:

$d: y=k\left(x-x_0\right)+y_0$

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

+ Tiếp tuyến $d / / \Delta: y=a x+b \Rightarrow k=a$.

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng với đường thẳng $\Delta$ hay không? Nếu trùng thì phải loại đi kết quả đó.

+ Tiếp tuyến $d \perp \Delta: y=a x+b \Rightarrow k \cdot a=-1 \Rightarrow k=-\frac{1}{a}$.

+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc $\alpha$ thì $k= \pm \tan \alpha$.

Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng $\Delta: y=a x+b$ một góc $\alpha$.

Khi đó: $\left|\frac{k-a}{1+k a}\right|=\tan \alpha$.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng $d: y=k x+m$.

+ Tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$.

+ Nhập $k(-X)+f(X)$ (hoặc $f(X)-k X$ ) sau đó bấm Calc với $X=x_0$ rồi bấm =  ta được kết quả là $m$.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=x^3-3x+2$ có hệ số góc bằng 9.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=3 x^2-3$. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M\left(x_0 ; y_0\right)$.

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là: $k=y^{\prime}\left(x_0\right)= 9 \Leftrightarrow 3 x_0^2-3=9 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0= \pm 2$.

+ Với $x_0=2 \Rightarrow y_0=4$ ta có tiếp điểm $M_1(2 ; 4)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là: $d_1: y=9(x-2)+4 \Rightarrow d_1: y=9 x-14$.

+ Với $x_0=-2 \Rightarrow y_0=0$ ta có tiếp điểm $M_2(-2 ; 0)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_2$ là: $d_2: y=9(x+2)+0 \Rightarrow d_2: y=9 x+18$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $d_1: y=9 x-14 ; d_2: y=9 x+18$.

Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=\frac{2 x+1}{x+2}$ song song với đường thẳng $\Delta: 3 x-y+2=0$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=\frac{3}{(x+2)^2}$ và $\Delta: 3 x-y+2=0 \Rightarrow y=3 x+2$.

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M\left(x_0 ; y_0\right)$.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta$ nên

$k=\frac{3}{\left(x_0+2\right)^2}=3 \Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2=1\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { x _ { 0 } + 2 = 1 } \\{ x _ { 0 } + 2 = - 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=-1 \\x_0=-3\end{array} .\right.\right.$

+ Với $x_0=-1 \Rightarrow y_0=-1$ ta có tiếp điểm $M_1(-1 ;-1)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là: $d_1: y=3(x+1)-1 \Rightarrow d_1: y=3 x+2$.

Lúc này: $d_1 \equiv \Delta \Rightarrow$ Loại.

+ Với $x_0=-3 \Rightarrow y_0=5$ ta có tiếp điểm $M_2(-3 ; 5)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_2$ là: $d_2: y=3(x+3)+5 \Rightarrow d_2: y=3 x+14$.

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là $d_2: y=3 x+14$.

Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(x_A ; y_A\right)$

Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

- Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left(x_A ; y_A\right)$ hệ số góc $k$ có dạng: $d: y=k\left(x-x_A\right)+y_A \quad(*)$

- Bước 2: d là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi hệ $\left\{\begin{array}{l}f(x)=k\left(x-x_A\right)+y_A \\ f^{\prime}(x)=k\end{array}\right.$ có nghiệm.

- Bước 3: Giải hệ trên tìm được $x \Rightarrow k$ và thế vào phương trình $(*)$, thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2:

- Bước 1:

* Gọi $M\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ là tiếp điểm.

* Tính hệ số góc tiếp tuyến $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$ theo $x_0$.

- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến có dạng: $d: y=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right) \quad\left({ }^{* *}\right)$

Vi điểm $A\left(x_A ; y_A\right) \in d$ nên $y_A=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x_A-x_0\right)+f\left(x_0\right)$. Giải phương trình này sẽ tìm được $x_0$.

- Bước 3: Thay $x_0$ vừa tìm được vào $(* *)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=-4 x^3+3 x+1$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=-12 x^2+3$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A(-1 ; 2)$ với hệ số góc $k$ có phương trình $d: y=k(x+1)+2$.

Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của $(C) \Leftrightarrow$ hệ $\left\{\begin{array}{ll}-4 x^3+3 x+1=k(x+1)+2 & (1) \\ k=-12 x^2+3 & \text { (2) }\end{array}\right.$ có nghiệm.

Thay $k$ từ $(2)$ vào $(1)$ ta được:

$\begin{aligned}& -4 x^3+3 x+1=\left(-12 x^2+3\right)(x+1)+2 \\& \Leftrightarrow 8 x^3+12x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+1)^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{aligned}$

+ Với $x=-1 \Rightarrow k=-9$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=-9 x+7$.

+ Vó́i $x=\frac{1}{2} \Rightarrow k=0$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=2$.

Vậy có hai tiếp tuyến cân tìm là $y=-9 x-7 ; y=2$.


 

Như vậy, Học là Giỏi đã tổng hợp các kiến thức quan trọng về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập mà chúng mình hay gặp. Học là Giỏi hi vọng rằng, các bạn sẽ làm tốt bài tập phần này nhé.

 

 

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức về bất phương trình mũ và logarit

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó
 

Chủ đề:

Đăng ký học thử ngay hôm nay

Để con học sớm - Ôn sâu và nhận ưu đãi học phí!

Bài viết liên quan

Cách so sánh phân số chính xác và dễ hiểu cho học sinh
schedule

Thứ năm, 3/7/2025 09:37 AM

Cách so sánh phân số chính xác và dễ hiểu cho học sinh

Trong chương trình toán tiểu học, so sánh phân số là kỹ năng nền tảng giúp học sinh nhận biết trong các đơn vị chia không đều. Trong bài viết này, Học là Giỏi sẽ đồng hành cùng bạn khám phá các phương pháp so sánh phân số cùng với những bài tập ứng dụng đa dạng để bạn luyện tập hiệu quả và tự tin hơn khi làm bài nhé.

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất
schedule

Thứ năm, 3/7/2025 03:24 AM

Phân số bằng nhau là gì? Cách nhận biết đơn giản nhất

Trong chương trình Toán lớp 4, phân số bằng nhau là một trong những nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các phần. Học là Giỏi sẽ cùng bạn tìm hiểu chi tiết kiến thức về dạng phân số này trong bài viết dưới đây nhé.

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số
schedule

Thứ tư, 2/7/2025 03:40 AM

Tử số và mẫu số là gì? Kiến thức nền tảng về phân số

Khi học về phân số, chắc hẳn bạn đã từng thắc mắc: Tử số và mẫu số là gì? Đây là khái niệm xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán tiểu học. Học là Giỏi sẽ cung cấp chi tiết kiến thức trong bài viết sau giúp bạn hiểu rõ tử số và mẫu số trong toán học nhé.

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số
schedule

Thứ ba, 1/7/2025 08:07 AM

Các phương pháp quy đồng mẫu số các phân số

Trong chương trình toán tiểu học, phân số luôn là phần kiến thức khiến nhiều học sinh cảm thấy khó tiếp cận. Đặc biệt, việc quy đồng mẫu số thường gây nhầm lẫn nếu không được hướng dẫn cụ thể. Học là Giỏi sẽ giúp bạn giải đáp tất cả những thắc mắc về quy đồng mẫu số các phân số một cách dễ hiểu và chi tiết.

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025
schedule

Thứ ba, 17/6/2025 04:12 AM

Đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025

Học là Giỏi tổng hợp trọn bộ đáp án, đề thi môn Toán vào 10 tỉnh Lâm Đồng 2025 nhằm hỗ trợ học sinh thuận tiện trong việc so sánh kết quả và tự đánh giá năng lực làm bài.

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025
schedule

Thứ sáu, 13/6/2025 07:11 AM

Đáp án, đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2025

Bài viết cập nhật nhanh chóng và chính xác đề thi cùng đáp án giúp thí sinh so sánh kết quả và định hướng các nguyện vọng phù hợp. Học là Giỏi cung cấp đề thi chính thức môn Toán THPT Quốc gia 2025 được thi vào chiều ngày 26/06/2025 kèm đáp án chi tiết từng mã đề, hỗ trợ thí sinh tra cứu dễ dàng và tiện lợi.

message.svg zalo.png