Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ của hàm số tại điểm $M_0\left(x_0 ; f(x_0)\right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_0$ là: $y- f(x_0)=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)$.

Các dạng bài tập về viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ tiếp điểm

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: $y =f(x)$ tại điểm $M\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

- Bước 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y =f(x)$ tại $M\left(x_0 ;f\left(x_0\right)\right)$ là: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=x^3+2x^2$ tại điểm $M(1 ; 3)$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=3 x^2+4 x \Rightarrow k=y^{\prime}(1)=7$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M(1 ; 3)$ là: $d: y - y_0 =y_0^{\prime}\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow y=7(x-1)+3 \Leftrightarrow y=7 x-4$.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết hoành độ tiếp điểm $x=x_0$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $f\left(x_0\right)$.

- Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

$\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến: $y - f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^2+2x-6$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?

Bài giải

Đặt $y=f(x) = x^2 +2x-6$

+ Ta có: $f(1)=1^2+2.1-6=-3$

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f^{\prime}(x)=2 x+2$

$\Rightarrow f^{\prime}(1)=2.1+2=4$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=1$ là: $y+3=4(x-1)$ hay $y=4 x-7$

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết tung độ tiếp điểm bằng $\mathrm{y}_0$.

Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm.

- Bước 2: Giải phương trình $f(x)=y_0$ ta tìm được các nghiệm $x_0$.

- Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số $\Rightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)$

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^2+2x-4$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là -4?

Bài giải

Đặt $y=f(x) = x^2 +2x-4$

+ Ta có: $f(x)=x^2+2x-4=-4 \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-2\end{array}\right.$

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f^{\prime}(x)=2 x+2$

$\Rightarrow f^{\prime}(0)=2.0+2=2$ và $f^{\prime}(-2)=2.(-2)+2=-2$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=0$ là: $y+4=2x$ hay y = $2x - 4$.

Và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=-2$ là: $y + 4 =-2(x+2)$ hay $y = -2x - 8$.

Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết hệ số góc

Bài toán: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc $k$ cho trước.

Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm và tính $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$.

- Bước 2: 

* Hệ số góc tiếp tuyến là $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$.

* Giải phương trình này tìm được $x_0$, thay vào hàm số được $y_0$.

- Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng:

$d: y=k\left(x-x_0\right)+y_0$

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

+ Tiếp tuyến $d / / \Delta: y=a x+b \Rightarrow k=a$.

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị trùng với đường thẳng $\Delta$ hay không? Nếu trùng thì phải loại đi kết quả đó.

+ Tiếp tuyến $d \perp \Delta: y=a x+b \Rightarrow k \cdot a=-1 \Rightarrow k=-\frac{1}{a}$.

+ Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc $\alpha$ thì $k= \pm \tan \alpha$.

Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng $\Delta: y=a x+b$ một góc $\alpha$.

Khi đó: $\left|\frac{k-a}{1+k a}\right|=\tan \alpha$.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng $d: y=k x+m$.

+ Tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$.

+ Nhập $k(-X)+f(X)$ (hoặc $f(X)-k X$ ) sau đó bấm Calc với $X=x_0$ rồi bấm =  ta được kết quả là $m$.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=x^3-3x+2$ có hệ số góc bằng 9.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=3 x^2-3$. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M\left(x_0 ; y_0\right)$.

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là: $k=y^{\prime}\left(x_0\right)= 9 \Leftrightarrow 3 x_0^2-3=9 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0= \pm 2$.

+ Với $x_0=2 \Rightarrow y_0=4$ ta có tiếp điểm $M_1(2 ; 4)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là: $d_1: y=9(x-2)+4 \Rightarrow d_1: y=9 x-14$.

+ Với $x_0=-2 \Rightarrow y_0=0$ ta có tiếp điểm $M_2(-2 ; 0)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_2$ là: $d_2: y=9(x+2)+0 \Rightarrow d_2: y=9 x+18$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $d_1: y=9 x-14 ; d_2: y=9 x+18$.

Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=\frac{2 x+1}{x+2}$ song song với đường thẳng $\Delta: 3 x-y+2=0$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=\frac{3}{(x+2)^2}$ và $\Delta: 3 x-y+2=0 \Rightarrow y=3 x+2$.

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M\left(x_0 ; y_0\right)$.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $\Delta$ nên

$k=\frac{3}{\left(x_0+2\right)^2}=3 \Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2=1\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { x _ { 0 } + 2 = 1 } \\{ x _ { 0 } + 2 = - 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=-1 \\x_0=-3\end{array} .\right.\right.$

+ Với $x_0=-1 \Rightarrow y_0=-1$ ta có tiếp điểm $M_1(-1 ;-1)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$ là: $d_1: y=3(x+1)-1 \Rightarrow d_1: y=3 x+2$.

Lúc này: $d_1 \equiv \Delta \Rightarrow$ Loại.

+ Với $x_0=-3 \Rightarrow y_0=5$ ta có tiếp điểm $M_2(-3 ; 5)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_2$ là: $d_2: y=3(x+3)+5 \Rightarrow d_2: y=3 x+14$.

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là $d_2: y=3 x+14$.

Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left(x_A ; y_A\right)$

Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

- Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left(x_A ; y_A\right)$ hệ số góc $k$ có dạng: $d: y=k\left(x-x_A\right)+y_A \quad(*)$

- Bước 2: d là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi hệ $\left\{\begin{array}{l}f(x)=k\left(x-x_A\right)+y_A \\ f^{\prime}(x)=k\end{array}\right.$ có nghiệm.

- Bước 3: Giải hệ trên tìm được $x \Rightarrow k$ và thế vào phương trình $(*)$, thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2:

- Bước 1:

* Gọi $M\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ là tiếp điểm.

* Tính hệ số góc tiếp tuyến $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$ theo $x_0$.

- Bước 2: Phương trình tiếp tuyến có dạng: $d: y=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right) \quad\left({ }^{* *}\right)$

Vi điểm $A\left(x_A ; y_A\right) \in d$ nên $y_A=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x_A-x_0\right)+f\left(x_0\right)$. Giải phương trình này sẽ tìm được $x_0$.

- Bước 3: Thay $x_0$ vừa tìm được vào $(* *)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C): y=-4 x^3+3 x+1$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$.

Bài giải

Ta có: $y^{\prime}=-12 x^2+3$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A(-1 ; 2)$ với hệ số góc $k$ có phương trình $d: y=k(x+1)+2$.

Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của $(C) \Leftrightarrow$ hệ $\left\{\begin{array}{ll}-4 x^3+3 x+1=k(x+1)+2 & (1) \\ k=-12 x^2+3 & \text { (2) }\end{array}\right.$ có nghiệm.

Thay $k$ từ $(2)$ vào $(1)$ ta được:

$\begin{aligned}& -4 x^3+3 x+1=\left(-12 x^2+3\right)(x+1)+2 \\& \Leftrightarrow 8 x^3+12x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+1)^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{aligned}$

+ Với $x=-1 \Rightarrow k=-9$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=-9 x+7$.

+ Vó́i $x=\frac{1}{2} \Rightarrow k=0$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=2$.

Vậy có hai tiếp tuyến cân tìm là $y=-9 x-7 ; y=2$.

Như vậy, Học là Giỏi đã tổng hợp các kiến thức quan trọng về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập mà chúng mình hay gặp. Học là Giỏi hi vọng rằng, các bạn sẽ làm tốt bài tập phần này nhé.

Xem thêm:

Tổng hợp kiến thức về bất phương trình mũ và logarit

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó