Ôn thi vào 10: Những bài toán thực tế lớp 9 chọn lọc

Bài toán phương trình và hệ phương trình

Hướng giải bài toán phương trình

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.

Thiết lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không.

Ví dụ: Hiện tại tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Mai. Sau 15 năm nữa, tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Mai. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

Lời giải

Gọi tuổi của Mai hiện nay là x (tuổi, x  N*)

Tuổi của mẹ hiện nay là: 3x.

Tuổi của Mai 15 năm sau là: x + 15.

Tuổi của mẹ 15 năm sau là: 3x + 15.

Theo đề bài, ta có phương trình: 3x + 15 = 2(x + 15)

→ x = 15

Vậy Mai hiện nay là 15 tuổi.

Tuổi mẹ hiện nay là 15 x 3 = 45 tuổi.

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về phương trình

Bài 1: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Cạnh huyền bằng 13 cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông đó.

Bài 2: Một tam giác vuông có diện tích là $54 \mathrm{~cm}^2$. Biết một cạnh góc vuông dài hơn cạnh góc vuông kia là 3 cm . Tính độ dài hai cạnh góc vuông.

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm $64 \mathrm{~m}^2$. Tính kích thước ban đầu của khu vườn.

Hướng giải bài toán hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Hai thùng dầu chứa tổng cộng 120 lít. Nếu chuyển 15 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu ở thùng thứ nhất. Tính số lít dầu ở mỗi thùng lúc đầu.

Lời giải
Gọi số lít dầu thùng thứ nhất lúc đầu là x (lít), thùng thứ hai là y (lít). Điều kiện: $\mathrm{x}, \mathrm{y}> 0 ; \mathrm{x}>15$.

Tổng số dầu ban đầu: $\mathrm{x}+\mathrm{y}=120$ (1)

Sau khi chuyển 15 lít: Thùng 1 còn $\mathrm{x}-15$; Thùng 2 có $\mathrm{y}+15$.

Theo đề bài: $\mathrm{y}+15=2(\mathrm{x}-15) \leftrightarrow 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=45$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=120 \\ 2 x-y=45\end{array}\right.$
$\rightarrow \mathrm{x}=55$ và $\mathrm{y}=65$

Luyện tập

Bài 1: Một cửa hàng bán hai loại trà sữa với tổng số 80 ly trong một buổi sáng. Loại truyền thống giá 25.000 đồng/ly, loại đặc biệt giá 35.000 đồng/ly. Tổng số tiền thu được là 2.300.000 đồng. Hỏi cửa hàng đã bán bao nhiêu ly mỗi loại?

Bài 2: Minh mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút hết 51.000 đồng. Hoa mua 3 quyển vở và 6 chiếc bút cùng loại hết 54.000 đồng. Tính giá tiền mỗi quyển vở và mỗi chiếc bút.

Bài 3: Vé xem phim cho một nhóm gồm 4 người lớn và 2 trẻ em là 440.000 đồng. Một nhóm khác gồm 2 người lớn và 3 trẻ em là 340.000 đồng. Tính giá vé của một người lớn và một trẻ em.

Bài toán bất đẳng thức và bất phương trình

Các kiến thức cần nắm

a) Tính chất bất đẳng thức

a > b và b > c → a > c

a > b ↔ a + c > b + c

Nếu c > 0 thì a > b ↔ ac > bc

Nếu c < 0 thì a > b ↔ ac < bc

b) Bất đẳng thức Cosi (Trong bài toán tìm GTLN, GTNN)

Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b} \geq 0$. Ta có: $\mathrm{S}=\mathrm{a}+\mathrm{b} \geq 2 \sqrt{a b}$
- Nếu $\mathrm{ab}=\mathrm{P}$ không đổi thì $\mathrm{S} \geq 2 \sqrt{P}$
- Vậy GTNN S $=2 \sqrt{P}$ khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$

Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b} \geq 0$. Ta có: $\mathrm{ab} \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
- Nếu tổng $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{P}$ không đổi thì $\mathrm{ab} \leq \frac{P^2}{a}$
- Vậy GTLN $\mathrm{P}=\frac{s^2}{a}$ khi $\mathrm{a}=\mathrm{b}$

Công thức tổng quát: Cho n số không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ta luôn có:

$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}$

Dấu " $=$ " xảy ra khi $a_1=a_2=\ldots .=a_n$

c) Bình phương một tổng hoặc hiệu của tam thức bậc hai

Đối với dạng tam thức bậc hai, ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) và cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.

$\begin{aligned} & \pm \mathrm{d}-(a \pm b)^2 \leq \pm \mathrm{d} \rightarrow \text { GTLN là } \pm \mathrm{d} \\ & (a \pm b)^2 \pm \mathrm{c} \geq \pm \mathrm{c} \rightarrow \text { GTNN là } \pm \mathrm{c}\end{aligned}$

Do bài toán thực tế nên đa số c, d > 0.

Ví dụ: Một chủ trang trại muốn rào xung quanh một khu đất hình chữ nhật có diện tích $600 \mathrm{~m}^2$. Khu đất này nằm sát một con sông thẳng nên chủ trang trại chỉ cần rào 3 cạnh còn lại (cạnh sát sông không cần rào). Biết giá lưới rào là 150.000 đồng/mét. Tính kích thước khu đất để chi phí mua lưới là thấp nhất.

Lời giải

Gọi $\mathrm{x}(\mathrm{m})$ là chiều dài của hai cạnh bên vuông góc với bờ sông, $\mathrm{y}(\mathrm{m})$ là chiều dài cạnh song song với bờ sông ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ ).

Diện tích khu đất là $\mathrm{S}=\mathrm{x} . \mathrm{y}=600 \rightarrow \mathrm{y}=\frac{600}{x}$

Chiều dài lưới cần dùng là: $\mathrm{L}=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+\frac{600}{x}$

Tổng chi phí là: $\mathrm{C}=150.000\left(2 \mathrm{x}+\frac{600}{x}\right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$2 \mathrm{x}+\frac{600}{x} \geq 2 \sqrt{2 x+\frac{600}{x}}=40 \sqrt{3} \approx 66,28 \mathrm{~m}$

Dấu " $=$ " xảy ra khi $2 \mathrm{x}=\frac{600}{x} \rightarrow \mathrm{x}=10 \sqrt{3} \approx 17,32 \mathrm{~m}$

Khi đó $\mathrm{y}=20 \sqrt{3} \approx 34,64 \mathrm{~m}$

Để chi phí thấp nhất, khu đất nên có kích thước khoảng $17,32 \mathrm{~m} \times 34,64 \mathrm{~m}$.

Xem thêm: Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình

Luyện tập

Bài 1: Một cửa hàng bán giày với giá nhập vào là 400.000 đồng/đôi. Với giá bán hiện tại là 600.000 đồng/đôi, mỗi tháng cửa hàng bán được 120 đôi. Qua khảo sát, nếu cứ giảm giá 20.000 đồng mỗi đôi thì số lượng giày bán ra tăng thêm 20 đôi mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận tháng cao nhất?

Bài 2: Một tấm áp phích có tổng diện tích là $1 \mathrm{~m}^2$. Phần nội dung in ấn được bao quanh bởi các lề: lề trên và lề dưới là 10 cm , lề trái và lề phải là 5 cm . Tìm kích thước của tấm áp phích sao cho diện tích phần in ấn là lớn nhất.

Bài 3: Một người chèo thuyền từ vị trí A trên bờ biển muốn đến một hòn đảo C. Khoảng cách từ đảo C đến bờ biển (điểm B gần nhất) là 3 km, khoảng cách AB là 5 km. Vận tốc chèo thuyền của người đó là 4 km/h, vận tốc đi bộ trên bờ biển là 6 km/h. Người đó nên chèo thuyền cập bến tại vị trí nào giữa A và B để tổng thời gian di chuyển là ít nhất? 

Bài toán căn thức

Các kiến thức cần nắm

a) Định nghĩa: Căn bậc hai của một số thực không âm a là một số x sao cho $x^2=\mathrm{a}$

b) Nhận xét: Số dương có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau:

Kí hiệu $\sqrt{ }$ để chỉ căn bậc hai dương.
Kí hiệu $-\sqrt{ }$ để chỉ căn bậc hai âm.
Số 0 có một căn bậc hai là chính nó
Số âm không có căn bậc hai.
Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa là biểu thức trong căn $\geq 0$

c) Tính chất

Ta có thể đưa một biểu thức không âm vào trong căn bằng cách bình phương lên rồi đưa vào.

$\sqrt{A^2}=|\mathrm{A}|=\left\{\begin{array}{c}A ; A \geq 0 \\-A ; A&lt;0\end{array}\right.$

Nếu các căn có nghĩa thì căn của một tích bằng tích các căn, căn của một thương bằng thương các căn.

Ví dụ: Một người quan sát đứng trên đỉnh một ngọn hải đăng cao h (mét) so với mực nước biển. Khoảng cách tầm nhìn xa tối đa $\mathrm{d}(\mathrm{km})$ từ đỉnh hải đăng đến đường chân trời được tính bởi công thức: $\mathrm{d}=3,57 \cdot \sqrt{h}$
a) Nếu ngọn hải đăng cao 64 m , người đó có thể nhìn xa tối đa bao nhiêu ki-lô-mét?
b) Để nhìn xa được ít nhất 25 km , ngọn hải đăng cần có độ cao tối thiểu là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải
a) Thay $\mathrm{h}=64$ vào công thức $\mathrm{d}=3,57 \cdot \sqrt{h} \rightarrow \mathrm{~d}=28,56 \mathrm{~km}$

Người đó có thể nhìn xa tối đa $28,56 \mathrm{~km}$.
b) Để $\mathrm{d} \geq 25$, ta có $3,57 \cdot \sqrt{h} \geq 25 \rightarrow \mathrm{~h} \approx 49,039$

Ngọn hải đăng cần có độ cao tối thiểu khoảng 49 m .

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về căn thức

Bài 1: Khi xảy ra tai nạn giao thông, cảnh sát thường đo chiều dài vết phanh L (mét) trên mặt đường để ước tính tốc độ $\mathrm{v}(\mathrm{km} / \mathrm{h})$ của xe ngay trước khi phanh. Công thức tính là: $\mathrm{v}=\sqrt{254 \mu L}$. Trong đó $\mu$ là hệ số ma sát giữa lốp xe và mặt đường. Giả sử hệ số ma sát $\mu=0,7$. Nếu vết phanh đề lại trên đường dài 25 m , hãy tính tốc độ của xe lúc đó. Tốc độ này có vượt quá giới hạn $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ không?

Bài 2: Một thợ cơ khí cần làm một thùng sắt hình lập phương có thể tích là $\mathrm{V}=512$ lít.

a) Tính độ dài cạnh a của thùng sắt đó.

b) Người thợ cần dùng bao nhiêu mét vuông sắt để làm chiếc thùng này (giả sử không tính các mép hàn và thùng có nắp)? Biết diện tích toàn phần của hình lập phương tính theo canh a là $\mathrm{S}=6 a^2$.

Bài 3: Thời gian $T$ (giây) để một con lắc đơn thực hiện hết một chu kỳ dao động (đi và về) được cho bởi công thức: $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{1}{g}}$. Trong đó 1 là chiều dài dây treo (mét), $\mathrm{g} \approx 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$.

a) Một chiếc đồng hồ quả lắc có chiều dài dây treo là 1 m . Tính chu kỳ T của con lắc đó.

b) Nếu muốn chu kỳ T giảm đi một nửa, người ta cần thay đổi chiều dài dây treo l như thế nào?

Bài toán hàm số

Các kiến thức cần nắm

Hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{a} x^2(\mathrm{a} \neq 0)$
- Với $\mathrm{a}>0$ : Nghịch biến khi $\mathrm{x}<0$, đồng biến khi $\mathrm{x}>0$.
- Với $\mathrm{a}<0$ : Đồng biến khi $\mathrm{x}<0$, nghịch biến khi $\mathrm{x}>0$.

Giá trị cực trị
- Nếu $\mathrm{a}>0: \mathrm{y} \geq 0$ với mọi x . Giá trị nhỏ nhất là $\mathrm{y}=0$ tại $\mathrm{x}=0$.
- Nếu $\mathrm{a}<0: \mathrm{y} \leq 0$ với mọi x . Giá trị lớn nhất là $\mathrm{y}=0$ tại $\mathrm{x}=0$.

Đặc điểm đồ thị (Parabol)
- Luôn đi qua gốc tọa độ $\mathrm{O}(0,0)$ và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- $\mathrm{a}>0$ : Bề lõm hướng lên trên, đỉnh O là điểm thấp nhất.
- $\mathrm{a}<0$ : Bề lõm hướng xuống dưới, đỉnh O là điểm cao nhất.

Vi dụ: Một vật rơi tự do từ độ cao 180 m so với mặt đất. Quãng đường chuyển động S (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) bởi công thức $\mathrm{S}=5 t^2$.
a) Sau 3 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?
b) Sau bao lâu thì vật chạm đất?

Lời giải
a) Quãng đường vật rơi được sau 3 giây là: $S=5 \cdot 3^2=45 \mathrm{~m}$

Khi đó, vật cách mặt đất: 180-45 $=135 \mathrm{~m}$
b) Khi vật chạm đất, quãng đường rơi được chính bằng độ cao ban đầu: $5 t^2=180 \rightarrow t^2=6$

Vì thời gian $\mathrm{t}>0$ nên $\mathrm{t}=6$.

Vậy sau 6 giây thì vật chạm đất.

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về hàm số

Bài 1: Diện tích bề mặt bị ép $\mathrm{S}\left(\mathrm{m}^2\right)$ và áp suất $\mathrm{P}\left(\mathrm{N} / \mathrm{m}^2\right)$ tạo bởi một lực F không đổi được liên hệ qua công thức $\mathrm{P}=\frac{F}{s}$. Tuy nhiên, trong một thí nghiệm khác, lực tác động F (đơn vị Newton) lên một cánh cửa hình vuông phụ thuộc vào độ dài cạnh x (mét) của nó theo công thức $\mathrm{F}=400 x^2$.
a) Tính lực tác động lên cánh cửa nếu cạnh cửa dài $0,5 \mathrm{~m}$.
b) Nếu lực tác động đo được là 1600 N , hãy tính độ dài cạnh của cánh cửa đó.

Bài 2: Động năng $W_d$ (đơn vị Joule) của một vật có khối lượng m đang chuyển động với vận tốc $\mathrm{v}(\mathrm{m} / \mathrm{s})$ được tính bằng công thức $W_d=\frac{1}{2} \mathrm{~m} v^2$. Xét một vật có khối lượng $\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}$.
a) Tính động năng của vật khi vận tốc $v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.
b) Nếu động năng của vật đạt 400 J thì vận tốc của vật là bao nhiêu?

Bài 3: Một hãng taxi có giá mở cửa là 10.000 đồng cho $0,5 \mathrm{~km}$ đầu tiên. Sau đó, mỗi km tiếp theo khách hàng phải trả 15.000 đồng. Hãy lập công thức hàm số tính số tiền y (đồng) mà hành khách phải trả khi đi quãng đường $\mathrm{x}(\mathrm{km}$, với $\mathrm{x}>0,5)$.

Bài toán tỉ số lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Mẹo nhớ nhanh

a) Tỉ số lượng giác của góc nhọn ( $\alpha$ )

Xét tam giác vuông tại A , với góc $\widehat{B}=\alpha$

Sin (đối/huyền): $\sin \alpha=\frac{A C}{B C}$

$\operatorname{Cos}$ (kề/huyền): $\cos \alpha=\frac{A B}{B C}$

Tan (đối/kề): $\tan \alpha=\frac{A C}{A B}$

$\operatorname{Cot}$ (kề/đối): $\cot \alpha=\frac{A B}{A C}$

Mẹo nhớ: Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn.

b) Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho abc vuông tại A, đường cao AH. Gọi các cạnh góc vuông là AB, AC; cạnh huyền là BC; các hình chiếu tương ứng là BH, CH.

Ví dụ: Một cột cờ vuông góc với mặt đất. Tại một thời điểm trong ngày, bóng của cột cờ trên mặt đất dài 7m. Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 35°. Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

Gọi cột cờ là đoạn thẳng AB (vuông góc với mặt đất tại A ), bóng của cột cờ là đoạn $\mathrm{AC}=7 \mathrm{~m}$.

Góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là $\widehat{C}=35^{\circ}$
Trong tam giác vuông ABC tại A , ta có:

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \cdot \tan \mathrm{C} \\
& \mathrm{AB}=7 \cdot \tan 35^{\circ} \approx 4,9 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$

Vậy chiều cao của cột cờ khoảng $4,9 \mathrm{~m}$.

Xem thêm: Chuyên đề hình học thi vào 10

Luyện tập

Bài 1: Một chiếc thang dài 4 m dựa vào tường. Để đảm bảo an toàn, chân thang phải đặt cách chân tường một khoảng bằng $1,5 \mathrm{~m}$. Tính góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất (làm tròn đến độ).

Bài 2: Một người đứng trên đỉnh ngọn hải đăng cao 50 m quan sát một con tàu đang chạy trên biển với góc hạ là $20^{\circ}$. Hỏi con tàu đang cách chân ngọn hải đăng bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 3: Một người muốn đo chiều rộng của một khúc sông. Người đó đứng tại điểm A bên bờ này và nhìn sang một cái cây tại điểm $B$ ở bờ bên kia theo phương vuông góc. Sau đó người đó đi bộ dọc bờ sông đến điểm C cách A một khoảng 20 m và nhìn thấy cái cây tại B với góc $\widehat{A C B}=40^{\circ}$. Tính chiều rộng khúc sông (làm tròn đến cm ).

Bài toán đường tròn

Các kiến thức cần nắm

a) Ký hiệu:

R - Bán kính

d - Đường kính

C - Chu vi

S - Diện tích

b) Các công thức cơ bản:

Đường kính: $\mathrm{d}=2 \mathrm{R}$

Chu vi: $\mathrm{C}=\mathrm{d} \times \pi$ (hoặc $2 \pi \mathrm{R}$ )

Diện tích: $\mathrm{S}=R^2 \times \pi$

c) Ứng dụng chuyển động: Quãng đường bánh xe đi được $=\mathrm{Chu}$ vi x Số vòng quay

Ví dụ: Một bánh xe đạp có đường kính là 70 cm. Hỏi bánh xe đó lăn được 100 vòng thì quãng đường đi được dài bao nhiêu mét?

Lời giải

Chu vi của bánh xe là: 70 x 3,14 = 219,8 cm

Quãng đường đi được là: 219,8 x 100 = 21980 cm = 219,8 m

Luyện tập

Bài 1: Một người đi xe đạp đi được quãng đường dài 1,57 km. Biết đường kính bánh xe là 50 cm. Hỏi bánh xe đã quay được bao nhiêu vòng?

Bài 2: Trong 10 giây, bánh xe của một xe điện quay được 30 vòng. Tính quãng đường xe đi được trong 2 phút, biết bán kính bánh xe là 25 cm. (Lấy kết quả theo đơn vị mét và làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 3: Một chiếc xe kéo có hai bánh sau lớn hơn hai bánh trước. Bánh sau có đường kính 1,2 m và bánh trước có đường kính 0,6 m. Khi bánh sau lăn được 20 vòng thì bánh trước lăn được bao nhiêu vòng?

Bài toán hình khối

Các kiến thức cần nắm

a) Hình Trụ

Diện tích xung quanh: $S_{x q}=2 \pi \mathrm{Rh}$

Diện tích toàn phần: $S_{t p}=2 \pi \mathrm{Rh}+2 \pi R^2$

Thể tích: $\mathrm{V}=\pi R^2 \mathrm{~h}=S_{\text {đáy }} \times \mathrm{h}$

b) Hình Nón

Mối liên hệ giữa $h, R, 1: l^2=h^2+R^2$

Diện tích xung quanh: $S_{x q}=\pi \mathrm{R} 1$

Diện tích toàn phần: $S_{t p}=\pi \mathrm{Rl}+\pi R^2$

Thể tích: $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi R^2 \mathrm{~h}$

c) Hình Cầu

Diện tích mặt cầu: $\mathrm{S}=4 \pi R^2$

Thể tích hình cầu: $\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi R^3$

Ví dụ: Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ với bán kính đáy là 3 cm , chiều cao là 12 cm . Người ta đổ nước vào cốc sao cho mực nước cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của cốc. Tính thể tích nước có trong cốc?

Lời giải

Chiều cao của mực nước trong cốc là: $\mathrm{h}=12 \cdot \frac{2}{3}=8 \mathrm{~cm}$

Tính thể tích nước: $\mathrm{V}=\pi R^2 \mathrm{~h}=226,08 \mathrm{~cm}^3$

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về hình khối

Bài 1: Một chiếc nón lá có đường kính đáy là 40 cm , độ dài đường sinh là 30 cm . Người ta cần dùng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$ lá đề phủ kín bề mặt xung quanh của chiếc nón (không tính mép dán)?

Bài 2: Một quả bóng đá tiêu chuẩn có chu vi đường tròn lớn là 68 cm . Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 3: Một chi tiết máy gồm một hình trụ và một hình nón có cùng bán kính đáy $R=4$ cm . Phần hình trụ có chiều cao $h_1=10 \mathrm{~cm}$. Phần hình nón có chiều cao $h_1=3 \mathrm{~cm}$. Tính thể tích của chi tiết máy đó.

Bài toán thống kê

Kiến thức cần nắm

a) Bảng tần số và Biểu đồ tần số

Tần số: Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu.

Bảng tần số: Gồm 2 dòng (giá trị và tần số tương ứng).

Biểu đồ tần số: Thường có hai dạng chính:

Dạng cột: Chiều cao của cột tương ứng với tần số của giá trị đó.

Dạng đoạn thẳng: Đường gấp khúc nối các điểm có tọa độ (giá trị; tần số).

b) Tần số tương đối và Biểu đồ tương ứng

Công thức tính: $f=\frac{m}{n} .100 \%$ (trong đó $m$ là tần số của giá trị, $n$ là kích thước mẫu).

Biểu đồ tần số tương đối: Thường dùng biểu đồ hình quạt tròn hoặc biểu đồ cột.

Quy đổi hình quạt: Tần số tương đối $\mathrm{a} \%$ tương ứng với cung có số đo: $\mathrm{a} \% .360^{\circ}= 3,6 \mathrm{a}^{\circ}$

c) Biểu diễn số liệu ghép nhóm

Tần số của nhóm: Số lượng các giá trị thuộc vào một khoảng/nhóm nhất định.

Tần số tương đối của nhóm: Được tính tương tự như giá trị đơn lẻ, bằng tỉ lệ phần trăm giữa tần số nhóm và tổng số dữ liệu: $f=\frac{m}{n} \cdot 100 \%$

Ví dụ: Trong một túi có 10 viên bi xanh, một số viên bi đỏ và bi vàng. Biết xác suất lấy được bi đỏ là $\frac{1}{3}$, xác suất lấy được bi vàng là $\frac{1}{4}$. Tính số bi đỏ và bi vàng trong túi.

Lời giải

Tổng xác suất của các loại bi luôn bằng 1 .

$\mathrm{P}(\text { xanh })=1-\mathrm{P}(\text { đỏ })-\mathrm{P}(\text { vàng })=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$

Vì $\mathrm{P}($ xanh $)=\frac{\text { Số bi xanh }}{N} \rightarrow \frac{5}{12}=\frac{10}{N} \rightarrow \mathrm{~N}=24$ viên

Vậy có 8 bi đỏ, 6 bi vàng

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về thống kê

Bài 1: Một ổ khóa số có 4 vòng quay, mỗi vòng gồm các số từ 0 đến 9. Mã khóa hiện tại là 1-2-3-4. Mã đúng để mở khóa là 8-0-5-2. Biết mỗi lần quay lên hoặc xuống 1 số sẽ phát ra 1 tiếng "tạch". Tính số tiếng "tạch" ít nhất để mở được khóa.

Bài 2: Có 2 hộp đựng kẹo: một hộp kẹo Bạc hà, một hộp kẹo Sữa. Tuy nhiên, các nhãn dán trên 2 hộp đều bị sai hoàn toàn. Bạn chỉ được phép lấy ra 1 viên kẹo từ 1 hộp duy nhất. Làm thế nào để dán lại nhãn cho đúng?

Bài 3: Bạn An theo dõi chi tiêu của gia đình mình trong một tháng để giúp bố mẹ lập kế hoạch tiết kiệm. An liệt kê các khoản chi chính như sau:

- Ăn uống: 6 triệu đồng

- Tiền điện, nước: 1,5 triệu đồng

- Học phí: 2 triệu đồng

- Giải trí & Mua sắm: 1 triệu đồng

- Các khoản khác: 0,5 triệu đồng

Lập bảng tần số tương đối (%) cho các khoản chi tiêu trên. 

Bài toán xác suất

Kiến thức cần nắm

a) Phép thử

Định nghĩa: Là một thí nghiệm, phép đo hoặc sự quan sát mà ta không thể đoán trước được kết quả sẽ xảy ra, nhưng biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể có.

Phạm vi: Trong chương trình phổ thông, chỉ xét các phép thử có số lượng kết quả hữu hạn.

b) Không gian mẫu

Định nghĩa: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Kí hiệu: $\Omega$

c) Biến cố

Định nghĩa: Là một tập con của không gian mẫu, thường được gắn với một mệnh đề xác định tập hợp các kết quả thỏa mãn điều kiện nào đó của phép thử.

Kí hiệu: In hoa $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$...

Các loại biến cố đặc biệt:
- Biến cố chắc chắn ( $\Omega$ ): Luôn luôn xảy ra khi phép thử được tiến hành.
- Biến cố không thể ( $\theta$ ): Không bao giờ xảy ra khi phép thử được tiến hành.

d) Phân loại biến cố theo khả năng xảy ra

Biến cố đồng khả năng: Nếu một trò chơi/thí nghiệm có k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong số đó, xác suất của mỗi biến cố là $\frac{1}{k}$.

Biến cố không đồng khả năng: Trong k biến cố, có ít nhất 2 biến cố khác nhau về khả năng xảy ra.

Ví dụ: Một nhóm có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh thích môn Tiếng Anh và 10 học sinh thích môn Tiếng Nhật. Biết rằng mỗi học sinh trong nhóm đều thích ít nhất một trong hai môn này. Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 học sinh thích cả hai môn Tiếng Anh và Tiếng Nhật.

Lời giải

Gọi A là tập hợp học sinh thích Tiểng $\mathrm{Anh}, \mathrm{B}$ là tập hợp học sinh thích Tiếng Nhật.

Số học sinh thích ít nhất một môn là: $n(A \cup B)=20$

Ta có công thức: $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
$\rightarrow \mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=3$ học sinh

Số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega)=20$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố "học sinh thích cả hai môn" là $\mathrm{m}=3$.

Xác suất $3 / 20=0,15(15 \%)$

Luyện tập những bài toán thực tế lớp 9 về xác suất

Bài 1: Nhóm văn nghệ có 3 bạn nam (An, Bình, Cường) và 2 bạn nữ (Lan, Mai). Chọn ngẫu nhiên 2 bạn để biểu diễn một tiết mục. 

a) Liệt kê các cách chọn 2 bạn. 

b) Tính xác suất để 2 bạn được chọn có đúng 1 bạn tên An.

Bài 2: Tỷ lệ học sinh xếp loại Giỏi của một khối lớp là 22%. Gặp ngẫu nhiên một học sinh trong khối, tính xác suất để học sinh đó không đạt loại Giỏi.

Bài 3: Trong một chiếc túi có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh có kích thước giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu.

Hy vọng những bài toán thực tế lớp 9 mà Gia sư Học và Giỏi chọn lọc đã giúp bạn làm quen với các dạng đề cũng như rèn luyện được tư duy vận dụng kiến thức một cách hiệu quả. 

Xem thêm: Các chuyên đề ôn thi vào 10 môn toán

Nỗ lực giải đề nhưng điểm số vẫn dao động ở mức 6-7? Ôn tập dàn trải, thiếu chiến lược khiến học sinh lúng túng và mất điểm oan ở những bài toán thực tế lớp 9? Kỳ thi chuyển cấp sắp đến không chỉ đòi hỏi nền tảng kiến thức mà còn yêu cầu phương pháp làm bài thực chiến. Khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi được thiết kế chuyên biệt để giải quyết trực tiếp các rào cản này, giúp học sinh tối ưu điểm số trong thời gian ngắn nhất.