15 chuyên đề hình học thi vào 10 trọng điểm thường gặp

Chuyên đề hình học thi vào 10: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Hướng giải:

- Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác thuộc đường tròn.

- Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°.

- Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc bằng nhau.

- Chứng minh 4 điểm của tứ giác cách đều tâm: IA = IB = IC = ID

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có tâm O (giao điểm của hai đường chéo). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC và CD. Chứng minh rằng bốn điểm H, K, C, A cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

Hình thoi ABCD có $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$

$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ tại $\mathrm{H} \rightarrow \widehat{A H C}=90^{\circ}$

$\mathrm{AK} \perp \mathrm{CD}$ tại $\mathrm{K} \rightarrow \widehat{A K C}=90^{\circ}$

Xét tứ giác AHCK : Ta thấy hai đỉnh H và K cùng nhìn cạnh AC dưới một góc $90^{\circ}$.

Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau (hoặc tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ nếu $\mathrm{H}, \mathrm{K}$ nằm khác phía đối với AC ) là tứ giác nội tiếp.

Vậy bốn điểm $\mathrm{A}, \mathrm{H}, \mathrm{C}, \mathrm{K}$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập vận dụng 

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng qua M vuông góc với AB tại H cắt BC tại N và cắt Ax tại P. Chứng minh tứ giác AMNH nội tiếp một đường tròn.

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn. Trên tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn lấy điểm I sao cho AI // BM. 

a) Chứng minh tứ giác AIMO nội tiếp.

b) Chứng minh I thuộc tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của AM và OI. Chứng minh tứ giác AKIB nội tiếp.

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức về tứ giác nội tiếp

Chuyên đề: Chứng minh hai góc bằng nhau

Hướng giải:

- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau.

- Hai góc cùng phụ hoặc cùng bù với góc thứ ba.

- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh đôi một song song hoặc vuông góc.

- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị. 

- Hai góc có vị trí đối đỉnh.

- Hai góc của cùng một tam giác cân hoặc đều.

- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng. 

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau. 

- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba.

- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng $\widehat{A D E}=\widehat{A B C}$

Lời giải

Xét tứ giác BCDE có $\widehat{B D C}=\widehat{B E C}=90^{\circ}$

Do hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC .

Trong tứ giác nội tiếp BCDE, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đīnh đối diện.
$\widehat{A D E}$ là góc ngoài tại đỉnh D , đỉnh đối diện với D là B .

$\rightarrow \widehat{A D E}=\widehat{A B C}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình thang $\mathrm{ABCD}(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD})$. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD tại M và BC tại N . Chứng $\operatorname{minh}$ rằng $\widehat{O M A}=\widehat{O N A}$

Bài 2: Cho đường tròn $(\mathrm{O})$, đường kính AB . Dây cung CD vuông góc với AB tại H . Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ CB . Chứng minh rằng $\widehat{M A C}=\widehat{M C D}$.

Bài 3: Cho nưàa đường tròn tâm O , đường kính AB . Lấy điểm C trên cung $\mathrm{AB}(\mathrm{C}$ không trùng $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ). Gọi M là điểm chính giữa cùa cung AC . Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại $\mathrm{E} ; \mathrm{AC}$ và BM cắt nhau tại D . Chứng minh $\widehat{M A B}=\widehat{M B C}$.

Chuyên đề: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Hướng giải: 

- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. 

- Hai đoạn thẳng là hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều. 

- Hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của một tam giác bằng nhau. 

- Hai đoạn thẳng là hai cạnh đối của hình bình hành. 

- Hai đoạn thẳng là hai cạnh bên của hình thang cân. 

- Hai đoạn thẳng là hai cung bằng nhau trong một đường tròn.

Ví dụ: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại A . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}$. Chứng minh $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$.

Lời giải

$\triangle \mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ và $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$

Ta có $\widehat{A B D}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của $\triangle A B C \rightarrow \widehat{A B D}$ kề bù với $\widehat{A B C}$

Tương tự, $\widehat{A C E}$ kề bù với $\widehat{A C B}$

Vì $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$ nên $\widehat{A B D}=\widehat{A C E}$

Xét $\triangle \mathrm{ABD}$ và $\triangle \mathrm{ACE}$ có:
- $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
- $\widehat{A B D}=\widehat{A C E}$
- $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}$
$\rightarrow \triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{ACE}$ (cạnh - góc - cạnh)
$\rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{AE}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng chu vi ADE không đổi khi M di động và nếu BC cắt OD, OE tại P, Q, chứng minh OP = OQ.

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD  AB tại H. M là giao của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng song song CD cắt AB tại I. Chứng minh MC = MD.

Bài 3: Hình thang ABCD (AB // CD), O là giao của AC và BD. MN qua O và MN // AB // CD (M  AD, N  BC). Chứng minh OM = ON.

Chuyên đề: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Hướng giải:

- Hai đường thẳng vuông góc khi chúng song song với hai đường thẳng vuông góc khác.

- Chứng minh chúng là chân đường cao của một tam giác.

- Chứng minh chúng là đường kính đi qua trung điểm dây và dây.

- Hai đường thẳng là phân giác của hai góc kề bù nhau.

Ví dụ: Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ và dây cung CD không đi qua tâm. Gọi I là trung điểm của CD . Tia OI cắt cung nhỏ CD tại M . Chứng minh rằng $\mathrm{CD} \perp \mathrm{OM}$.

Lời giải

Xét đường tròn $(O)$ có I là trung điểm của dây cung $C D$.

Theo định lý về đường kính và dây cung: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

Vì OI là một phần của đường kính và I là trung điểm của dây CD
$\rightarrow \mathrm{OI} \perp \mathrm{CD}$

Mà M nằm trên tia OI , nên $\mathrm{CD} \perp \mathrm{OM}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A, B). Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh rằng BC $\perp$ AB.

Bài 2: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AO $\perp$ BC.

Chuyên đề: Chứng minh hai đường thẳng song song

Hướng giải:

- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

- Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị.

- Chứng minh hai đường thẳng là hai dây chằng giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn.

- Chứng minh hai đường thẳng là hai cạnh đối của một hình bình hành 

Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$, trực tâm H . Kẻ đường kính AD . Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.

Lời giải

Ta có AD là đường kính của đường tròn $(\mathrm{O})$.

Xét $\triangle \mathrm{ABD}$ có AD là đường kính nên $\widehat{A B D}=90^{\circ} \rightarrow \mathrm{BD} \perp \mathrm{AB}$

Mà $\mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$ (do H là trực tâm $\triangle \mathrm{ABC}$ $\rightarrow \mathrm{BD} / / \mathrm{CH}(1)$

Tương tự, xét $\triangle \mathrm{ACD}$ có $\widehat{A C D}=90^{\circ} \rightarrow \mathrm{CD} \perp \mathrm{AC}$

Mà $\mathrm{BH} \perp \mathrm{AC}$ (do H là trực tâm $\triangle \mathrm{ABC}$ )
$\rightarrow \mathrm{CD} / / \mathrm{BH}$ (2)

Từ (1) và (2) → BHCD là hình bình hành

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, D thẳng hàng và BH // CD.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua cạnh BC. Chứng minh rằng K nằm trên đường tròn (O) và đường thẳng qua H song song với BC sẽ vuông góc với AK.

Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại D và E. 

a) Chứng minh chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

b) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AB, AC tại P và Q. Chứng minh PQ // BC.

Chuyên đề: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Hướng giải:

- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ ba 

- Chứng minh giao điểm của đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba 

- Chứng minh ba đường thẳng là ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong

- Sử dụng tính chất đường chéo của các tính chất đặc biệt 

- Vận dụng định lý đảo của định lý Talet.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ các đường cao BE và CF. Chứng minh rằng AM, BE, CF đồng quy.

Lời giải

Trong tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến AM ứng với cạnh đáy BC đồng thời cũng là đường cao của tam giác $\rightarrow \mathrm{AM} \perp \mathrm{BC}$

Xét tam giác ABC , ta có:
- BE là đường cao
- CF là đường cao
- AM là đường cao

Theo tính chất ba đường cao trong tam giác, chúng cùng đi qua một điểm (trực tâm)
Vậy $\mathrm{AM}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ đồng quy.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng AC, BD, MN đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ABC . Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC , $\mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ sao cho $\frac{M B}{M C}=1, \frac{N C}{N S}=\frac{1}{2}, \frac{P A}{P B}=2$. Chứng minh rằng $\mathrm{AM}, \mathrm{BN}, \mathrm{CP}$ đồng quy.

Bài 3: Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho $\mathrm{AD}=\mathrm{AB}$. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho $\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của BE và CD . Chứng minh $\mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{N}$ thẳng hàng và đường thẳng MN đi qua giao điểm của BC và DE.

Chuyên đề: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Hướng giải:

Đối với hai tam giác thường đồng dạng khi:

- Hai góc bằng nhau đôi một 

- Một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỉ lệ 

- Ba cạnh tương ứng tỉ lệ 

Đối với hai vuông thường đồng dạng khi:

- Một góc nhọn bằng nhau 

- Hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ 

Ví dụ: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}(\mathrm{AB}<\mathrm{AC})$, đường cao AH . Từ H kẻ $\mathrm{HM} \perp \mathrm{AB}$ tại M và $\mathrm{HN} \perp \mathrm{AC}$ tại N . Chứng minh $\triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ACB}$.

Lời giải

Xét tứ giác AMHN có $\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^{\circ} \rightarrow \mathrm{AMHN}$ là hình chữ nhật. Do đó $\widehat{A M N}= \widehat{A H N}$

Ta có $\widehat{A H N}+\widehat{N H C}=90^{\circ}$ và $\widehat{C}+\widehat{N H C}=90^{\circ}$ (do $\triangle \mathrm{HNC}$ vuông) $\rightarrow \widehat{A H N}=\widehat{C}$
$\rightarrow \widehat{A M N}=\widehat{C}$
$\rightarrow \triangle \mathrm{AMN}$ và $\triangle \mathrm{ACB}$ có $\widehat{A}$ chung và $\widehat{A M N}=\widehat{C}$

Nên $\triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ACB}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ vuông tại A có $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=8 \mathrm{~cm}$. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D . Qua D kẻ $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$ tại E .

a) Tính độ dài $B C$ và tỉ số $\frac{D B}{D C}$
b) Chứng minh $\triangle \mathrm{EDC} \sim \triangle \mathrm{ABC}$

Bài 2: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ vuông tại A . Gọi M là trung điểm BC . Kẻ $\mathrm{MH} \perp \mathrm{AC}$ tại H . Gọi O là trung điểm của MH . Chứng minh rằng $\triangle \mathrm{ABM} \sim \Delta \mathrm{AMH}$ và tìm các cặp góc bằng nhau tương ứng.

Chuyên đề: Chứng minh hai tam giác bằng nhau

Hướng giải:

Nếu hai tam giác là hai tam giác thường ta xét trường hợp:

- Góc - cạnh - góc 

- Cạnh - góc - cạnh 

- Cạnh - cạnh - cạnh 

Nếu hai tam giác là hai tam giác vuông ta xét trường hợp:

- Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau 

- Có cạnh huyền bằng nhau và một góc vuông bằng nhau 

- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau 

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC . Trên cạnh BC lấy điểm M , trên cạnh CA lấy điểm N sao cho $\mathrm{BM}=\mathrm{CN}$. Gọi O là giao điểm của AM và BN .
a) Chứng minh $\triangle \mathrm{ABM}=\triangle \mathrm{BCN}$
b) Tính số đo góc $\widehat{A O N}$

Lời giải
a) Xét $\triangle \mathrm{ABM}$ và $\triangle \mathrm{BCN}$ ta có:
$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ (vì $\triangle \mathrm{ABC}$ là tam giác đều)
$\widehat{A B C}=\widehat{B C N}=60^{\circ}$ (tính chất tam giác đều)
$\mathrm{BM}=\mathrm{CN}$ (theo giả thiết)
$\rightarrow \triangle \mathrm{ABM}=\triangle \mathrm{BCN}$ (cạnh - góc cạnh)
b) $\triangle \mathrm{ABM}=\triangle \mathrm{BCN} \rightarrow \widehat{B A M}=\widehat{C B N}$ (hai góc tương ứng)
$\widehat{A O N}$ là góc ngoài tại đỉnh O của tam giác $\mathrm{AOB} \rightarrow \widehat{A O N}=\widehat{O A B}+\widehat{O B A}$
Ta có: $\widehat{O A B}=\widehat{B A M}=\widehat{C B N} \rightarrow \widehat{A O N}=\widehat{C B N}+\widehat{O B A}$

Vì $\triangle \mathrm{ABC}$ đều $\rightarrow \widehat{A B C}=60^{\circ}$

Mà $\widehat{C B N}+\widehat{O B A}=\widehat{A B C}=60^{\circ}$
$\rightarrow \widehat{A O N}=60^{\circ}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác đều ABC . Trên các cạnh $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ lần lượt lấy các điểm $\mathrm{D}, \mathrm{E}$, F sao cho $\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$ (các điểm $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ không trùng với đỉnh của tam giác).
a) Chứng minh $\triangle \mathrm{ADE}=\triangle \mathrm{BEF}$
b) Chứng minh $\triangle \mathrm{DEF}$ là tam giác đều

Bài 2: Cho tam giác đều ABC . Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat{M A B}= \widehat{M B C}=\widehat{M C A}$
a) Chứng minh $\triangle \mathrm{MAB}=\triangle \mathrm{MBC}=\triangle \mathrm{MCA}$
b) Tính số đo các góc $\triangle \mathrm{MAB}$

Chuyên đề: Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Hướng giải:
- Chứng minh OT ⟂ MT tại T $\in(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp: Nếu góc tạo bởi một dây cung và một đường thẳng mà góc đó bằng số đo $\frac{1}{2}$ của dây cung bị chắn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến.

Ví dụ: Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ có đường kính AB . Lấy điểm C thuộc đường tròn. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho $\mathrm{BM}=\mathrm{BC}$. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyê̂n của đường tròn $(\mathrm{O})$.

Lời giải

Xét $\triangle \mathrm{ABC}$ vì C nằm trên đường tròn đường kính AB nên $\widehat{A C B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta \mathrm{BCM}$ có $\mathrm{BM}=\mathrm{BC}$ (theo giả thiết) $\rightarrow \Delta \mathrm{BCM}$ cân tại B .

$\rightarrow \widehat{B C M}=\widehat{B M C}$

Xét $\Delta \mathrm{OCN}$ có $\mathrm{OC}=\mathrm{OB}$ (bán kính) → $\Delta \mathrm{OCB}$ cân tại O

$\rightarrow \widehat{O C B}=\widehat{O B C}$

Ta có $\widehat{O B C}$ là góc ngoài của $\triangle \mathrm{BCM}$ tại đỉnh B .

$\rightarrow \widehat{O B C}=\widehat{B C M}+\widehat{B M C}=2 \widehat{B C M}$

Mà trong đó: $\widehat{O C B}=\widehat{O B C}$

Nên suy ra $\mathrm{OC} \perp \mathrm{MC}$ tại C

Vì $\mathrm{C} \in(\mathrm{O})$ và $\mathrm{OC} \perp \mathrm{MC} \rightarrow \mathrm{MC}$ là tiếp tuyến của $(\mathrm{O})$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I đường kính BH và đường tròn tâm K đường kính CH. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AM với (O) (M là tiếp điểm). Qua trung điểm I của AM, kẻ đường thẳng vuông góc với IO cắt AO tại N. Chứng minh AN là tiếp tuyến của (O).

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10. Vẽ đường tròn (B; 6). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).

Bài 4: Cho đường tròn $(O ; R)$ và dây $A B$ khác đường kính. Trên tia đối của tia $A B$ lấy điểm M . Kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn. Chứng minh rằng nếu $M C^2=\mathrm{MA} \cdot \mathrm{MB}$ thì MC là tiếp tuyê̂n.

Chuyên đề hình học thi vào 10: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Hướng giải:

- Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC .

- Chứng minh ba điểm xác định một góc bẹt ( $180^{\circ}$ ).

- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau.

- Chứng minh ba điểm xác định được hai đường thẳng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba (Tiên đề Oclit).

- Chứng minh ba điểm cùng cách đều hai đoạn thẳng (Tính chất đường trung trực).

- Chứng minh ba điểm cùng cách đều hai cạnh của một góc (Tính chất tia phân giác).

- Tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang.

- Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

- Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Ví dụ: Cho $\triangle \mathrm{ABC}$ nội tiếp $(\mathrm{O})$. Lấy điểm P bất kỳ trên đường tròn. Gọi $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ lần lượt là hình chiếu của P lên $\mathrm{BC}, \mathrm{AC}, \mathrm{AB}$. Chứng minh $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ thẳng hàng.

Lời giải

Tứ giác PDCF nội tiếp (do $\widehat{P D C}=\widehat{P F C}=90^{\circ}$ ) $\rightarrow \widehat{P D F}=\widehat{P C F}$

Tứ giác PECD nội tiếp (do $\widehat{P E C}=\widehat{P D C}=180^{\circ}$ ) → $\widehat{P D E}=\widehat{P C E}$ ( cùng bù với $\widehat{P A E}$ )

Mà $\widehat{P C F}=\widehat{P C E}=180^{\circ}$ (do $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ thẳng hàng và tứ giác ABCP nội tiếp).

Kết hợp lại ta có $\widehat{P D F}+\widehat{P D E}=180^{\circ} \rightarrow \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ thẳng hàng

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, O, M thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Lấy E đối xứng với A qua B, F đối xứng với A qua D. Chứng minh E, C, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.

a) Chứng minh M nằm trên đường tròn (O).

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm M, D, K thẳng hàng.

Chuyên đề hình học thi vào 10: Chứng minh đẳng thức hình học

Hướng giải:

Đề bài ta cần chứng minh đẳng thức: $\mathrm{MA} . \mathrm{MB}=\mathrm{MC} . \mathrm{MD}$

- Chứng minh: $\triangle \mathrm{MAC} \sim \triangle \mathrm{MDB}$ hoặc $\triangle \mathrm{MAD} \sim \triangle \mathrm{MCB}$

- Nếu năm điểm $\mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ cùng nằm trên một đường thẳng thì phải chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba:
$M A \cdot M B=M E \cdot M F$
$\mathrm{MC} . \mathrm{MD}=\mathrm{ME} . \mathrm{MF}$
$\rightarrow \triangle \mathrm{MAE} \sim \triangle \mathrm{MFB}$ hoặc $\triangle \mathrm{MCE} \sim \triangle \mathrm{MFD}$
$\rightarrow \mathrm{MA} \cdot \mathrm{MB}=\mathrm{MC} \cdot \mathrm{MD}$

- Trường hợp đặc biệt: $M T^2=\mathrm{MA} . \mathrm{MB}$. Ta chứng minh: $\Delta \mathrm{MTA} \sim \Delta \mathrm{MBT}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ cắt nhau tại H . Chứng minh các đẳng thức sau: $\mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AF} \cdot \mathrm{AB}$

Lời giải

Xét $\triangle \mathrm{ABE}$ và $\triangle \mathrm{ACF}$ có
- $\widehat{A}$ là góc chung
- $\widehat{A E B}=\widehat{A F C}=90^{\circ}$ (do $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ là đường cao).

Do đó, $\triangle \mathrm{ABE} \sim \triangle \mathrm{ACF}$ (góc - góc)
Suy ra tì lệ: $\frac{A B}{A C}=\frac{A E}{A F} \rightarrow \mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AF} \cdot \mathrm{AB}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường tròn $(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$ và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN không đi qua $\mathrm{O}(\mathrm{M}$ nằm giữa A và N ). Gọi H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh rằng:
a) $A B^2=\mathrm{AM} \cdot \mathrm{AN}$
b) $\mathrm{AM} \cdot \mathrm{AN}=\mathrm{AH} \cdot \mathrm{AO}$

Bài 2: Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn ( $O$ ). Tia phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$ cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn $(\mathrm{O})$ tại điểm thứ hai E . Chứng minh đẳng thức: $A D^2=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}-\mathrm{DB} \cdot \mathrm{DC}$

Chuyên đề hình học thi vào 10: Tính độ dài cạnh, góc

Hướng giải:

- Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông 

- Dựa vào tỉ số lượng giác 

- Dựa vào hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác vuông 

- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích 

Ví dụ: Cho hình thang vuông $\mathrm{ABCD}\left(\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}\right)$ có $\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=$ 9 cm . Tính số đo góc C .

Lời giải

Kè đường cao $\mathrm{BK} \perp \mathrm{CD}(\mathrm{K} \in \mathrm{CD})$

Tứ giác ABKD là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) $\rightarrow \mathrm{DK}=\mathrm{AB}=4 \mathrm{~cm}$.

Ta có $\mathrm{CK}=\mathrm{CD}-\mathrm{DK}=9-4=5 \mathrm{~cm}$.
Xét tam giác BKC vuông tại K: $\cos \mathrm{C}=\frac{C K}{B C}=\frac{5}{13}$

$\rightarrow \widehat{C} \approx 67^{\circ} 23^{\prime}$

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình thang vuông $\mathrm{ABCD}\left(\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}\right)$ có cạnh bên $\mathrm{BC}=10 \mathrm{~cm}, \widehat{C}=45^{\circ}$. Biết đáy nhỏ $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài đáy lớn CD .

Bài 2: Cho hình thang cân $\mathrm{ABCD}(\mathrm{AB} \| \mathrm{CD})$ có $\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=22 \mathrm{~cm}$ và cạnh bên $\mathrm{AD}=12 \mathrm{~cm}$. Tính các góc của hình thang.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~cm}$ và $\mathrm{AC}=8 \mathrm{~cm}$.
a) Tính độ dài cạnh BC và đường cao AH .
b) Tính số đo góc B và góc C (làm tròn đển độ).
c) Kẻ HE vuông góc với AB tại E . Tính độ dài AE .

Chuyên đề: Quỹ tích

Hướng giải:

Có hai dạng quỹ tích thường gặp là đường thẳng và đường cong.

Nếu quỹ tích là đường thẳng, có thể là một trong các đường sau:

- Đường trung trực của đoạn thẳng 

- Đường phân giác của góc 

- Đường thẳng song song và cách một đường thẳng cho trước một khoảng không đổi 

Nếu quỹ tích là đường cong, có thể là:

- Cung chứa góc 

- Đường tròn 

Khi giải bài quy tích cần nhận biết được ba yếu tố cơ bản sau:

- Yếu tố cố định: thường là các điểm, góc, tam giác

- Yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, chu vi hay diện tích hình 

- Yếu tố thay đổi: Thường là các nhóm từ như di động, di chuyển, chạy, thay đổi,...

Chứng minh hai phần:

- Phần thuận: Mọi điểm có tính chất a đều thuộc hình H

- Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất a

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên cạnh đáy BC. Vẽ MX // AC (X  AB) và MY // AB (Y  AC). Tìm quỹ tích tâm O của hình bình hành AXMY.

Lời giải: 

Trong hình bình hành AXMY, tâm O là trung điểm của đường chéo AM

Khi M trùng B, X trùng B và Y nằm trên AC, lúc này O là trung điểm của AB. Khi M trùng C, O là trung điểm của AC.

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vì O là trung điểm của AM và I là trung điểm AB, nên OI là đường trung bình của  ABM, suy ra OI // BC.

Quỹ tích của điểm O là đoạn thẳng IK nối trung điểm hai cạnh bên của tam giác ABC.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định. Một điểm M di động trên cung lớn AB. Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Tìm quỹ tích điểm N.

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Một đường thẳng d quay quanh A cắt đường tròn tại hai điểm M và N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.

Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Một góc vuông xPy quay quanh đỉnh P sao cho cạnh Px cắt AB tại M, cạnh Py cắt BC tại N. Tìm quỹ tích trung điểm E của đoạn thẳng MN.

Chuyên đề hình học thi vào 10: Cực trị hình học

Hướng giải:

Chứng minh biểu thức f có giá trị lớn nhất khi:

Chứng minh biểu thức f có giá trị lớn nhất khi:
- Mọi vị trí của hình trên một miền thì $\mathrm{f} \leq \mathrm{m}$ ( m là hằng số)
- Xác định vị trí của hình trên miền sao cho $\mathrm{f}=\mathrm{m}$

Chứng minh biểu thức f có giá trị nhỏ nhất khi:
- Mọi vị trí của hình trên một miền thì $\mathrm{f} \geq \mathrm{m}$ ( m là hằng số)
- Xác định vị trí của hình trên miền sao cho $f=m$

Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi Ax , By là các tia tiếp tuyến với nưa đường tròn. Từ điểm M trên nưa đường tròn ( M khác A và B ), kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D . Tìm vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất.

Lời giải

Chu vi $A C D B=A B+A C+B D+C D=2 R+2 C D$.

Chu vi nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có $\mathrm{CD} \geq \mathrm{AB}$ (do CD là cạnh huyền, hoặc CD là đường xiên so với đường thẳng song song $\mathrm{Ax}, \mathrm{By}$ ).

CD nhỏ nhất khi $\mathrm{CD} / / \mathrm{AB}$, khi đó M là điểm chính giữa cung AB .

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn $(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$ đường kính AB . Một tiếp tuyê̂n song song với AB cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D . Một tiếp tuyển bất kỳ tại M trên nừa đường tròn cắt $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ tại E và F .
a) Chứng minh $\mathrm{OE} \perp \mathrm{OF}$.
b) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác EOF nhỏ nhất.

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không giao nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên d. Một điểm M di động trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn.

Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định.

Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng AB lớn nhất.

Trên đây là tổng hợp các chuyên đề hình học thi vào 10 trọng điểm thường gặp giúp bạn hệ thống lại kiến thức theo sách Kết nối tri thức và cuộc sống một cách bài bản.

Xem thêm:

Click để nhận lộ trình ôn thi vào 10 môn Toán mới nhất!

Trọn bộ 50 bài tập mẫu "Giải bài toán bằng cách lập phương trình"

Việc nắm vững lý thuyết trong sách giáo khoa là cần thiết, nhưng đề thi vào 10 thường có các dạng bài vận dụng cao và cấu trúc lắt léo. Khóa luyện thi chuyển cấp 9 vào 10 môn Toán tại Học là Giỏi không chỉ dạy lại kiến thức mà tập trung vào việc phân tích cấu trúc đề thi thực tế. Học sinh sẽ được rèn luyện kỹ năng nhận diện dạng bài và phương pháp giải tối ưu cho từng phần, giúp tránh những lỗi mất điểm đáng tiếc thường gặp.