Tổng hợp kiến thức về bất phương trình mũ và logarit

Định nghĩa về bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ

- Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

- Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong những dạng sau:

$a^x>b ; a^x<b ; a^x \geq b ; a^x \leq b(a>0, a \neq 1) .$

Bất phương trình logarit

- Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit.

- Bất phương trình logarit cơ bản là bất phương trình logarit có một trong những dạng sau:

$\begin{aligned}& \quad \log _a x>b ; \log _a x<b ; \log _a x \geq b ; \log _a x \leq b \\& (a>0, a \neq 1) .\end{aligned}$

Ví dụ: $3^x>27$ và $\log _2 x>3$ lần lượt là bất phương trình mũ và logarit.

Cách giải bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ: $a^x>b (a>0, a \neq 1)$.

- Nếu $b \leq 0$, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\mathbb{R}$ (vì $a^x>0 \geq b, \forall x \in \mathbb{R}$ ).

- Nếu $b>0$ thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{\log _a b}$.

Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>\log _a b$.

Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<\log _a b$.

Bất phương trình logarit

Xét bất phương trình $\log_a x>b(a>0, a \neq 1)$.

Bất phương trình tương đương với $\log _a x>\log _a a^b$.

- Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>a^b$.

- Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b$.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:

a) $7^x>12$ b) $(0,5)^{x+1}>1,5$

Bài giải

a) $7^x>12 \Leftrightarrow x>\log _7 12$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\log _7 12 ;+\infty\right)$.

b) $(0,5)^{x+1}>1,5 \Leftrightarrow x+1<\log _{0,5} 1,5 \Leftrightarrow x<-1+\log _{0,5} 1,5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;-1+\log _{0,5} 1,5\right)$.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

a) $\log _{\frac{1}{3}} x>-3$ b) $\log _2(x+1)>3$.

Bài giải

a)

$\begin{aligned}\log _{\frac{1}{3}} x>-3 & \Leftrightarrow 0<x<\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \Leftrightarrow 0<x<3^3 \\& \Leftrightarrow 0<x<27\end{aligned}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(0 ; 27)$.

b) $\log _2(x+2)>3 \Leftrightarrow x+2>2^3 \Leftrightarrow x>6$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(6 ;+\infty)$.

Ví dụ 3: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất $x \% /$ năm $(x>0)$. Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Bài giải

Công thức tính số tiền rút được (cả gốc và lãi) sau n năm là: $100(1+x \%)^n$ (triệu đồng).

Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng nên ta có:

$\begin{aligned}& 100(1+\mathrm{x} \%)^3=119,1016 \\&\Leftrightarrow\left(1+\frac{x}{100}\right)^3=1,191016 \\& \Leftrightarrow 1+\frac{x}{100}=\sqrt[3]{1,191016}=1,06 \\& \Leftrightarrow \frac{x}{100}=0,06 \Leftrightarrow x=6 \text { (thỏa mãn } x>0 \text { ). }\end{aligned}$

Vậy lãi suất là $6 \%$ / năm.

Như vậy, Học là Giỏi đã hệ thống lại định nghĩa và cách giải bất phương trình mũ và logarit. Học là Giỏi mong rằng, nó sẽ giúp ích cho các bạn!

Xem thêm:

Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó